2021北京人大附中朝阳学校初三三模数学（教师版）

2021北京人大附中朝阳学校初三三模

数    学

2021年6月

(考试时间：120分钟满分：100分)

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.请将正确选项填涂在答题卡相应的位置.

1.剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》.下列剪纸作品中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A   B         C      D

2.下面的几何体中，主视图为三角形的是(    )

3.现代比较先进的光学显微镜可以观测0.000 0005米.将0.000 0005用科学记数法表示为(    )

A.5×10-8  B.0.5×10-9  C.5×10-9  D.5×10-7

4.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    )

A.  B.c-b>0   C.ac>0   D.a+c>0

5.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，∠C的度数为(    )

A.60°  B.45°   C.40°   D.30°

6.如图，ABCD中，AD=5，AB=3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为(    )

A.4    B.3   C.2   D.1

7.如图OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于P点.若OA=5，AP=2，则弦BC的长为(    )

A.10  B.8   C.6   D.4

8.如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是(    )

①甲、乙的射击成绩的平均数都是8

②甲、乙的射击成绩的众数都是8

③甲成绩的方差比乙成绩的方差小

④甲、乙成绩的中位数都是8

A.①②③  B.①②④  C.②③④  D.①②③④

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.分解因式：_________________.

10.在函数中，自变量x的取值范围是_____________.

11.写出一个图象经过点(1，1)的函数的表达式，所写的函数的表达式为________.

12.下图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对“30mm”刻度线，DE//AB.若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为______mm.

13.如图，四边形ABCD的顶点均在⊙O上，∠A=70°，则∠C=_______________.

14.2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.如果直州三角形的直角边长分别为a，b(a>b)，斜边长为c，那么小正方形的面积可以表示为_________.

15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》共有三卷.第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何?“译文：“现在有一种野兽，长有六头四足：有一种鸟，长有四头两足，把它们放一起，有76头：46足.问野兽、鸟各有多少只?“设野兽x只，鸟y只，可列方程组为__________________.

16.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：

那么这种油菜籽发芽的概率是____________(结果精确到0.01).

三、解答题(本题共68分，第17-25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分)

17.计算：

18.已知，求代数式的值.

19.求不等式组的整数解.

20.已知关于x的方程有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围：

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根.

21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b和反比例函数的图象都经过点A(3，m)，B(n，-3).

(1)求n的值和一次函数的表达式；

(2)不等式的解集是__________________.

22.如图.在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.EF与CD交于点G.

(1)求证：BD//EF；

(2)若，BE=4，求EC的长.

23.观察图片中的风筝，它们的主体部分可以看成是一个四边形，这类四边形的特征是两组邻边分别相等，我们把这样的四边形叫做“筝形”，

(1)提出猜想

通过观察、测量等方法猜想筝形的对角线有什么性质，写出你的猜想____________________(写出一个即可)

(2)证明猜想(结合图1写出已知，求证，并证明)

(3)解决问题

如图2，在筝形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=6，求对角线AC的长.

24某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数，井将调查所得的数据整理如下：

参加社区活动次数的频数分布直方图    参加社区活动次数的频数、频率分布表

根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)表中a=________，b=________.

(2)补全“参加社区活动次数的频数分布直方图”(画图后请标注相应的数据)；

(3)若该校共有1200名学生，估计该校在上学期参加社区活动超过12次的学生有多少人?

25.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.

(1)求证：OP⊥CD；

(2)连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长.

26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线.

(1)求此抛物线的定点坐标(用含m的式子表示)；

(2)如果当-2<x<-1时，y>0，并且当2<x<3时，y<0，求该抛物线的表达式；

(3)如果(2)中的抛物线与x轴相交于A、B(点A在点B左侧)，现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l:y=-x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围.

27.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.

(1)依题意补全图1；

(2)若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

(3)如图2，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于两点与的"比例距离"，给出如下定义：若，则线段的长为点与点的“比例距离”，

例如：点，点，因为,

所以点与点的“比例距离”为，也就是图1中线段的长.

(1)若点O与点A(2，a)之间存在“比例距离”，且a>0则a=______________，点O与点A(2，a)的“比例距离”为______________；

(2)点B是直线y=x+3上的一个动点，

①求点O与点B的“比例距离”及相应的点B的坐标；

②如图2，C是以原点O为圆心，为半径的上的一个动点，求点B与点C的“比例距离”的最小值及相应的点C的坐标.

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.请将正确选项填涂在答题卡相应的位置.

