数学选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质同步练习题

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章　§3　3.2　 A　组·素养自测一、选择题1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　A　)A．4　　 B．5　　C．6　　 D．7[解析]　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A．2．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB中点的横坐标为(　B　)A．1　　 B．2　　C．3　　 D．4[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝6，即x1＋x2＝4，所以＝2，故线段AB中点的横坐标为2.3．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　D　)A．y2＝6x　　 B．y2＝－6xC．x2＝6y　　 D．x2＝－6y[解析]　抛物线的标准方程可设为x2＝－2py(p>0)，由题意知＝，即p＝3.因此所求抛物线的标准方程 为x2＝－6y.选D．4．P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　B　)A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|　　 B．|PP1|＝|AB|C．|PP1|>|AB|　　 D．|PP1|<|AB|[解析]　如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，故|PP1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.5．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　D　)A．2　　 B．4　　C．6　　 D．4[解析]　由题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝±2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D．6．(多选)点A(2,1)到抛物线y2＝ax准线的距离为1，则a的值可能为(　AC　)A．－4　　 B．　　C．－12　　 D．12[解析]　抛物线y2＝ax的准线方程为x＝－，∴＝1，解得a＝－4或a＝－12.二、填空题7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝_±2__.[解析]　设正三角形边长为x.36＝x2sin 60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，故a＝±2.8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_6__.[解析]　抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.将y＝－代入－＝1得|x|＝.要使△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.三、解答题9．一抛物线拱桥跨度为52 m，拱顶离水面6.5 m，一竹排上载有一宽4 m，高6 m的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析]　如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－，∵6.5－>6，∴能安全通过．10．已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．[解析]　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)，故设A(3，m)．代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2，所以A(3,2)，B(3，－2)，所以|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4.B　组·素养提升一、选择题1．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·的值是(　B　)A．　　 B．－　　C．3　　 D．－3[解析]　抛物线y2＝2x焦点，当直线AB斜率不存在时，可得A，B·＝·＝－1＝－，∴选B．2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且＝3，则|AB|＝(　C　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)和准线l：x＝－1，设A(－1，a)，B(m，n)，∵＝3，∴＝，∴m＋1＝，AB＝.3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　C　)A．y2＝9x　　 B．y2＝6xC．y2＝3x　　 D．y2＝x[解析]　方法1：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线的定义得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，由|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，得3＋3a＝6，解得a＝1.设准线与x轴交于点G，因为BD∥FG，所以＝，即＝，解得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.方法2：过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得＝＝，所以|BB1|＝|FF1|＝.由抛物线的定义，得|BF|＝|BB1|＝.由抛物线的焦点弦的性质＋＝，得＋＝，解得p＝.故抛物线的方程是y2＝3x，选C．4．抛物线y2＝2x的焦点为F，则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有(　B　)A．1个　　 B．2个　　C．0个　　 D．无数个[解析]　因为点M(2,2)在抛物线y2＝2x上，又焦点F，由抛物线的定义知，过点F，M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点F，M且与l相切的圆有2个．二、填空题5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝_2__.[解析]　由双曲线离心率为2得＝＝4，∴＝，又∵|AB|＝××2＝p，∴S△AOB＝×p×＝，∴p＝2.6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝___.[解析]　方法1：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于|AF|＝x1＋1＝3，得x1＝2，所以y1＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2(舍去)或x＝，所以x2＝，故|BF|＝x2＋1＝.方法2：由题意知|AF|＝3，p＝2，由抛物线的焦点弦的性质＋＝知|BF|＝.三、解答题7．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[解析]　(1)因为抛物线方程为y2＝6x，所以准线方程为x＝－，F，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为k＝tan 60°＝，所以过焦点的直线l的方程为y＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x2－5x＋＝0，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以中点M到准线的距离为3＋＝.8．已知曲线C上的任意一点M到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，直线l过点A(1,1)，且与C交于P，Q两点．(1)求曲线C的方程；(2)若A为PQ中点，求三角形OPQ的面积．[解析]　(1)设曲线上任意一点M(x，y)，由抛物线定义可知，曲线是以点F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，所以曲线的方程为y2＝4x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，所以y－y＝(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，因为A为PQ中点，所以y1＋y2＝2，所以直线l的斜率为kPQ＝＝2，所以直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此时直线l与抛物线相交于两点．设T为l与x轴交点，则|OT|＝，由消去x得y2－2y－2＝0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－2，所以三角形OPQ的面积为S＝|OT||y1－y2|＝＝.