2023年山东省东营市中考数学二模试卷(含解析）

2023年山东省东营市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数：，，，，，中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  把一块直尺与一块含的直角三角板如图放置，若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  对于实数，，定义运算“”如下：，例如：，则方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

5.  如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的长度是(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，点是反比例函数图象上一点，的顶点在轴上，点在轴上，，，与轴相交于点，且，若的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，中，，，，点是斜边上任意一点，过点作，垂足为，交边或边于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在四边形中，，，，为边上一点，，且连接交对角线于，连接下列结论正确的是(    )
；；；．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11.  石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据用科学记数法表示为          ．

12.  已知，，则 ______ ．

13.  若一组数据，，，，，的平均数为，众数为，则这组数据的方差为______．

14.  如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为______ 结果保留
 

15.  若关于的方程的解是正数，则的取值范围为______ ．

16.  平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得为，为，边的长为，边上露出部分的长为，铁板边被掩埋部分的长是______
 

17.  如图，在中，，，，是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为______．

18.  如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中满足．

20.  本小题分
为积极配合城市推行垃圾分类工作，某教育集团调查小组挂出“垃圾变宝源自分类，呵护环境始于点滴”等宣传标语，同时在各校区、、、四个学部随机抽取部分学生进行垃圾分类常识测试，并将各部门测试成绩优秀的人数统计后绘制成如图所示的两幅统计图部分数据不完整．
请你结合图中信息回答下列问题：
扇形统计图中的 ______ ，的度数为______ ；
请将条形统计图补充完整；
假设一学生无垃圾分类常识，参加这次分类测试：袋中有三件垃圾记为、、，分别属于“可回收物、其他垃圾、有害垃圾”三类，该学生从袋中随机抽取一件垃圾再随机投进三类垃圾箱中的一个，请用列表法或画树状图法求该学生投放正确的概率．

 

21.  本小题分
如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
求与之间的函数关系式；
直接写出当时，不等式的解集；
若点在轴上，连接把的面积分成：两部分，求此时点的坐标．

22.  本小题分
如图，在中，点在边上，平分，经过点、的交于点，连接交于点，．
求证：是的切线；
若，，，求的半径．

23.  本小题分
月日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为元，用元购进甲种玩具的件数与用元购进乙种玩具的件数相同．
求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
商场计划购进甲、乙两种玩具共件，其中甲种玩具的件数少于件，并且商场决定此次进货的总资金不超过元，求商场共有几种进货方案？
在条件下，若每件甲种玩具售价元，每件乙种玩具售价元，请求出卖完这批玩具获利元与甲种玩具进货量件之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，交轴于点，连接．

求抛物线的解析式．
点是第三象限抛物线上一点，当的面积为时，求点坐标．
抛物线上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
【问题发现】
如图所示，和均为正三角形，、、三点共线猜想线段、之间的数量关系为        ；        ；
【类比探究】
如图所示，和均为等腰直角三角形，，，，、、三点共线，线段、交于点此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图所示，在中，，，，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
无理数有，，共有个，
故选：．
根据无理数的意义判断即可．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意是有限小数，属于有理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，因式分解运用公式法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平行线的性质求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，

，
，
，，
，
，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作法得，则，
，
在中，．
故选：．
利用基本作图得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

6.【答案】 

【解析】解：延长至格点，连接，如图，
由题意得：
，，，
，
，
．
故选：．
延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设点的横坐标为，
则、间的横坐标的长度为，、间的横坐标的长度为，
放大到原来的倍得到，
，
解得：，
故选：．
设点的横坐标为，根据数轴表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，则轴，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
设，
，轴，
，
，
，
，
的面积为，
，
，
，
点是反比例函数图象上一点，
，
故选：．
作轴于，轴于，则轴，通过证得≌，得到，，设，
根据题意即可得到，利用勾股定理求得，由的面积为，即可得到．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，表示出、的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当点在上时，
，，
，
；
当点在上时，如下图所示：