1．剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》．下列剪纸作品中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

2．下面的几何体中，主视图为三角形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据每个选项中的几何体的主视图的形状进行判断即可．

【解答】解：A．长方体的主视图是长方形，因此选项A不符合题意；

B．圆锥的主视图是三角形，因此选项B符合题意；

C．圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；

D．三棱柱的主视图是长方形，因此选项D不符合题意；

故选：B．

3．现代比较先进的光学显微镜可以观测0.0000005米．将0.0000005用科学记数法表示为（　　）

A．5×10﹣8 B．0.5×10﹣9 C．5×10﹣9 D．5×10﹣7

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．

故选：D．

4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0

【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．

【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；

又∵c＞b，∴c﹣b＞0，∴B正确；

又∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴C不正确；

又∵a＜﹣3，c＜3，∴a+c＜0，∴D不正确；

故选：B．

5．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝80°，

∴∠B＝∠ADB＝80°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，

∵AD＝CD，

∴∠C＝＝＝40°．

故选：B．

6．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，DC＝AB＝3，AD∥BC，推出∠DAE＝∠BEA，根据AE平分∠BAD，能证出∠BAE＝∠BEA，根据等腰三角形的判定得到AB＝BE＝3，根据EC＝BC﹣BE，代入即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝7，DC＝AB＝4，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE＝3，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，

故选：C．

7．如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于P点．若OA＝5，AP＝2，则弦BC的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4

【分析】根据勾股定理，可得BP，根据垂径定理，可得答案．

【解答】解：OB＝OA＝5，OP＝OA﹣AP＝3，

由勾股定理，得

BP＝＝4，

由垂径定理，得

BC＝2BP＝8，

故选：B．

8．如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（　　）

①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【解答】解：①＝×（7+10+9+5+8+10+8+6+9+8）＝8（环），

＝×（8+9+8+8+7+8+9+8+8+7）÷10＝8（环），

则甲、乙的射击成绩的平均数都是8环；

②甲、乙的射击成绩的众数都是8环；

③从统计图中可以看出，甲成绩的方差比乙成绩的方差大；

④把甲的射击环数从小到大排列为5，6，7，8，8，8，9，9，10，10，

则中位数是＝8（环），

把乙的射击环数从小到大排列为7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，

则中位数是＝8（环）．

其中正确的是①②④，

故选：B．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．分解因式：2m3﹣8m＝　2m（m+2）（m﹣2）　．

【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．

【解答】解：2m3﹣8m＝2m（m2﹣4）

＝2m（m+2）（m﹣2）．

故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．

10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2　．

【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．

【解答】解：在函数y＝中，有x﹣2≥0，解得x≥2，

故其自变量x的取值范围是x≥2．

故答案为x≥2．

11．写出一个图象经过点（1，1）的函数的表达式，所写的函数的表达式为　y＝x，y＝，y＝x2　．

【分析】此题只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合（1，1）的解析式即可．

【解答】解：将点（1，1）代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得：

y＝x，y＝，y＝x2等．

故答案为：y＝x，y＝，y＝x2等．

12．如图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为　2　mm．

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△CDE∽△CAB进而得出比例式求出答案．

【解答】解：由题意可得：∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴＝，

即＝，

解得：DE＝2，

故答案为：2．

13．如图，四边形ABCD的顶点均在⊙O上，∠A＝70°，则∠C＝　110　°．

【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠A＝180°，

∴∠A＝180°﹣70°＝110°．

故答案为：110．

14．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》．其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果直角三角形的直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，那么小正方形的面积可以表示为　c2﹣2ab　．

【分析】小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积．

【解答】解：依题意得：小正方形的面积＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab．

故答案是：c2﹣2ab．

15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》共有三卷．第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问：禽、兽各几何？”

译文：“现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足，把它们放一起，共有76头，46足．问野兽、鸟各有多少只？”设野兽x只，鸟y只，可列方程组为　　．

【分析】设野兽x只，鸟y只，根据共有49只，76头，列方程组．

【解答】解：设野兽x只，鸟y只，可得：，

故答案为：．

16．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：

那么这种油菜籽发芽的概率是　0.95　（结果精确到0.01）．

【分析】观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种油菜发芽的概率．

【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，

则这种油菜籽发芽的概率是0.95，

故答案为：0.95．

三、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）

17．（5分）计算：．

【分析】根据二次根式，幂的运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值的运算将各项化简然后计算求解．

【解答】解：原式＝2﹣1﹣4×+9＝8．

18．（5分）如果a2+2a﹣1＝0，求代数式（a﹣）•的值．

【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，然后对a2+2a﹣1＝0变形即可解答本题．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝a（a+2）

