2023年甘肃省白银市会宁县中考一模数学试题（含解析）

2023年甘肃省白银市会宁县中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B．37 C． D．

2．如图，直线相交于点，若，则的度数是（    ）

A．30° B．40° C．60° D．150°

3．计算：（    ）

A． B． C． D．

4．在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

5．如图，是的高，若，，则边的长为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，内接于⊙，连接，则（    ）

A． B． C． D．

7．如图，已如抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

8．计算：______．

9．已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．

10．如果不等式的解集为，那么必须满足______．

11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．

12．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为_____________．

13．如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．

三、解答题

14．计算：．

15．解不等式组：，并写出它的所有整数解．

16．化简：．

17．如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．

19．如图，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点A的对应点是，点、的对应点分别是、．

(1)点A、之间的距离是______；

(2)请在图中画出．

20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．

(1)小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？

(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．

21．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高，如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，，已知小明的身高为米，求旗杆的高．

22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．

(1)求该函数的解析式及点的坐标；

(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．

23．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：

(1)这100名学生的“劳动时间”的中位数落在__________组；

(2)求这100名学生的平均“劳动时间”；

(3)若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．

24．如图，与等边的边，分别交于点，，是直径，过点作于点．

（1）求证：是的切线；

（2）连接，当是的切线时，求的半径与等边的边长之间的数量关系．

25．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．

26．问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．

(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；

(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．

①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；

②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．

参考答案：

1．B

【分析】根据相反数的定义解答即可．

【详解】-37的相反数是37．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了相反数，掌握定义是解题的关键．即只有符号不同的两个数，称其中一个是另一个的相反数．

2．A

【分析】根据对顶角相等可得．

【详解】解：∵，与是对顶角，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．

3．C

【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．

4．C

【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.

【详解】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点

∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD

∴

∴矩形的面积为

故选：C

【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.

5．D

【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．

【详解】解：∵，

∴，

∵直角中，，

∴，

∴直角中，由勾股定理可得，．

故选D．

【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．

6．A

【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．

【详解】连接OB，如图，

∵∠C=46°，

∴∠AOB=2∠C=92°，

∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．

7．C

【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．

【详解】解：】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，

∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，

∴abc＞0，故A不符合题意；

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；

∴即故B不符合题意；

当x=2时，，即，故C符合题意；

∵抛物线对称轴为直线

∴，即，故D不符合题意，

故选：C．

【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键．

8．

【分析】先计算，再计算3-5即可得到答案．

【详解】解：．

故答案为：-2．

【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简是解答本题的关键．

9．5

【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．

【详解】解：，

①+②，得

3x+3y=6-3a，

∴x+y=2-a，

∵，

∴2-a=-3，

∴a=5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．

10．

【分析】根据一元一次不等式的解集的定义即可解答．

【详解】解：∵不等式的解集为，

∴，

∴,

故答案为；

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集的定义，解一元一次不等式，理解一元一次不等式的解集的定义是解题的关键．

11．/

【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．

【详解】∵点E是AB的黄金分割点，

∴．

∵AB=2米，

∴米．

故答案为：（）．

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．

12．8.

【分析】过点A作AE⊥x交x轴于E，过点B作BF⊥x交x轴于F，根据AB=BC，可以得到EF=FC，再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F

∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC

∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）

设A点坐标为（，），则B点坐标为（，）

∵OC=OE+EF+FC

∴OC=OE+EF+FC=3a

∴

解得

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了中位线定理，反比例函数的性质和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练运用相关知识进行求解.

13．

【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．

【详解】解：连接AC交BD于点O，如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，

∴

在Rt中，AB=4，BO=，

∵，

∴

过点M作MG//BD交AC于点G，

∴,

∴

又

∴，

∴四边形MEOG是矩形，

∴ME=OG，

又

∴

∴

在和中，

,

∴≌

∴，

∴，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．

14．

【分析】先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解．

【详解】解：

【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和运算法则是解题的关键．

15．，整数解为1，2

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．

【详解】解不等式①，得，

解不等式②，得，

在同一条数轴上表示不等式①②的解集

原不等式组的解集是，

∴整数解为1，2．

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

16．1

【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．

【详解】解：原式

=1．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．

17．见解析

【分析】作的角平分线即可．

【详解】解：如图，射线即为所求作．

【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．

18．详见解析

【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．

【详解】证明：∵△是等边三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS)，

∴．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．

19．(1)4

(2)见解析

【分析】（1）根据点A、的坐标，即可得平移方式，即可求解；

（2）由平移规律可画得．

【详解】（1）解：，，

点A、之间的距离是，

故答案为：；

（2）解：，，

把向右平移4个单位长度得到，

如图所示，即为所求．

【点睛】本题考查了图形的平移，平移规律的探究，根据题意得到平移规律是解决本题的的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；

（2）解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，

∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为．

【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．3米

【分析】根据相似求出边的数量关系直接列方程求解即可．

【详解】，

，

，

∽，

，即，

，

同理得∽，

，即，

，

米，

答：旗杆的高是米．

【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键是通过证明相似得到对应边成比例．

22．(1)，

(2)

【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解．

（2）根据题意结合解出不等式即可求解．

【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，

，解得，

∴函数的解析式为：，

当时，得，

∴点A的坐标为．

（2）由题意得，

，即，

又由，得，

解得，

∴的取值范围为．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．

23．(1)C

(2)112分钟

(3)912人

【分析】（1）根据中位数的定义可知中位数落在C组；

（2）根据加权平均数的公式计算即可；

（3）用样本估计总体即可．

【详解】（1）解：由题意可知，100名学生的“劳动时间”的中位数是第50、51个数，

故本次调查数据的中位数落在C组，

故答案为：C；

（2）解：（分钟），

∴这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；

（3）解：∵（人），

∴估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的有912人．

【点睛】本题考查了统计的知识，解题的关键是仔细读图，并从中找到进一步解题的有关信息，难度不大．

24．（1）见详解；（2）

【分析】（1）连接OD，由题意易得∠A=∠B=60°，则有△AOD为等边三角形，进而可得OD∥BC，然后可得∠CFD=∠FDO=90°，最后问题可求证；

（2）连接DE，由（1）及题意易得，∠FDE=60°，则有△FDE是等边三角形，进而可得DE=DF，然后易得△CDF≌△AED，则有AE=CD=2r，最后问题可求解．

【详解】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵等边，

∴∠A=∠B=60°，

∵，

∴△AOD为等边三角形，

∴，

∴OD∥BC，

∵，

∴∠CFD=∠FDO=90°，

∵OD是半径，

∴是的切线；

（2）解：连接DE，如图所示：

由（1）可得是的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，

∴，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴△FDE是等边三角形，

∴DE=DF，

∵，是直径，

∴，

∴△CDF≌△AED（AAS），

∴AE=CD=2r，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查切线的判定定理、切线长定理及等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定定理、切线长定理及等边三角形的判定与性质是解题的关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；

（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．

【详解】（1）依题意，顶点，

设抛物线的函数表达式为，

将代入，得．解之，得．

∴抛物线的函数表达式为．

（2）令，得．

解之，得．

∴．

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．

26．(1)详见解析

(2)①DE=；②

【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；

（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．

【详解】（1）解：∵AB∥CE，

∴∠BAD=∠DEC，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠CAD=∠DEC，

∴AC=EC，

∵∠BDA=∠CDE，

∴，

∴，

即，

∴；

（2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，

由（1）得，，

∵AC＝1，AB＝2，

∴，

∴，

解得：CD=，

∴DE= CD=；

②由折叠可知∠AED＝∠C=，

∴，

由①可知，

∴，

∴，

即：．

【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．