高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程第2课时同步练习题

第一章　§1　1.3　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件是(　D　)

A．A≠0　　 B．B≠0

C．A·B≠0　　 D．A2＋B2≠0

[解析]　若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不全为0，故选D．

2．直线3x＋2y＋6＝0在y轴上的截距为b，则b＝(　D　)

A．3　　 B．－2　　

C．2　　 D．－3

[解析]　令x＝0，则y＝－3，∴b＝－3.

3．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　B　)

A．3x＋4y＋7＝0　　 B．4x＋3y＋7＝0

C．4x＋3y－42＝0　　 D．3x＋4y－42＝0

[解析]　直线4x＋3y＋7＝0的斜率为－，在x轴、y轴上的截距分别为－，－，∴直线4x＋3y＋7＝0不经过第一象限，故选B．

4．若方程(m2－m)x＋(2m2＋m－3)y＋4m－2＝0表示一条直线，则实数m满足(　C　)

A．m≠0　　 B．m≠－

C．m≠1　　 D．m≠－，m≠0，m≠1

[解析]　m＝0时，方程化为3y＋2＝0，表示直线，排除A，D；m＝－时，方程化为15x－32＝0，表示直线，排除B，故选C．

5．已知直线mx＋ny＝－1的斜率为－，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　C　)

A．4和3　　 B．－4和3

C．－4和－3　　 D．4和－3

[解析]　方程mx＋ny＝－1可化为y＝－x－，

∴∴

6．(多选)直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象不可能是(　BD　)

[解析]　直线l1：y＝ax＋b，其中a为斜率，b为纵截距，直线l2：y＝bx＋a，其中b为斜率，a为纵截距，选项A中，a<0，b<0满足题意；选项B中，直线l1中，a<0，b>0，而直线l2中，b>0，a>0，不合题意；选项C中，a>0，b>0满足题意；选项D中，直线l1中，b＝0，直线l2中，b>0，不合题意，故选BD．

二、填空题

7．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是_(－2,1)__.

[解析]　由mx－y＋(2m＋1)＝0得m(x＋2)－y＋1＝0，

令x＋2＝0，∴－y＋1＝0，

∴x＝－2，y＝1，

∴直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点(－2,1)．

8．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是_3x＋y－6＝0__.

[解析]　由题意知直线过点(2,0)，

又直线过点(1,3)，由两点式可得，＝，

整理得3x＋y－6＝0.

三、解答题

9．已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线方程．

[解析]　在方程x＋y＋3＝0中，令y＝0得x＝－，

∴M(－，0)，直线x－y＋3＝0的斜率为，则其倾斜角为60°.

直线l绕点M旋转30°，若是逆时针，则直线l′的倾斜角为90°，

∴直线l′的方程为x＝－；

若是顺时针，则直线l′的倾斜角为30°，

∴直线l′的斜率为.

∴直线l′的方程为y－0＝(x＋)，

即x－y＋＝0.

综上，所得到的直线方程为x＝－或x－y＋＝0.

10．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y(元)与行李质量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：

(1)直线AB的方程；

(2)旅客最多可免费携带多少行李？

[解析]　(1)由图知，点A(60,6)、B(80,10)在直线AB上．

所以由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程为x－5y－30＝0.

(2)依题意，令y＝0，得x＝30.

即旅客最多可免费携带30 kg行李．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，则(　B　)

A．AB>0，且BC>0　　 B．AB>0，且BC<0

C．AB<0，且BC>0　　 D．AB<0，且BC<0

[解析]　若B＝0，直线方程化为x＝－，直线不可能过第一、二、四象限，因此B≠0，则直线方程化为y＝－x－，由直线过第一、二、四象限知－<0，－>0，所以AB>0，BC<0，故选B．

2．过点(－1,0)，且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为(　B　)

A．3x＋5y－3＝0　　 B．3x＋5y＋3＝0

C．3x＋5y－1＝0　　 D．5x－3y＋5＝0

[解析]　由＝可得，3x＋5y＋8＝0，即直线的斜率为－，由题意可知所求直线的斜率k＝－，

故所求的直线方程为y＝－(x＋1)，即3x＋5y＋3＝0.故选B．

3．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　B　)

A．2x＋y－1＝0　　 B．2x＋y＋1＝0

C．2x－y＋1＝0　　 D．x＋2y＋1＝0

[解析]　把A(2,1)坐标代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0,2a2＋b2＋1＝0，

∴2(a1－a2)＝b2－b1，

过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是＝，

∴y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0.

∵2a1＋b1＋1＝0，

∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.

故选B．

4．在平面直角坐标系xOy中，过点(1,1)的直线与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则△OAB的面积的最小值为(　B　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

[解析]　平面直角坐标系xOy中，过点(1,1)的直线与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，

设直线方程为y－1＝k(x－1)，k<0，可得A，B(0，1－k)，

则△OAB的面积为··(1－k)＝＝－＋1＋≥1＋2＝2，

当且仅当k＝－1时，取等号，故△OAB的面积的最小值为2，故选B．

二、填空题

5．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为_x＋y±6＝0或x－y±6＝0__.

[解析]　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，

∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.

若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，

则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.

∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，

∴直线方程为x＋y±6＝0.

若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，

故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.

∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，

∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.

综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.

6．在平面直角坐标系中，已知一条动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在两坐标轴上的截距之和大1，则该三角形面积的最小值为_5＋2__.

[解析]　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，

而面积S＝ab，

又由面积比直线l在两坐标轴上的截距之和大1，得ab＝a＋b＋1.①

∵a>0，b>0，∴a＋b＋1≥2＋1.

结合①得ab≥2＋1，即()2－4－2≥0，解得≥2＋或≤2－(舍)，

∴ab≥(2＋)2＝10＋4，

当且仅当a＝b＝2＋时，等号成立．

故当a＝b＝2＋时，面积最小为5＋2.

三、解答题

7．求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．

[解析]　设直线方程为y＝x＋b，

令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.

∴|b|＋＋＝12.

∴|b|＋|b|＋|b|＝12，∴b＝±3.

∴所求直线方程为y＝x±3.

8．已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

[解析]　依题意，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则可得直线的方程为y＋2＝k(x－3)．

令x＝0，得y＝－2－3k；令y＝0，得x＝＋3.

由题意得－2－3k＝3＋，解得k＝－1或k＝－.

∴l的方程为y＋2＝－(x－3)或y＋2＝－(x－3)．

即为x＋y－1＝0或2x＋3y＝0.