选择性必修 第一册3.1 组合第2课时一课一练

第五章　§3　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有(　C　)

A．CA种　　 B．CA种

C．CA种　　 D．CC种

[解析]　分两步：第1步，可在其他8 种种子中选取1种放入1号瓶，有C种选法；第2步，剩下的9种种子中选5种全排列，有A种．故共有CA种不同的放法．

2．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　D　)

A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54

B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC

C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A

D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA

[解析]　每人有四项工作可以安排，所以5人都安排一项工作的不同方法数为45，故选项A中说法错误；每项工作至少有1人参加，则有一项工作安排2人，其他三项工作各1人，所以共有CCA种不同方法数，选项B中AC是每项工作先安排1人，还剩下1人在四项工作中选择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译”与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安排翻译”重复计算了，故选项B中说法错误；选项C中是先分组后分配，CC代表的是5人分成3人、1人、1人三组，CC代表的是5人分成2人、2人、1人三组，然后三组人分配三项工作，乘A，然而在分组的过程中都有重复，比如：3人、1人、1人分组中，先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只有一种分法，而不是C种分法，故选项C中说法错误；选项D分两类考虑，第一类：司机安排1人，方法数为C，另外4人分3组，方法数为C(4人选2人为1组，另外2人分2组只有一种分法)，然后3组人安排除司机外的三项工作，方法数为A，则不同安排方案的种数是CCA，第二类：司机安排2人，方法数为C，剩下3人安排另外三项工作，方法数为A，则不同安排方案的种数是CA，由分类加法计数原理得，共有CCA＋CA种不同的安排方案，故选项D中说法正确．故选D．

3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆(　A　)

A．220个　　 B．210个

C．200个　　 D．1 320个

[解析]　C＝220，故选A．

4．从0,1,2,3,4,5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有(　A　)

A．40个　　 B．120个　　

C．360个　　 D．720个

[解析]　先选取3个不同的数有C种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．

5．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　A　)

A．72种　　 B．48种　　

C．24种　　 D．12种

[解析]　方法1：(1)4种颜色全用时，有A＝24种不同涂色方法．

(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A，B，C中，有A种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．

方法2：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．

6．(多选)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是(　BC　)

A．C－CC

B．CC＋CC＋CC＋C

C．C－CC－C

D．CC

[解析]　13名医生，其中女医生6人，男医生7人，利用直接法，2男3女：

CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，

∴N＝CC＋CC＋CC＋C.

间接法：13名医生，任取5人，有C种，1男4女：CC；5女：C，∴N＝C－CC－C，

故选BC．

二、填空题

7．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有_72__种．

[解析]　方法1：根据题意，分两种情形讨论：

①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有CCCA＝36种选派方案．

②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C·A·A＝36种选派方案，

综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，

故选B．

方法2：从甲、乙以外的三人中选一人从事A工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有CA＝72种选法．

8．用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是_48__(注：用数字作答)．

[解析]　按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1,3,5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位，第2位为1,3,5中的两个数字或第4位，第5位为1,3,5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2AA＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1,3,5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．

三、解答题

9．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？

(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；

(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．

[解析]　(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C＝20种．

(2)第一步从7人中选取6人，有C种选法；第二步从6人中选2人排一列有C种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C·C·C＝630种．

10．有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科(包含语文、数学)的课代表，分别求出符合下列条件的选法种数．

(1)有女生担任课代表但人数必须少于男生；

(2)某女生一定要担任语文课代表；

(3)某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；

(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

[解析]　(1)(先选后排)符合条件的课代表人员的选法有(CC＋CC)种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有(CC＋CC) ·A＝5 400(种)．

(2)除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名任除语文外其余四科的课代表，不同的选法种数为A＝840.

(3)(先选后排)从剩余的7名学生中选出4名有C种选法；该男生的安排方法有C种，其余4人全排列，有A种，所以选法共有CCA＝3 360(种)．

(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C种选法；该男生的安排方法有C种，其余3人全排列，有A种，因此满足题意的选法共有CCA＝360(种)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有(　C　)

A．96种　　 B．120种　　

C．480种　　 D．720种

[解析]　由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有C＝4(种)，其余人的拿法有A＝120(种)，则梨子的不同分法共有4×120＝480(种)．

2．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　C　)

A．60种　　 B．120种　　　　

C．240种　　 D．480种

[解析]　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．

3．已知集合M＝{3}，N＝{2,4}，Q＝{1,2,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系Oxyz中向量a的坐标，则可确定不同向量a的个数为(　A　)

A．33　　 B．34　　　　

C．35　　 D．36

[解析]　不考虑限定条件，确定的不同点的个数为CCA＝36，但集合N，Q中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有3个，故所求的个数为36－3＝33.

4．(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，下列结论正确的有(　BC　)

A．CCCC　　 B．CA

C．CAA　　 D．18

[解析]　根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：

法一：分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；

②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CA种；故选B．

法二：分2步进行分析：

①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；

②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CCA种．C正确．

二、填空题

5．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_78__种．

[解析]　根据题意，分3种情况讨论：

①从五名志愿者中选派的四人中有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A＝18(种)选派方法；

②从五名志愿者中选派的四人中有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A＝18(种)选派方法；

③从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下3人中选出2人，有C种选法，选出的4人的安排方法有(A＋2×2×A)种，

则此时有C(A＋2×2×A)＝42(种)选派方法．

故一共有18＋18＋42＝78(种)选派方法．

6．某学习小组共有5位同学，毕业之前举行了互赠纪念品的活动，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知这5位同学之间共进行了8次交换，其中1位同学收到2份纪念品，另外4位同学收到的纪念品的数量最少是m个，最多是n个，则m＋n＝_7__.

[解析]　这5位同学每两人之间都进行一次交换，则进行交换的次数为C＝10，而现在进行了8次交换，且其中1位同学收到2份纪念品，则另外4位同学收到的纪念品的数量最少是3个，最多是4个，所以m＋n＝7.

三、解答题

7．有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

[解析]　在解本题时应考虑两方面的问题：(1)0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此必须同时考虑0与1的分类；(2)每张卡片都有正面与反面两种可能．解法上既可用直接法，也可用排除法．

方法1：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：

(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法，0可在后两位，有C种方法，最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法，又除含0的那张外，其他两张都有正面和反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C·C·C·22个．

(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C·22·A个．

(3)0和1都不取，不同的三位数有C·23·A个．

综上所述，共有不同的三位数C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432个．

方法2：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C·23·A－C·22·A＝432个．

8．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．

(1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？

(2)四个盒都不空的放法有多少种？

(3)恰有两个空盒的放法有多少种？

(4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？

[解析]　(1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44＝256种．

(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A＝24种．

(3)由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C··A＝84种．

(4)分三类放法．

第一类：甲球放入1号盒子，即，则乙球有3种放法(可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42种放法．故此类放法的种数是3×42；

第二类：甲球放入2号盒子，即

，则乙球有2种放法(可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法．故此类放法的种数是2×42；

第三类：甲球放入3号盒子，即，则乙球只有1种放法(放入4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法，故此类放法的种数是1×42.

综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42＝96种．