高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值练习

第六章　§3　3.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列说法正确的是(　C　)

A．随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化

B．随机变量的均值反映样本的平均水平

C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4

D．随机变量X的均值E(X)＝

[解析]　A错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．C正确，由均值的性质可知．D错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

2．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：

据此判定(　A　)

A．甲比乙质量好　　 B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同　　 D．无法判定

[解析]　E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.

因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．

3．已知随机变量X的分布列如下，且E(X)＝5.9，则a的值为(　B　)

A．5　　 B．6　　

C．7　　 D．8

[解析]　由0.5＋0.2＋b＝1，得b＝0.3.由E(X)＝5.9，得4×0.5＋0.2a＋9×0.3＝5.9，解得a＝6.

4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是(　A　)

A．706元　　 B．690元　　

C．754元　　 D．720元

[解析]　由分布列可以得到需求量的期望是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)．

5．随机变量ξ的分布列如下，且满足E(ξ)＝2，则E(aξ＋b)的值(　B　)

A．等于0

B．等于1

C．等于2

D．无法确定，与a，b有关

[解析]　∵E(ξ)＝a＋2b＋3c＝2，①

且a＋b＋c＝1，②

②×3－①得2a＋b＝1.

E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.

6．(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：

将频率视为概率，则(　BD　)

A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为

B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则E(X1)＝2.86(万元)

C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则E(X2)＝2.99(万元)

D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车

[解析]　设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.

依题意得，X1的分布列为

E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，

X2的分布列为

E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．

因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．

二、填空题

7．某射手射击所得环数X的分布列如下：

已知X的期望E(X)＝8.9，则x的值为_0.2__.

[解析]　∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，

解得.

8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：

则E(X)的最大值为___.

[解析]　由表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.

三、解答题

9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

[解析]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有

P(A)＝＝.

(2)方法1：X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．

方法2：由题意可知：X～H(10,3,2)，

∴P(x＝k)＝，k＝0,1,2.

∴X的分布列为

∴E(X)＝＝(个)．

10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望E(X)．

[解析]　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，

那么P(C)＝1－P()＝1－·p＝.

解得p＝.

(2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

故P(X＝0)＝C3＝，P(X＝1)＝C2×＝，P(X＝2)＝C×2＝，

P(X＝3)＝C3＝.

所以随机变量X的概率分布列为

故随机变量X的数学期望：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则(　B　)

A．a＝10　　 B．a＝

C．b＝2　　 D．b＝1

[解析]　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①

又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②

由①②，得a＝，b＝0.

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴－<0，即>0，∴a与b同号．

∴ξ的分布列为：

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的期望为2，则＋的最小值为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由题意知3a＋2b＝2，其中0<a<，0<b<1，所以＋＝·＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝2b＝时取等号．

4．设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的有(　B　)

A．E(ξ)随着p的增大而增大

B．E(ξ)随着p的增大而减小

C．P(ξ＝0)>P(ξ＝2)

D．P(ξ＝2)的值最大

[解析]　由题意E(ξ)＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0<p<1.所以E(ξ)随着p的增大而减小，A错，B正确．又p－p2＝p(1－p)<1－p，所以C正确，p＝时P(ξ＝2)＝，而P(ξ＝1)＝2＝>，D错，故选B．

二、填空题

5．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为___.

[解析]　η＝4ξ－2⇒E(η)＝4E(ξ)－2⇒7＝4·E(ξ)－2⇒E(ξ)＝⇒＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝.

6．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：

请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝_2__.

[解析]　设“？”处为x，“！”处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.

三、解答题

7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，求比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)．

[解析]　依题意，知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，

故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.

8．东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：

(视样本频率为概率)

(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望；

(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

[解析]　(1)根据题意可知ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，由题意可得P(ξ＝30)＝×＝，

P(ξ＝31)＝××2＝，

P(ξ＝32)＝××2＋×＝，

P(ξ＝33)＝××2＋××2＝，

P(ξ＝34)＝××2＋×＝，

P(ξ＝35)＝××2＝，

P(ξ＝36)＝×＝，

ξ的分布列如下：

E(ξ)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8.

(2)当购进32份时，利润为32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6，当购进33份时，利润为33×4×＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68,125.6>124.68，所以当一次性购进32份时，利润更高．