高中北师大版 (2019)2.4 圆与圆的位置关系当堂检测题

第一章　§2　2.4　

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为(　D　)

A．4　　 B．4－1　　

C．2－2　　 D．2

[解析]　∵|CC′|＝5＜R－r＝7，

∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2.

2．求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为(　A　)

A．(x－1)2＋(y＋4)2＝8

B．(x＋1)2＋(y－4)2＝8

C．(x－1)2＋(y－4)2＝8

D．(x＋1)2＋(y＋4)2＝8

[解析]　设圆心M(x0，－4x0)，则kMP＝－＝1，

即＝1，解得x0＝1，M(1，－4)，r＝2，则圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　B　)

A．1条　　　　　 B．2条　　　　　

C．3条　　　　　 D．4条

[解析]　⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，

⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，

|C1C2|＝，0<<4，∴两圆相交．

4．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是(　B　)

A．(1，－2)　　 B．(3，－2)

C．(2，－1)　　 D．(＋2，－3)

[解析]　验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x－y－5＝0上，故选B．

5．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程为(　B　)

A．x2＋y2＝1　　 B．x2＋y2＝1(x≠±1)

C．x2＋y2＝1(x≠0)　　 D．y＝

[解析]　直接法，设P(x，y)，由kPA＝，kPB＝及题设条件·＝－1(x≠±1)知选B．

6．(多选)已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的取值可能是(　BCD　)

A．－2　　 B．－1

C．1　　 D．3

[解析]　当圆O1与圆O2相外切时，

＝3，∴a2＝9，a＝±3.

当圆O1与圆O2相内切时，＝1，∴a2＝1，∴a＝±1，故选BCD．

二、填空题

7．圆x2＋y2＋2x＝0和圆x2＋y2－4y＝0的公共弦的长度为___.

[解析]　联立

解得或

∴两圆的交点P(0,0)，Q.

∴|PQ|＝＝.

8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_a2＋b2>3＋2__.

[解析]　由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1.因为两圆外离，所以>＋1，即a2＋b2>3＋2.

三、解答题

9．判断下列两圆的位置关系．

(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；

(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0；

(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；

(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.

[解析]　(1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.

∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，

圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝，

d＝|C1C2|＝＝.

∵r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，

∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．

(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－)2＋y2＝9，

∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，

圆C2的圆心坐标为(，0)，r2＝3，

d＝|C1C2|＝＝2.

∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．

(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，

C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.

∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，

圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，

d＝|C1C2|＝＝10.

∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．

(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，

∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，

圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，

d＝|C1C2|＝＝.

∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，

∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交．

10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切．

求：(1)圆C2的标准方程；

(2)m的值．

[解析]　(1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，

C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.

因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，

即＝3＋2，

所以a＝8或－6(舍去)．

所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.

(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，

所以圆心C2到直线l的距离d＝r，

即＝2，所以m＝1或.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝1，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是(　A　)

A．1　　 B．－3　　

C．5　　 D．－7

[解析]　∵圆C的方程为(x－3)2＋y2＝1，

∴圆心C(3,0)，

设y轴上一点A(0，b)，当以A为圆心，半径为3的圆与圆C有公共点时，满足3－1≤|CA|≤3＋1，

∴2≤≤4，得－≤b≤，

∴A的纵坐标可以是1，故选A．

2．已知函数f(x)＝bx－b2－(b>0，x∈R)，若(m＋1)2＋(n＋1)2＝2，则的取值范围是(　D　)

A．[－，2]　　 B．[，2＋]

C．[2－，]　　 D．[2－，2＋]

[解析]　＝＝，

可以看作点(m，n)与点，b＋连线的斜率，点(m，n)在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上，

点在直线y＝x(x≥1)上，结合图形分析可得，

当过点(1,1)作圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的切线，此时两条切线的斜率分别是的最大值和最小值．

两条切线与圆心(－1，－1)、点(1,1)所在直线的夹角均为，两条切线的倾斜角分别为，，

故所求直线的斜率的范围为[2－，2＋]．

3．过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3,0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　A　)

A．x＋y－3＝0　　 B．x－y－3＝0

C．x＋4y－3＝0　　 D．x－4y－3＝0

[解析]　圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心C(1，－2)，当CM⊥l时，l截圆所得的弦最短，kCM＝＝1，∴kl＝－1，故所求直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.

4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　B　)

A．3　　 B．4

C．2　　 D．8

[解析]　如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2C＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B．

二、填空题

5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝_1__.

[解析]　x2＋y2＋2ay＝6，x2＋y2＝4，两式相减得y＝.

圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为，则有＝，解得a＝1.

6．已知集合A＝{(x，y)|y＝}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠∅，则m的取值范围是_－7≤m≤7__.

[解析]　由A∩B≠∅，即直线y＝x＋m与半圆y＝有交点，如图所示．

如图可知，－7≤m≤7.

三、解答题

7．求经过两圆x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的交点，且圆心在直线2x－y＝0上的圆的方程．

[解析]　方法1：由两圆方程联立求得交点A(1，－2)，B(3，0)，设圆心C(a，b)，则由|CA|＝|CB|及C在直线2x－y＝0上，求出a＝，b＝.

∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.

方法2：同上求得A(1，－2)、B(3,0)，则圆心在线段AB的中垂线y＝－x＋1上，又在y＝2x上，得圆心坐标.

∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.

8．求⊙C1：x2＋y2－2y＝0与⊙C2：x2＋y2－2x－6＝0的公切线方程．

[解析]　⊙C1：x2＋(y－1)2＝12，圆心C1(0,1)，半径r＝1，

⊙C2：(x－)2＋y2＝32，圆心C2(，0)，半径R＝3，

圆心距|C1C2|＝2，∴|C1C2|＝R－r，

故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，

又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C1C2上，

∵C1C2：x＋y－＝0，∴切线斜率k＝.

设切线方程为y＝x＋b，由圆心C1(0,1)到切线距离d＝1，得＝1，∴b＝3或－1.

由C2(，0)到切线距离d′＝3，得＝3，

∴b＝3或－9，∴b＝3，

∴公切线方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.