新教材2023年高中数学第5章计数原理4二项式定理4.1二项式定理素养作业北师大版选择性必修第一册

第五章　§4　4.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．16的二项展开式中，第4项是(　C　)

A．Cx12　　 B．Cx10　　　　

C．－Cx10　　 D．Cx8

[解析]　展开式的通项为Tk＋1＝C·x16－k·k＝(－1)k·C·x16－2k，所以第4项为T4＝(－1)3×Cx10＝－Cx10.故选C．

2．二项式5的展开式中含x4项的系数为(　A　)

A．160　　 B．－160　　　　

C．80　　 D．－800

[解析]　5展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5－k)(－4)kx－k＝C(－4)kx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，

所以含x4项的系数为C(－4)2＝160.故选A．

3．若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于(　D　)

A．4　　 B．5　　

C．6　　 D．7

[解析]　由二项展开式的通项公式可得n展开式的通项为Tk＋1＝C(3x3)n－kk＝3n－kCx3n－k，展开式中含有常数项，则3n－k＝0有正整数解，满足题意的最小的正整数为k＝6，n＝7，故选D．

4．(1＋x)6展开式中，含x3项的系数为(　C　)

A．45　　 B．30　　

C．75　　 D．60

[解析]　(1＋x)6展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，则T3＝Cx2＝15x2，T5＝Cx4＝15x4，因此(1＋x)6展开式中含x3项的系数是2×15＋3×15＝75.故选C．

5．(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)

A．5　　 B．10　　

C．15　　 D．20

[解析]　(x＋y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)，

所以与(x＋y)5展开式的乘积可表示为：xTk＋1＝xCx5－kyk＝Cx6－kyk或Tk＋1＝Cx5－kyk＝Cx4－kyk＋2，

在xTk＋1＝Cx6－kyk中，令k＝3，可得：xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tk＋1＝Cx4－kyk＋2中，令k＝1，可得T2，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.

6．(多选)若二项式6展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　AB　)

A．1　　 B．－1　　

C．2　　 D．－2

[解析]　二项式6展开式的通项Tk＋1＝C·x6－kk＝Cx6－kmk.

令6－k＝0，得k＝4，常数项Cm4＝15，则m4＝1，得m＝±1.故选AB．

二、填空题

7．6的展开式中常数项是_240__.(用数字作答)

[解析]　6展开式的通项Tk＋1＝Cx2(6－k)x－k·2k＝2k·Cx12－3k.令12－3k＝0，得k＝4.故展开式中的常数项为C·24＝240.

8．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为_5__.

[解析]　由二项式的通项公式得Tk＋1＝C3n－kxn－k，若展开式中含有常数项，则n－k＝0，即n＝k，所以n最小值为5.

三、解答题

9．在8的展开式中，求：

(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；

(2)倒数第3项．

[解析]　(1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，

∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120.

(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，

T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.

10．(1)求9192被100除所得的余数；

(2)用二项式定理证明：1110－1能被100整除．

[解析]　(1)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．

∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，又余数为正，∴可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除所得的余数为81.

(2)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1

＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1

＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102

＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，

∴1110－1能被100整除．

B　组·素养提升

一、选择题

1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(　B　)

A．6　　 B．7　　

C．8　　 D．9

[解析]　二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tk＋1＝C1n－k·(3x)k＝C·3k·xk.依题意得

C·35＝C·36，

即＝3×(n≥6)，

得n＝7.

2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　A　)

A．＜x＜　　 B．＜x＜

C．＜x＜　　 D．＜x＜

[解析]　由得∴＜x＜.

3．4的展开式中，常数项为(　D　)

A．1　　 B．3　　

C．4　　 D．13

[解析]　由于4表示4个因式的乘积，

故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取；

故展开式中的常数项为1＋C×C＝13.

4．把(i－x)10按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是(　D　)

A．135　　 B．－135　　

C．－360i　　 D．360i

[解析]　由题意得第8项的系数为C×(i)3×(－1)7＝120×3i，故选D．

二、填空题

5．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝_24__.

[解析]　由(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4知，其展开式通项为Tk＋1＝C·24－k·(x－1)4－k，所以a2为当k＝2时项的系数．又T2＋1＝C·22·(x－1)2＝24(x－1)2，所以a2＝24.             

6．若x>0，设5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为___.

[解析]　T3＝C·32＝x，

T4＝C·2·3＝，

∴M＋N＝＋≥2＝.

当且仅当＝时等号成立，即x＝.

三、解答题

7．在二项式n的展开式中，第1项和第3项的系数和等于第2项系数绝对值的2倍．

(1)求n的值；

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

(3)求展开式中系数最大的项．

[解析]　(1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0，

∵n≥2，∴n＝8.

(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·4＝.

(3)研究系数绝对值即可，

解得2≤k≤3，

∵k∈N，∴k＝2或3.

∵k＝3时，系数为负．

∴系数最大的项为T3＝7x.

8．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知a＝2a2a4.

(1)求n的值；

(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a，b的值．

[解析]　(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，

所以a2＝C＝

a3＝C＝，

a4＝C＝，

因为a＝2a2a4，

所以2＝2××，

解得n＝5.

(2)由(1)知n＝5，

即(1＋)n＝(1＋)5，

所以C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋

C()5＝a＋b.

因为a，b∈N，

所以a＝C＋3C＋9C＝76，b＝C＋3C＋9C＝44.