北京市首都师范大学附属中学2023届高三下旬阶段性检测数学试题（含解析）

北京市首都师范大学附属中学2023届高三下旬阶段性检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ）

A．1 B． C． D．i

2．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（    ）

A． B． C． D．

4．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

5．已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

6．已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数则下列结论正确的是（    ）．

A．， B．，

C．函数在上单调递增 D．函数的值域是

8．已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

10．某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个．游戏规则是任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（    ）

A．只与的奇偶性有关 B．只与的奇偶性有关

C．与，的奇偶性都有关 D．与，的奇偶性都无关

二、双空题

11．已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为________；点P到焦点的距离为________．

三、填空题

12．已知向量与共线，则__________.

13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．

四、双空题

14．已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________．

五、填空题

15．在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：

①对任意的，都有

②数列不可能为常数列

③若，则数列为递增数列

④若，则当时，

其中所有正确结论的序号是___________.

六、解答题

16．在△ABC中，已知

(1)求B的大小；

(2)在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积．

①②③

17．某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；

(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

18．如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．

(1)求证：∥；

(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

19．已如．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)判断极值点个数，并说明理由；

(3)解不等式．

20．已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

21．设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：

表1

(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值：

表2

(3)对由个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部.

【详解】由题意可得：，则，

所以复数的虚部是.

故选：B.

2．A

【分析】利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.

【详解】对于可得：

可得集合；

对于可得：

可得集合，所以，

则成立，不成立，，

所以A正确，B、C、D错误.

故选：A.

3．C

【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒

【详解】由题知，由组合数性质解得n＝6，

∴＝，

令x＝1，得展开式各项系数之和为，

故选：C.

4．C

【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质判断即可.

【详解】对于A ，由，，可得或，故A 错误；

对于B，由，，，可得或平面相交，故B错误；

对于D，由，，，可得或相交或异面，

相交或异面时两直线可能不垂直，故D错误；

对于C，若，则存在直线，使得，

又，所以，又，所以，故C正确．

故选：C.

5．D

【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值.

【详解】设双曲线的半焦距为，则，

由题意可得：，

因为，整理得.

故选：D.

6．B

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，

①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，

∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，

②当{an}和{Sn}都有最小项，

∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，

Sn＝na1tn2+(a1)n，

则或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，

∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，

故选：B．

7．D

【详解】

作出函数的图象，由图可知函数是奇函数，即对 ，，故错误；

当时，满足，此时，不成立，故项错误；

函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，故项错误；

函数的值域是，故项正确．

故选．

点睛：研究函数的奇偶性和单调性，可做出函数的图象，图象关于y轴对称时函数为偶函数的充要条件，图像关于原点对称是函数为奇函数的充要条件.

对于正弦函数有.

8．A

【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值.

【详解】因为，所以直线过定点，圆可化为，则圆心，，由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，则，.

故选：A

9．A

【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出.

【详解】根据

，

可得，故，

所以，故的周期为24，所以，，

故选：A．

10．B

【分析】根据题意得到每一次两个精灵相碰，蓝色精灵的奇偶性不变，精灵总个数少一个，当最后只剩下一个精灵时，碰了次，再分别讨论的奇偶性即可得到答案.

【详解】任意两个精灵相碰，有三种情况：

第一种情况：红色，红色相碰，合并成一个红色精灵，

此时红色精灵少1个，蓝色精灵个数不变，

第二种情况：蓝色，蓝色相碰，合并成一个红色精灵，

此时红色精灵加1个，蓝色精灵个数少2个，

第三种情况：红色，蓝色相碰，合并成一个蓝色精灵，

此时红色精灵少1个，蓝色精灵个数不变.

综上：每一次两个精灵相碰，蓝色精灵的奇偶性不变，精灵总个数少一个，

所以当最后只剩下一个精灵时，碰了次.

当为奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵，

当为偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵，

那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与的奇偶性有关.

故选：B

11．          2

【分析】由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点P到焦点的距离.

【详解】抛物线的准线方程为，焦点的坐标为，

因为点在抛物线上，

由抛物线定义可得点P到焦点的距离等于点到准线的距离，

所以点P到焦点的距离为.

故答案为：，2.

12．.

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

13．5

【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可.