，，，
，，
．
，
该函数图象前半部分是开口向上的抛物线，后半部分为开口向下的抛物线，
且当点与点重合时，，
故选：．
分点在上和上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点在上这种情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，
，
，
，
，
即，故正确；
为直角三角形，且，
，
，
，
；故错误．
由知，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，故正确；
过作于，
，
∽，
，
，
，
，
和有公共底，
，故正确，
结论正确的为．
故选：．
在等腰直角中，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即，判定正确；因为为直角三角形，且所以，因为，所以，所以，不成立，故错误；根据可判定≌，全等三角形对应边相等可得，再求出，得到为等边三角形，判定正确；过作于，所以，所以∽，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定正确．
此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
，，
原式．
故答案为：．
先因式分解得出，再把，代入即可得出答案．
本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了众数、平均数和方差，一般地设个数据，，，，的平均数为，则方差；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
根据众数的定义先判断出，中至少有一个是，再根据平均数的计算公式求出，然后代入方差公式即可得出答案．
【解答】
解：一组数据，，，，，的平均数为，众数为，
，中至少有一个是，
一组数据，，，，，的平均数为，
，
，
，中一个是，另一个是，
这组数据的方差为；
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即．
故答案为：．
根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
 

15.【答案】且 

【解析】解：原方程左右两边同时乘以，得：，
解得：，
原方程的解为正数且，
，
解得：且，
故答案为：且．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在直角三角形中，，
则，
则，
故答案为：．
首先根据三角函数求得的长，然后根据即可求解．
本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得的长是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：作的中点，连接，，．

在直角中，，
是直角斜边上的中点，
．
是的中点，是的中点，
．
，即．
最小值为，
故答案为：．
作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后确定的范围．
本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
，
，
正方形的面积，
，
，
，
正方形的面积，
轴，
，
正方形的面积，

则正方形的面积为，
故答案为：．
根据位似图形的概念求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式




，
满足，
，
原式． 

【解析】分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：这次测试成绩优秀的人数共有：人，
，
的度数为：，
故答案为：，；
第学部的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

画树状图：

共有种等可能的结果，该学生投放正确的结果有种，
该学生投放正确的概率为．
由学部的优秀人数除以所占百分比求出这次测试成绩优秀的人数，即可解决问题；
求出学部的人数，将条形统计图补充完整即可；
画树状图，共有种等可能的结果，该学生投放正确的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了条形统计图解扇形统计图．
 

21.【答案】解：把代入，可得，
，
把代入双曲线，可得，
与之间的函数关系式为：；
解得或，
直线与双曲线交于点和，
由图象可知，当时，不等式的解集为：；
，令，则，
点的坐标为，
把代入，可得，
，
，
令，则，即，
，
把的面积分成：两部分，
，或，
，或，
或． 

【解析】求得，把代入双曲线，可得与之间的函数关系式；
求得直线与双曲线的交点，可得当时，不等式的解集为；
分两种情况进行讨论，把的面积分成：两部分，则，或，即可得到，或，进而得出点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 

22.【答案】证明：连接，如图：

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
即，
，
的半径为． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用外角性质及切线的判定方法可得结论；
根据等腰三角形的性质可得，再根据解直角三角形及勾股定理可得的长，进而得到答案．
此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：设甲种玩具进价元件，则乙种玩具进价为元件，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解．
则．
答：甲、乙两种玩具分别是元件，元件；

设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，
由题意，得，
解得．
是整数，
取，，，，
故商场共有四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
方案二：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
方案三：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
方案四：购进甲种玩具件，乙种玩具件；

设购进甲种玩具件，卖完这批玩具获利元，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
比例系数，
随着的增大而减小，
当时，有最大利润元． 

【解析】设甲种玩具进价为元件，则乙种玩具进价为元件，根据用元购进甲种玩具的件数与用元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据甲种玩具的件数少于件，并且商场决定此次进货的总资金不超过元，可列出不等式组求解．
先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，代入，
，
解得，
；
令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
如图所示，当点在第一象限抛物线上时，

，
，
点和点关于对称轴对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
点的坐标为；
如图所示，当点在第四象限的抛物线上时，设与轴交于点

，
，
设，
，，
，，
在中，，即，
解得，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得；
，
联立直线和抛物线得，，
解得或

点的坐标为
综上所述，点的坐标为或 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求；
根据题意当点在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点在第四象限时，设与轴交于点，首先根据勾股定理求出点的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上所述，的度数为，线段与之间的数量关系是，
故答案为：，；

结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

分两种情况：
如图，

，，，
，
，
为的中位线，
，，，，
，，
由旋转的性质得：，
∽，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去
；
如图，同得：∽，
则，，

设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
；
综上所述，的长为或．
证≌，得，，进而判断出的度数为即可；
证∽，得，，则，再求出，即可得出结论；
分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．