2021北京人大附中初三（上）期中数学（教师版）

2021北京人大附中初三（上）期中

数    学

2021.11.3

制卷人：王宇    审卷人：孙芳、左丽华

第一部分：选择题

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．（2分）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　

A．1，， B．1，5，2 C．1，5， D．0，，

2．（2分）若点与点关于原点对称，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

3．（2分）若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是　　

A． B． C． D．无法确定

4．（2分）用配方法解方程时，原方程应变形为　　

A． B． C． D．

5．（2分）如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出，，则轮子的半径为　　

A． B． C． D．

7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列说法中不正确的是　　

A．， 

B． 

C．方程的实数为， 

D．不等式的解集为

8．（2分）如图，是半圆的直径，小宇按以下步骤作图：

（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；

（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；

（3）连接，，，与交于点．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论：

①平分；②；③．

所有正确结论的序号是　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9．（2分）利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案，如图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是 　　．

10．（2分）将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为 　　．

11．（2分）如图，在中，，连接，，则　　（填“”，“ ”或“” ．

12．（2分）一元二次方程有两个相等实数根，则　　．

13．（2分）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，若，则的度数为 　　．

14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是 　　．

15．（2分）某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为，则可列方程为 　　．

16．（2分）在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列结论：

①若这个函数的图象经过点，则它必有最大值；

②若这个函数的图象经过第三象限的点，则必有；

③若，则方程必有一根大于1；

④若，则当时，必有随的增大而增大．

结合图象判断，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）解方程：．

18．（5分）如图，已知，平分，在上，且．求证：．

19．（5分）已知是方程的一个根，求代数式的值．

20．（5分）如图，，是上的两点，是的中点．求证：．

21．（5分）下面是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程：

已知：．

求作：射线，使得平分．

作法：如图，

①在射线上任取一点，以为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点；

②以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；

③连接，交于点，作射线．

射线就是要求作的角平分线．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：是的直径，点在上，

　　（填推理的依据）．

．

，

平分　　（填推理的依据）．

22．（6分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数的值．

23．（5分）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点．

（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；

（2）将这个二次函数的图象沿轴向下平移，请回答：当向下平移 　　个单位时，所得到的新的函数图象与轴的两个交点之间的距离为4．

24．（6分）如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为．

（1）①当运动停止时，的值为 　　．

②设，之间的距离为，则与满足 　　（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）．

（2）设的面积为，

①求的表达式（用含有的代数式表示）；

②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？

25．（6分）已知是的直径，为上一点，连接，过点作于，交于点，连接，交于．

（1）如图1，求证：．

（2）如图2，连接，若，，求的长．

26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含有的式子表示）．

（2）若这条抛物线过点，，且，结合图象，求的取值范围；

（3）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线交这条抛物线于点，，若和中有且仅有一个为钝角三角形，结合图象，求的取值范围．