【详解】设区域代号为，种植密度为，单株产量为，则，

由图象可得种植密度是区域代号的一次函数，

故设，，

由已知函数的图象经过点,，

所以，解得，

所以，

由图象可得单株产量是区域代号的一次函数，

故可设，，

观察图象可得当时，，当时，，

所以，解得，

所以，

所以总产量

当时，函数有最大值，即号区域总产量最大，最大值为.

故答案为：5.

14．          .

【分析】由函数的定义，求，由时，，当时，可得已知条件等价于在上恒成立，化简可求的范围．

【详解】由已知，

若，则，所以，

当时，，当时，，

因为对恒成立；

所以当时，恒成立，

所以当时，恒成立，

若，则当时，，矛盾，

当时，可得恒成立，所以，

所以t的取值范围是为，

故答案为：，.

15．①③④

【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.

【详解】解：对于①，在数列中，，则，

又对于任意的都有，则，即，

即对于任意的，都有，故①项正确；

对于②，不妨设数列可能为常数列，则，

又，则，则，

即时，数列为常数列，故②项错误；

对于③，

又，则，即，

同理，当，都有，即，

即，即数列为递增数列，故③项正确；

对于④，，则，即，

同理，当，都有，

又，即数列为递减数列，

即当时，，故④项正确.

故答案为：①③④.

16．(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小；

（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积.

【详解】（1）

由正弦定理得

，

，即，

又，；

（2）选①：

或，所以△ABC不唯一存在

所以①不能选；

选②：，即

选③

即

或（舍）

.

17．(1)

(2)分布列见解析，

(3)3月3日

【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.

（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.

（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.

【详解】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000，

故.

（2）由（1）知：，

，，，

的分布列为：

（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，

（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，

人，人，人，

由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

18．(1)证明见详解

(2)

(3)存在，

【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；

（2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角；

（3）设，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算.

【详解】（1）因为//，平面，平面，

所以//平面，

又因为平面，平面平面直线l，

所以∥.

（2）取的中点，连接，

由题意可得：//，且，

则为平行四边形，可得//，

且平面PAD，则平面PAD，

由平面PAD，则，

又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得，

，平面，则平面，

如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

可得，

设平面的法向量，则，

令，则，即，

由题意可知：平面PAD的法向量，

可得，

所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.

（3）由（2）可得：，

设，，则，

可得，解得，

即，可得，

若∥平面AEF，则，

可得，解得，

所以存在点，使得∥平面AEF，此时.

19．(1)；

(2)函数极值点个数为，理由见解析；

(3)不等式的解集为.

【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；

（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此确定函数的极值点的个数；

（3）根据函数的单调性，极值及确定不等式的解集.

【详解】（1）函数的定义域为，导函数，

所以，，

所以曲线在点处的切线斜率为1，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）设，则，

令，可得，又为上的增函数，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

又，，，

所以存在使得，

当时，，即，函数在上单调递增，

当时，，即，函数在上单调递减，

当时，，即，函数在上单调递增，

所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，

所以函数有两个极值点；

（3）因为函数在上单调递增，，，

所以当时，不等式的解为，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上的最小值为，

因为，，

所以，

所以当时，不等式的解为，

所以不等式的解集为.

20．(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，

由题意可得，解得，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）由（1）可得：，

根据题意可设直线，

联立方程，消去y得，

则，

可得，①

由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则，

可得，

因为，可得，

整理得，②

将①代入②得：，解得，

所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.

【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略

（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．

（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．

21．(1)答案见解析；

(2)或

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；

（2） 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；①如果先操作第三列，第一行之和为，第二行之和为，再考虑第二次操作，由此列出不等关系解得；②如果操作第一行，再根据各列的和考虑第二次操作，由条件列不等式求，（3） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，由此证明结论．

【详解】（1）法1：

法2：

法3：

（写出一种即可）

（2）数表A

每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;

①如果先操作第三列，则

则第一行之和为，第二行之和为，

若，则，即，

再操作第二行，则

此时第四列为负数，不满足要求；

若，则，即，

再操作第一行，则

由已知，，又a为整数，

解得或，

若，则

若，则

所以或满足要求，

②如果先操作第一行，则

则第一列的所有数的和为，第二列的所有数的和为，

第三列的所有数的和为，第四列的所有数的和为，

若，则，与已知矛盾，

若，则，与已知矛盾，

若，则，又a为整数，

由已知，所以或，

若，则

再操作第三列即可，

若，则

再操作第三列即可.

综上，或，

（3）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.

【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.