高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差课后作业题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差课后作业题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　§3　3.2　A　组·素养自测一、选择题1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　D　)A．0.6　0.7　　 B．1.7　0.09C．0.3　0.7　　 D．1.7　0.21[解析]　E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.2．随机变量ξ的分布列如表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　C　)ξ01xPp A．0.36　　 B．0.52　　C．0.49　　 D．0.68[解析]　由题意得∴p＝，x＝2.∴D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.3．已知随机变量X，Y满足Y＝aX＋b，且a，b为正数，若D(X)＝2，D(Y)＝8，则(　C　)A．b＝2　　 B．a＝4C．a＝2　　 D．b＝4[解析]　∵D(Y)＝a2D(X)，∴8＝2a2，∵a>0，∴a＝2.4．小智参加三次投篮比赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为(　B　)A．　　 B．　　C．　　 D．3[解析]　由题意可得ξ＝－3,3，－1,1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝C(0.5)3＝3×0.53.故随机变量|ξ|的分布列为|ξ|13P6×0.532×0.53 故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5，D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75故选B．5．已知随机变量ξ满足P(ξ＝x)＝ax＋b(x＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若E(ξ)＝，则D(ξ)＝(　B　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　由已知可得：P(ξ＝－1)＝－a＋b，P(ξ＝0)＝b，P(ξ＝1)＝a＋b，则－a＋b＋b＋a＋b＝1，即b＝，又E(ξ)＝－1×(－a＋b)＋0×b＋1×(a＋b)＝，所以a＝，所以ξ的分布列如下：ξ－101P 所以D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝，故选B．6．(多选)已知0<a<，随机变量ξ的分布列如下.ξ－101P－aa 当a增大时，(　AD　)A．E(ξ)增大　　 B．E(ξ)减小C．D(ξ)减小　　 D．D(ξ)增大[解析]　0<a<，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，∴当a增大时，E(ξ)增大；D(ξ)＝2×＋2×＋2×a＝－a2＋a＋＝－2＋，∵0<a<，∴当a增大时，D(ξ)增大，故选AD．二、填空题7．已知随机变量X的分布列为X1234P 则D(X)＝___.[解析]　方法1：(利用方差的定义)：由分布列得E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.方法2：(利用D(X)＝E(X2)－[E(X)2]：由分布列得E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.E(X2)＝12×＋22×＋32×＋42×＝，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝___.[解析]　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.三、解答题9．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：环数5678910次数111124 乙射击的概率分布如下表：环数78910概率0.20.3p0.1 (1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；(2)比较甲、乙射击水平的优劣．[解析]　(1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4.设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，P(X1＝10)＝＝0.4，P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．10．某种类型的题目有A，B，C，D，E共5个选项，其中有3个正确选项，满分5分．赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”．在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个．(1)若甲同学无法判断所有选项，他决定在这5个选项中任选3个作为答案，求甲同学获得0分的概率．(2)若乙同学只能判断选项AD是正确的，现在他有两种选择：一种是将AD作为答案，另一种是在B，C，E这3个选项中任选一个与AD组成一个含有3个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种，请说明理由．[解析]　(1)甲同学在这5个选项中任选3个作为答案得分为0分，只有一种情况，那就是选了1个正确答案2个错误答案，所以，所求概率P＝＝.(2)乙同学的最佳选择是选择AD.理由如下：设乙同学此题得分为X分，①若乙同学仅选择AD，则X＝4，X的均值E(X)＝4；②若乙同学选择3个选项，则他可能的答案为ABD，ACD，ADE，共3种．其中选择ABD，ADE，得分均为1分，其概率为；选择ACD，得分为5分，其概率为.所以均值E(X)＝×1＋×5＝.由于4>，所以乙同学的最佳选择是选择AD.B　组·素养提升一、选择题1．已知随机变量X的分布列为X－101Pa 则下列式子不正确的是(　D　)A．P(X＝0)＝　　 B．a＝C．E(X)＝－　　 D．D(X)＝[解析]　由分布列可知，P(X＝0)＝，a＝1－－＝，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故选D．2．随机变量X的分布列如下：X123P0.5xy 若E(X)＝，则D(X)等于(　D　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　由题意知，∴∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)和D(X)的值分别为(　D　)A．0　1　　 B．p　p2C．p　1－p　　 D．p　(1－p)p[解析]　由题意得P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，∴E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，∴X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．4．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2.又已知E(X)＝，D(X)＝，则2x＋x的值为(　B　)A．9　　 B．6　　C．5　　 D．4[解析]　由题意得E(X)＝，D(X)＝，∴解得或(舍去)．∴2x＋x＝6.二、填空题5．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝_3.36__.[解析]　由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.6．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc 其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是___.[解析]　由条件可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，故ξ的分布列为ξ－101P ∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.三、解答题7．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期Eξ，方差Dξ.[解析]　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为 P3＝×＝.则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝.所以随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P 所以E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.8．A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2 X22%8%12%P0.20.50.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差和，求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．[解析]　(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝D＋D＝2D(Y1)＋2D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)．所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3.