高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式课堂检测

第六章　§1　1.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为(　B　)

A．0.21　　 B．0.72　　

C．0.75　　 D．0.96

[解析]　设A：任取的一件是合格品，B：任取的一件是一等品，因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，

所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝0.72.

2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　A　)

A．0.08　　 B．0.1　　

C．0.15　　 D．0.2

[解析]　以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，

P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，

P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝；

则由全概率公式，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08.

3．如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为(　C　)

A．0.085　　 B．0.226　　

C．0.625　　 D．0.815

[解析]　以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，

P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，

P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，

所以P(B)＝0.08，P(A1|B)＝＝＝＝0.625.

4．(多选)下列说法一定不成立的是(　AD　)

A．P(B|A)<P(AB)

B．P(B)＝P(A)P(B|A)

C．P(AB)＝P(A)·P(B)

D．P(A|A)＝0

[解析]　∵P(B|A)＝，而0<P(A)≤1，∴P(B|A)≥P(AB)，故A不成立；∵P(AB)＝P(A)P(B|A)，∴当P(AB)＝P(B)时，B成立；当A、B相互独立时，P(AB)＝P(A)·P(B)，故C可能成立；P(A|A)＝1，故D不成立．故选AD．

二、填空题

5．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_0.175__.

[解析]　设B1＝“他是谨慎的”，B2＝“他是一般的”，B3＝“他是冒失的”，则B1，B2，B3构成了Ω的一个划分，设事件A＝“出事故”，由全概率公式得，

P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)(i＝1,2,3)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.

6．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件，则P(B)＝___.

[解析]　由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，

所以P(B)＝P[B∩(A1∪A2∪A3)]

＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)

＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.

三、解答题

7．三个罐子分别编号为1,2,3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．

[解析]　记Bi＝{球取自i号罐}(i＝1,2,3，)，A＝{取得红球}，显然A的发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝AB1＋AB2＋AB3，且AB1，AB2，AB3两两互斥，

P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，

所以P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝P(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝.

8．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率．

[解析]　设A表示“被诊断为肺结核”，C表示“患有肺结核”．

由题意得，P(C)＝0.001，P()＝0.999，P(A|C)＝0.95，P(A|)＝0.002.由贝叶斯公式知，

P(C|A)＝＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．一道考题有4个答案 ，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，

由全概率公式：

P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝.

又由贝叶斯公式：

P(B|A)＝＝＝.

故选B．

2．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．

由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝.

P(B1|A)＝＝＝÷＝.故选B．

3．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(　C　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　设事件A＝{第一次抽出的是黑球}，事件B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．由题意P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋

＝.

4．在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则下列说法不正确的是(　D　)

A．任意一位病人有症状S的概率为0.02

B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4

C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45

D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25

[解析]　P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，

由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di)

＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.

由贝叶斯公式得：

P(D1|S)＝＝＝0.4，

P(D2|S)＝＝＝0.45，

P(D3|S)＝＝＝0.15.

二、填空题

5．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%,35%,20%，且各车间的次品率分别为4%,2%,5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由_甲__车间生产的可能性最大．

[解析]　设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙车间，B表示产品为次品的事件，易知A1，A2，A3是样本空间Ω中的事件，且有P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.05.

由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.45×0.04＋0.35×0.02＋0.2×0.05＝0.035.

由贝叶斯公式得P(A1|B)＝≈0.514，

P(A2|B)＝≈0.200，

P(A2|B)＝≈0.286，

所以，该次品由甲车间生产的可能性最大．

6．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲超市购物的概率为_0.5__.

[解析]　设A1为“第一次去甲超市购物”，B1为“第一次去乙超市购物”，A2为“第二次去甲超市购物”，则Ω＝A1∪B1且A1与B1互斥，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0,4，P(A2|B1)＝0.6.

由全概率公式得

P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)

＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.

∴老王第二次去甲超市购物的概率为0.5.

三、解答题

7．学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．

(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；

(2)学生知道正确答案的概率是0.2.

[解析]　记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，则按题意有P(A|B)＝1，P(A|)＝0.25.

(1)此时有P(B)＝P()＝0.5，所以由贝叶斯公式得

P(B|A)＝

＝＝0.8.

(2)此时有P(B)＝0.2，P()＝0.8，所以由贝叶斯公式得P(B|A)＝

＝＝0.5.

8．在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0.现假设发送信号为0和1的概率均为；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3.发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.求已知收到信号0时，发出的信号是0(即没有错误接收)的概率．

[解析]　设事件A0＝{发送信号为0}，事件A1＝{发送信号为1}，事件B0＝{收到信号为0}，事件B1＝{收到信号为1}．因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还由于干扰原因，发送信号为1时，接收的信号也可能为0，因此导致事件B0发生的原因有事件A0与A1，且它们互不相容，故A0与A1构成一完备事件组．由题意有P(A0)＝P(A1)＝，P(B0|A0)＝0.7，P(B0|A1)＝0.1，

故P(B0)＝P(A0)P(B0|A0)＋P(A1)P(B0|A1)＝×0.7＋×0.1＝0.4.

由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为P(A0|B0)＝＝0.875.