新教材2023年高中数学第6章概率检测题北师大版选择性必修第一册

第六章检测题　

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是(　B　)

A．a＝1或2　　 B．a＝±1或2

C．a＝2　　 D．a＝

[解析]　∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，

∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B．

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为(　D　)

A．13,4　　 B．13,8　　　　

C．7,8　　 D．7,16

[解析]　由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.

3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　C　)

A．恰有1只是坏的　　 B．4只全是好的

C．恰有2只是好的　　 D．至多有2只是坏的

[解析]　X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．

∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C．

4．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X>1)＝p，则P(－1<X<0)＝(　B　)

A．＋p　　 B．－p

C．1－2p　　 D．1－p

[解析]　P(－1<X<0)＝P(－1<X<1)＝[1－2P(X>1)]＝－P(X>1)＝－p.

5．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是(　B　)

A．6和2.4　　 B．2和2.4

C．2和5.6　　 D．6和5.6

[解析]　∵X＋Y＝8，∴Y＝8－X，

∴E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，

D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　B　)

A．0.7　　 B．0.6　　

C．0.4　　 D．0.3

[解析]　由题意得X～B(10，p)．因为D(X)＝2.4，所以10p(1－p)＝2.4.解得p＝0.6或p＝0.4.因为P(X＝4)<P(X＝6)，所以Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4，即1－2p<0，解得p>0.5，所以p＝0.6.故选B．

7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　小球落入B袋中的概率为P1＝×2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝.

8．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝，(k＝1,2,3,4,5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，则m－n＝(　D　)

A．－　　 B．7　　　　

C．　　 D．－5

[解析]　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，

又E(ξ2)＝12×＋22×＋32×＋42×＋52×＝15，∴m－n＝－5.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列说法正确的是(　ABD　)

A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)

B．某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)

C．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B

D．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，取出好的螺丝钉的只数X为随机变量，且X服从超几何分布

[解析]　A，B显然满足独立重复试验的条件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．D显然满足超几何分布的条件．

10．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示从甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　AD　)

A．P(B)＝

B．事件B与事件A1相互独立

C．事件B与事件A2相互独立

D．A1，A2互斥

[解析]　根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，A正确；

又P(A1B)＝＝，因此P(A1B)≠P(A1)·P(B)，B错误；同理，C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确．故选AD．

11．若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则下列说法正确的是(　BD　)

A．E(ξ)＝－4　　 B．E(ξ)＝－3

C．D(ξ)＝－4　　 D．D(ξ)＝4

[解析]　随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，据此可得E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4.故选BD．

12．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)、N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　AB　)

A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg

B．甲类水果的质量比乙类水量的质量更集中于平均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8

D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99

[解析]　因为由图象可知，甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确；C错误；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设随机变量X的分布列如下：

若E(X)＝，D(X)＝___.

[解析]　由题意得

解得∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.

14．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是_140__元．

[解析]　设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：

所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140.

15．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝___.

[解析]　由条件知，P(A)＝，P(AB)＝＝，

∴P(B|A)＝＝.

16．(2021·浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝_1__，E(ξ)＝___.

[解析]　由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值为0,1,2，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．

(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．

[解析]　(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝＝，

即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.

(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么

P(E)＝＝，

所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是

P()＝1－P(E)＝.

(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，

则P(ξ＝2)＝＝.

所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝，

ξ的分布列是：

∴E(ξ)＝1×＋2×＝.

18．(本小题满分12分)某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动．

(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(2)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(A|B)．

[解析]　(1)从6人中任选3人，选法共有C＝20(种)，

其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为＝.

故男生甲或女生乙被选中的概率为1－＝.

(2)由题知，P(A)＝＝.又P(B)＝P(A)＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝.

19．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：

该社团将该校区在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率．

(1)请估算2019年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数(未满一天按一天计算)；

(2)该校2019年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20 000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列．

[解析]　(1)由频率分布直方图可估算2019年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数为(0.002×50＋0.004×50)×365＝0.3×365＝109.5≈110.

(2)由题意知，X的所有可能取值为0,10 000,20 000,30 000,40 000, 50 000,60 000，

由频率分布直方图知空气质量指数为(0,200]的概率为，

空气质量指数为(200,250]的概中为，

空气质量指数为(250,300]的概率为，

则P(X＝0)＝3＝，

P(X＝10 000)＝C××2＝，P(X＝20 000)＝C×2×＋C××2＝，

P(X＝30 000)＝3＋C××C××＝，

P(X＝40 000)＝C×2×＋C×2×＝，

P(X＝50 000)＝C×2×＝，

P(X＝60 000)＝3＝.

所以X的分布列为

20．(本小题满分12分)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养，若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6, 则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：

(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；

(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．

[解析]　

(1)由题可知：建模能力指标为1的学生是A9；建模能力指标为2的学生是A4，A5，A7，A10；建模能力指标为3的学生是A1，A2，A3，A6，A8.

记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的两人的综合指标相同”为事件B，则P(B|A)＝＝＝＝.

(2)由题可知，数学核心素养等级是一级的学生为：A1，A2，A3，A5，A6，A8，非一级的学生为余下4人，

∴X的所有可能取值为0,1,2,3.

∵P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

∴随机变量X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8.

21．(本小题满分12分)德、智、体、美、劳是对人的素质定位的基本准测，也是人类社会教育的趋向目标，所以人类社会的教育离不开德、智、体、美、劳这个根本．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴，在近期召开的教育部新闻发布会上，教育部体育卫生与艺术教育司司长透露，目前全国已有4个省份开展美育中考计分，同时还有6个省份，12个地市开始(启动)了中考美育计分．分值在10分到40分之间，到2022年力争全覆盖，全面实行美育中考，同时，为体育、美育纳入高考做好前期准备工作．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课．某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．

(1)若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球2个白色足球的概率；

(2)若无放回地取3次，每次取1个球，若取出1个黄色足球得1分，取出1个白色足球不得分，求得分X的分布列和数学期望．

[解析]　(1)从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出黄色足球的概率为，取出白色足球的概率为.

设事件A为“取出1个黄色足球2个白色足球”，则P(A)＝C×2×＝.

(2)X的所有可能取值为0,1,2，

则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.

所以得分X的分布列为

故得分X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

22．(本小题满分12分)现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：

根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布N(50,162).

由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为，.

(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元．记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．

(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ) ≈0.997)

[解析]　(1)设各阶段猪的数量分别为n1，n2，n3，

∵猪的体重X近似服从正态分布N(50,162)，

∴P(2≤X<18)＝P(50－3×16≤X<50－2×16)≈＝0.021 5，

∴n1＝10 000×0.0215＝215(头)；

P(18≤X<82)＝P(50－2×16≤X<50＋2×16)≈0.954

∴n2＝10 000×0.954＝9 540(头)；

P(82≤X≤98)＝P(50＋2×16≤X≤50＋3×16)≈＝0.021 5，

∴n3＝10 000×0.021 5＝215(头)．

∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9 540头，成年期的猪215头．

(2)随机变量Y的所有可能取值为900,300，－300.

P(Y＝900)＝×＝，P(Y＝300)＝×＋×＝，P(Y＝－300)＝×＝，

∴Y的分布列为

∴E(Y)＝900×＋300×－300×＝630(元)，

由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630×215＝135 450(元)．