北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 乘法公式与事件的独立性同步训练题

第六章　§1　1.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　A　)

A．相互独立但不互斥

B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥

D．既不相互独立也不互斥

[解析]　甲击中目标与乙击中目标没有影响，故事件A与事件B相互独立但不互斥，故选A．

2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　D　)

A．　　 B．　　　　

C．　　 D．

[解析]　由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，

∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，

∴P()＝P()＝.

∴P(A)＝.

故选D．

3．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.

不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，

∴不发生故障的概率为

P＝P[(A2∪A3)∩A1]

＝[1－P()·P()]·P(A1)

＝×＝.

故选A．

4．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是(　C　)

A．2个球都是白球

B．2个球都不是白球

C．2个球不都是白球

D．2个球中恰好有1个白球

[解析]　从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，

∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.

5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　设Ai(i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军．

方法1：B＝A1＋1A2，故P(B)＝P(A1)＋P(1)P(A2)＝＋×＝.

方法2：P(B)＝1－P(12)＝1－P(1)P(2)＝1－×＝.

6．(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　AC　)

A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”

B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为3或4”

D．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”

[解析]　把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1,3,5点，P(A)＝，在事件B的条件下，事件A发生的概率P(A|B)＝＝P(A)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件．

二、填空题

7．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为___.

[解析]　由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为＝，从乙袋中取出红球的概率为，所以所求事件的概率为×＝.

8．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为___ .

[解析]　由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.

设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，

则P(A)＝×＋×＋×＝，

即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

三、解答题

9．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．

[解析]　记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.

(1)应聘者用方案一考试通过的概率为P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.

(2)应聘者用方案二考试通过的概率为P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9＝0.43.

10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

[解析]　(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．

由题设条件有

即

由①、③得P(B)＝1－P(C)，代入②得

27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.

解得P(C)＝或 (舍去)．

将P(C)＝分别代入③、②可得P(A)＝、

P(B)＝，

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、、.

(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则

P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.

故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.

B　组·素养提升

一、选择题

1．甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题被甲单独解出的概率为0.6，被甲、乙至少一人解出的概率为0.92，则该题被乙单独解出的概率是(　D　)

A．0.32　　 B．0.2　　

C．0.68　　 D．0.8

[解析]　设该题被乙单独解出的概率为P，由题意可知甲、乙都没有解出该题的概率为1－0.92＝(1－0.6)(1－P)，解得P＝0.8，故选D．

2．某闯关游戏规则如下：在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于(　B　)

A．0.064　　 B．0.144　　

C．0.216　　 D．0.432

[解析]　选手恰好回答了4个问题就闯关成功表示第2个问题不正确，第3、4个问题回答正确．故P＝0.6×0.4×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.6×0.6＝0.144.

3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则下列说法不正确的是(　B　)

A．事件A与B发生的概率相同

B．P(A)＝

C．P(B)＝

D．P(B)＝

[解析]　因为事件A，B相互独立，由P(B)＝P(A)可得[1－P(A)]P(B)＝P(A)[1－P(B)]，即P(A)＝P(B)．

又P(　)＝P()P()＝，

∴P()＝，即1－P(A)＝，

∴P(A)＝.

∴P(B)＝P()P(B)＝×＝.

结合选项可知ACD正确，故选B．

4．第三届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由题意得，三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是P＝××＋××＋××＝.

二、填空题

5．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝___，P(B)＝___.

[解析]　因为P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，所以P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()·P(C)＝，所以P()＝，P(B)＝.

又P(AB)＝，则P(A)＝，

所以P(B)＝P()·P(B)

＝×＝.

6．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是___.

[解析]　由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.

三、解答题

7．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.

(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2＝0.301 0)

[解析]　(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为1·2·3·4·5.

因为事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，所以敌机未被击中的概率为P(1·2·3·4·5)＝P(1)·P(2)·P(3)·P(4)·P(5)＝(1－0.2)5＝5.

所以敌机未被击中的概率为5.

(2)需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，可得敌机被击中的概率为1－n，

所以令1－n>0.9，所以n<，

两边取常用对数，得n>≈10.3，

因为n∈N*，所以n＝11.所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．

8．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．

(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

[解析]　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝＝＝，

P(B)＝＝＝.

 (2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

P(　)＝P()·P()＝×＝.

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝1－P(　)＝1－＝.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.