＝a2+2a，

∵a2+2a﹣1＝0，

∴原式＝1．

19．（5分）求不等式组的整数解．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：，

解不等式2（x+1）＞3x，得：x＜2，

解不等式≥﹣2，得：x≥﹣1，

则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，

则不等式组的整数解为﹣1、0、1．

20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．

【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；

（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可

【解答】解：（1）根据题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，

解得k＜；

（2）∵k＜且k为正整数，

∴k＝1或2．

当k＝1时，方程为x2+2x﹣2＝0 此方程无整数根；

当k＝2时，方程为x2+2x＝0   解得：x＝0或x＝﹣2．

∴k＝2，方程的根为x＝0或x＝﹣2．

21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象都经过点A（3，m），B（n，﹣3）．

（1）求n的值和一次函数的表达式；

（2）不等式的解集是 　x＞3或0＜x＜2　．

【分析】（1）先由A（3，m），B（n，﹣3）在反比例函数的图象上求出m＝﹣2，n＝2，得A（3，﹣2），B（2，﹣3），再代入y＝kx+b，解得，即可得一次函数的表达式为y＝x﹣5；

（2）画出大致图象，数形结合即可得到不等式的解集．

【解答】解：（1）将A（3，m），B（n，﹣3）代入得：

m＝，﹣3＝﹣，解得m＝﹣2，n＝2，

∴A（3，﹣2），B（2，﹣3），

将A（3，﹣2），B（2，﹣3）代入y＝kx+b得：

，解得，

∴一次函数的表达式为y＝x﹣5；

（2）图象大致如图：

根据图象可得，不等式的解集是x＞3或0＜x＜2，

故答案为：x＞3或0＜x＜2．

22．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．

（1）求证：BD∥EF；

（2）若＝，BE＝4，求EC的长．

【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∵DF＝BE，

∴四边形BEFD是平行四边形，

∴BD∥EF；

（2）∵四边形BEFD是平行四边形，

∴DF＝BE＝4．

∵DF∥EC，

∴△DFG∽CEG，

∴＝，

∴CE＝＝4×＝6．

23．（5分）观察图片中的风筝，它们的主体部分可以看成是一个四边形，这类四边形的特征是两组邻边分别相等，我们把这样的四边形叫做“筝形”．

（1）提出猜想通过观察、测量等方法猜想筝形的对角线有什么性质，写出你的猜想 　有一条对角线垂直平分另一条对角线　．（写出一个即可）

（2）证明猜想．（结合图1写出已知，求证，并证明）．

（3）解决问题．如图2，在筝形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝6，求对角线AC的长．

【分析】（1）观察图1，猜想AD＝CD，AB＝CB，可见点B、D在AC的垂直平分线上，即BD垂直平分AC；

（2）可先证明△ABD≌△CBD，得∠ABD＝∠CBD，再由等腰三角形的“三线合一”性质证明BD垂直平分AC；

（3）由（2）得△BAC≌△DAC，则∠BAC＝∠DAC＝30°，在Rt△ABC中，由cos30°＝即可求出对角线AC的长．

【解答】解：（1）观察图1，再联系到筝形的定义可得AD＝CD，AB＝CB，可知点D、B都在AC的垂直平分线上，可以猜想：筝形有一条对角线垂直平分另一条对角线，

故答案为：有一条对角线垂直平分另一条对角线．

（2）已知：四边形ABCD是筝形，且AB＝CB，AD＝CD，

求证：BD垂直平分AC，

证明：如图1，∵AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ABD＝∠CBD，

∵AB＝CB，

∴BD垂直平分AC.

（3）如图2，由（2）得△BAC≌△DAC，

∴∠BAC＝∠DAC，

∵∠DAB＝60°，

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，

∵∠ABC＝90°，

∴＝cos30°＝，

∴AC＝＝＝4．

24．（5分）某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数，井将调查所得的数据整理如下：参加社区活动次数的频数、频率

