北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 随机变量精练

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 随机变量精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　§2　A　组·素养自测一、选择题1．袋中有形状、大小均相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　B　)A．5　　 B．9　　C．10　　 D．25[解析]　号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．故选B．2．随机变量ξ的分布列如下.ξ012Pabc其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　B　)A．　　 B．　　　　C．　　 D．[解析]　由题意知解得b＝.∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴P(ξ＝1)＝.故选B．3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为(　A　)A．　　 B．C．或　　 D．－或－[解析]　由分布列性质可得：9a2－a＋3－8a＝1，∴9a2－9a＋2＝0，∴a1＝，a2＝当a＝时，3－8a<0不合题意，∴a＝，故选A．4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，….则P(2<X≤4)等于(　A　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　P(2<x≤4)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＝＋＝.5．已知随机变量X与Y的不同取值及对应的概率如表，则a＋2b＝(　C　)X12P(X)0.40.6 Y＝aX＋b47P(Y)0.40.6 A．3　　 B．4　　C．5　　 D．6[解析]　P(X＝1)＝P(Y＝4)，所以a＋b＝4，①P(X＝2)＝P(Y＝7)，所以2a＋b＝7，②由①②得，a＝3，b＝1，所以a＋2b＝5.6．(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　BCD　)A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X[解析]　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选BCD．二、填空题7．已知随机变量X的分布列如下：X12345P0.10.20.40.20.1 若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为_0.2__.[解析]　当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4，所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2.8．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m 若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝_0.5__.[解析]　由离散型随机变量分布列的性质可得0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，则P(Y＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝0.2＋0.3＝0.5.三、解答题9．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中同时取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．[解析]　随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C＝20，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C＝1，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC＝3，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC＝6，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC＝10.从而有P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，∴随机变量X的分布列为X3456P 10．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．[解析]　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以事件A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.故ξ的分布列为ξ0149P B　组·素养提升一、选择题1．随机变量ξ的所有等可能取值为1,2，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则(　C　)A．n＝3　　 B．n＝7C．n＝10　　 D．不能确定[解析]　因为随机变量ξ的所有等可能取值为1,2，…，n，所以P(ξ＝k)＝(k＝1,2，…，n)由题意，P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3，所以n＝10.2．设ξ是一个随机变量，其分布列如下表所示： ξ－101P1－2qq2 则q＝(　D　)A．1　　 B．1±　　C．1＋　　 D．1－3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　A　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.4．若随机变量X的分布列如表所示，则a2＋b2的最小值为(　C　)X0123Pab A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　由分布列性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号．二、填空题5．已知随机变量η的分布列如表：η123456P0.2x0.250.10.150.2 则x＝_0.1__；P(η>3)＝_0.45__；P(1<η≤4)＝_0.45__.[解析]　由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.6．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：X123456P0.200.100.□50.100.1□0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是_0.60__.[解析]　因为X取偶数值时的概率为P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.10＋0.10＋0.20＝0.40.故X取奇数值的概率为1－0.40＝0.60.三、解答题7．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列．[解析]　依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11.则有P(η＝5)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.所以η的分布列为η567891011P 8．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行措施，该市某报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634 (1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解析]　(1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为×100%＝64%，被调查者年龄的平均值约为：＝43(岁)．(2)依题意得ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝·＝×＝，P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝＝，P(ξ＝2)＝·＋·＝×＋×＝＝，P(ξ＝3)＝·＝×＝＝，所以ξ的分布列是：ξ0123P