北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程综合训练题

第二章　§3　3.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是(　A　)

A．开口向上，焦点为(0,1)

B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，焦点为

[解析]　∵抛物线的标准方程为x2＝4y，

∴2p＝4，p＝2，解得＝1，因此抛物线的焦点为(0,1)，准线为y＝－1，可得该抛物线的开口向上．

2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是(　C　)

A．2　　 B．1　　

C．　　 D．

[解析]　抛物线y＝2x2化为x2＝y，

∴焦点到准线的距离为.

3．平面上动点M到点F(3,0)的距离等于M到直线l：x＝－3的距离，则动点M满足的方程是(　B　)

A．y2＝6x　　 B．y2＝12x

C．x2＝6y　　 D．x2＝12y

[解析]　由条件可知，点M到点F(3,0)的距离与到直线x＝－3的距离相等，

所以点M的轨迹是以F(3,0)为焦点，x＝－3为准线的抛物线，其方程为y2＝12x.

4．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取(　BD　)

A．1　　 B．2　　

C．9　　 D．18

[解析]　由题意可设点M的坐标为(x0,6)，

由题意得

即p2－20p＋36＝0，∴p＝2或p＝18.

二、填空题

5．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9__.

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.

6．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为_x＝－2__(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．

[解析]　由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.

三、解答题

7．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3，求抛物线的标准方程．

[解析]　设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，

又AB的中点到x轴的距离为3，

所以y1＋y2＝6，所以p＝2，

所以抛物线的标准方程为x2＝4y.

8．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程．

[解析]　∵点(－2,3)在第二象限，

∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，

又点(－2,3)在抛物线上，

∴p＝，p′＝，

∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.

B　组·素养提升

一、选择题

1．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　C　)

A．2　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点C的横坐标为，|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝4，

∴x1＋x2＝3，则＝.

2．如图抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)作准线l的垂线，垂足为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程为(　D　)

A．y2＝x　　 B．y2＝x

C．y2＝2x　　 D．y2＝4x

[解析]　设直线l交x轴于点C，

∵AB⊥l，l⊥x轴，

∴AB∥x轴，

∴可得∠BFC＝∠ABF＝60°，

Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos 60°＝p，解得|BF|＝2p，

由AB⊥y轴，可得3＋＝2p，∴p＝2，

∴抛物线的标准方程为y2＝4x.

3．方程＝表示的曲线为(　A　)

A．抛物线　　 B．椭圆　　

C．双曲线　　 D．圆

[解析]　设P(x，y)，由＝得点P到F(2,2)的距离等于点P到直线3x－4y－6＝0的距离，点F不在直线3x－4y－6＝0上，

∴点P的轨迹是抛物线．

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　C　)

A．|P1F|＋|P2F|＝|FP3|

B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2

C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|

D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|

[解析]　∵点P1、P2、P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，

得2＝x1＋＋x3＋，

即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C．

二、填空题

5．已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物于点B，过B点作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝___.

[解析]　由抛物线的定义可得BM＝BF，F，又AM⊥MF，故点B为线段FA中点，即B，所以1＝2p×⇒p＝.

6．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝_1＋__.

[解析]　∵点B与点A(－1,0)关于原点O对称，∴B(1,0)，根据题意，得＝2，又y＝4x0，∴2x0＝x－1，即x－2x0－1＝0，解得x0＝＝1±，舍去负值，得x0＝1＋.

三、解答题

7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6；

(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6.

[解析]　(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|.

又|AB|＝6，则2|m|＝6.

∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.

(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.

8．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．

[解析]　以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则

2＝m·，

∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.

将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，

即y＝－.

欲使卡车通过隧道，应有y－>3，即－>3，

由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.