根据以上图表信息，解答下列问题：

（1）表中a＝　12　，b＝　4　．

（2）补全“参加社区活动次数的频数分布直方图”（画图后请标注相应的数据）；

（3）若该校共有1200名学生，估计该校在上学期参加社区活动超过12次的学生有多少人？

【分析】（1）根据频数、频率、样本容量之间的关系可求出a的值，再根据所有频数之和等于样本容量可求出b的值；

（2）根据频数分布表，在频数分布直方图中画出相应的长方形即可；

（3）求出样本中“参加社区活动超过12次的学生”所占的百分比即可求出相应的人数．

【解答】解：（1）10÷0.20＝50（人），a＝50×0.24＝12（人），

b＝50﹣10﹣12﹣16﹣6﹣2＝4（人），

故答案为：12，4；

（2）补全频数分布直方图如下：

（3）1200×＝144（人），

答：该校1200名学生中，在上学期参加社区活动超过12次的学生大约有144人．

25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．

（1）求证：OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．

【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；

（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．

【解答】解：（1）连接OC，OD，

∴OC＝OD，

∵PD，PC是⊙O的切线，

∵∠ODP＝∠OCP＝90°，

在Rt△ODP和Rt△OCP中，

，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），

∴∠DOP＝∠COP，

∵OD＝OC，

∴OP⊥CD；

（2）如图，连接OD，OC，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，

∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，

∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，

∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，

∵∠ODP＝∠OCP＝90°，

∵OD＝OC，

∴△COD是等边三角形，

由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，

在Rt△ODP中，OP＝＝．

26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．

（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

（2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；

（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．

【分析】（1）由顶点公式（）得；

（2）由“﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0”，列出等式，求出m的值，得到函数表达式；

（3）数形结合，找到直线l特殊的位置，求出对应的k，最后得出k的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝1+m，

∴＝＝1，＝m，

∴顶点坐标为：（1，m）．

（2）∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，如图，

∴当x＝﹣1时，y＝0，即：1+2+1+m＝0，

解得：m＝﹣4，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．

（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴点A（﹣1，0），B（3，0），

∵y＝x2﹣2x﹣3．

∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．

当直线l经过点A（﹣1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，

把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得：1+k＝0，

解得：k＝﹣1，

当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，

把点B（3，0）代入y＝﹣x+k，得：﹣3+k＝0，

解得：k＝3，

当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，

由，得：x2﹣3x+k﹣3＝0，

∴Δ＝9﹣4（k﹣3）＝0，

解得：k＝，

∴k的取值范围：﹣1＜k＜3或k＞．

27．（8分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可；

（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；

（3）由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，进而利用勾股定理得出答案．

【解答】解：（1）如图1所示：

（2）如图2，连接AE，

则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠EAP＝∠BAP＝20°，

∴∠EAD＝130°，

∴∠ADF＝＝25°；

（3）如图3，连接AE、BF、BD，

由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，

∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，

∴BF2+FD2＝BD2，

∴EF2+FD2＝2AB2．

28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“比例距离”，给出如下定义：若2|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，则线段P1P2的长为点P1与点P2的“比例距离”，例如：点P1（1，2），点P2（2，4），因为2|1﹣2|＝|2﹣4|，所以点P1与点P2的“比例距离”为，也就是图1中线段P1P2的长．

（1）若点O与点A（2，a）之间存在“比例距离”，且a＞0则a＝　4　，点O与点A（2，a）的“比例距离”为 　2　；

（2）点B是直线y＝x+3上的一个动点．

①求点O与点B的“比例距离”及相应的点B的坐标；

②如图2，C是以原点O为圆心，为半径的上的一个动点，求点B与点C的“比例距离”的最小值及相应的点C的坐标．

【分析】（1）根据题干可得OA所在直线解析式为y＝2x，将点A坐标代入求解．

（2）①分类讨论点B所在直线解析式为y＝2x与y＝﹣2x两种情况．

②平移y＝x+3与圆相切于点C，由直线与圆的对称性可得点C坐标，然后将点C代入y＝﹣2x+b求解．

【解答】解：（1）由题意得OA在y＝±2x+b的直线上，

∵直线经过原点且a＞0，

∴y＝2x，

把x＝2代入y＝2x得y＝4，

∴a＝4，比例距离为＝2．

故答案为：4，2．

（2）①联立方程，

解得，

∴点B坐标为（3，6），点O与点B的比例距离为＝3．

联立方程，

解得，

∴点B坐标为（﹣1，2），点O与点B的比例距离为＝．

综上所述，点B坐标为（3，6）或（﹣1，2），点O与点B的比例距离为3或．

②如图，平移y＝x+3与圆相切于点C，

∵圆与直线y＝x+3关于直线y＝﹣x对称，

∴点C坐标为（﹣1.1），

把C（﹣1，1）代入y＝﹣2x+b得：

1＝2+b，

解得b＝﹣1，

∴点B，C所在直线方程为y＝﹣2x+b，

联立方程，

解得，

∴点B坐标为（﹣，），

∴点B与点C的比例距离为＝．