27．（7分）在中，，，为平面内一点，且满足，以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．

（1）如图1，当点在线段上时，恰有，连接交于，求证：为中点；

（2）连接，，取的中点，连接，

①当点在内时，如图2，用等式表示与的数量关系，并证明；

②令，若当，，三点共线时，恰有，直接写出此时的值．

28．（7分）在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形．

例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．

已知点，

（1）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　　（填序号）

①

②

③

（2）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围；

（3）若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围．

2021北京人大附中初三（上）期中数学

参考答案

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．

【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，，，

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找各项的系数时，带着前面的符号．

2．【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案．

【解答】解：点与点关于原点对称，

点的坐标为，

故选：．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．

3．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近得到、的大小关系．

【解答】解：，

抛物线开口向上，对称轴是直线，

点，离直线一样近，

，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

4．【分析】常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．

【解答】解：，

，

则，即，

故选：．

【点评】本题主要考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

5．【分析】由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果．

【解答】解：，，，

，

由旋转所得，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．

6．【分析】由垂径定理，可得出的长；连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．

【解答】解：设圆心为，连接．

中，，

根据勾股定理得：

，即：

，

解得：；

故轮子的半径为．

故选：．

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

7．【分析】由开口方向和与轴的交点位置判定选项，由对称轴为直线判定选项，由图象与轴的交点判定选项和选项．

【解答】解：、开口向下，与轴的交点在轴负半轴上，

，，故选项正确，不符合题意；

、抛物线的对称轴为直线，

，

，故选项正确，不符合题意；

、函数图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，

函数图象与轴的另一个交点为，

方程的实数为，，故选项正确，不符合题意；

、由图象可知，函数图象在轴下方部分对应的取值范围为或，

不等式的解集为或，故选项错误，符合题意．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与轴的交点和一元二次方程、一元二次不等式间的关系，解题的关键是能够快速准确的读懂题目发现图象中所蕴含的信息．

8．【分析】由作图可知，垂直平分线段，平分，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．

【解答】解：由作图可知，垂直平分线段，平分，

，

，

，

平分，故①正确；

，

，

，

，

，

，

，故②正确，

，

，

，

，

，故③正确，

正确结论的序号是①②③．

故选：．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二、填空题（共16分，每题2分）

9．【分析】根据中心对称图形定义结合所给图形即可判断．

【解答】解：根据中心对称图形定义结合所给图形可知：①、③是中心对称图形，

故答案为：①、③．

【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．

10．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

11．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，根据三角形三边关系得到，即可得到．

【解答】解：，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．

12．【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的方程，可求得的值．

【解答】解：

一元二次方程有两个相等实数根，

△，即，解得，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．

13．【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．

【解答】解：，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

14．【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是、的垂直平分线的交点．

【解答】解：如图，旋转中心是、的垂直平分线的交点，

旋转中心的坐标为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了图形的旋转，明确旋转中心到对应点距离相等是解题的关键．

15．【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为，根据该商店今年8月份及10月份的销售额，即可得出关于的一元二次方程．

【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为，

依题意，得：，

故答案为：．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16．【分析】根据抛物线经过原点和点，然后根据二次函数的性质即可判断．

【解答】解：①二次函数的图象经过原点和，且时，，

抛物线开口向下，函数必有最大值，故①正确；

②当顶点在第一象限，则，当顶点在第三象限，则，故②错误；

③若，则抛物线顶点在第一象限，开口向下，

抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1，

方程必有一根大于1，故③正确；

④若，则抛物线顶点在轴的下方，开口向上，

二次函数的图象经过原点和．，且，

抛物线的对称轴，

当时，必有随的增大而增大，故④正确；

故答案为：①③④．

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．【分析】移项后，再将左边因式分解得出，继而得或，再进一步求解即可．

【解答】解：，

，

，

则或，

解得，．

【点评】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当方法是解题关键．

18．【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出．

【解答】证明：，

，

平分，

，

，

在和中，

，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，证明是解题的关键．

19．【分析】将代人方程，得到，然后整体代人即可．

【解答】解：是方程的一个实数根，

，

原式

．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．

20．【分析】连接．证明，可得结论．

【解答】证明：连接．

是的中点，

，

，

在和中，

，

，

．

【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

21．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）利用圆周角定理，等腰三角形的性质证明即可．

【解答】（1）解：如图，射线即为所求；

（2）证明：是的直径，点在上，

（直径所对的圆周角是直角），

．

，

平分 （等腰三角形的三线合一）．

故答案为：直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的三线合一．

【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22．【分析】（1）证明△即可；

（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．

【解答】（1）证明：△

．

，

方程总有两个实数根．

（2）解：用因式分解法解此方程，

可得，

解得，，

若方程有一个根为负数，则，

故．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．

23．【分析】（1）利用对称轴公式和点得到关于、的二元一次方程组，然后求得与的值，从而得到二次函数的解析式，最后再画出函数图象；

（2）将函数利用交点之间的距离为4得到平移后图象与轴的交点坐标，然后求得平移后的函数解析式，最后得到平移的距离．

【解答】解：（1）对称轴为直线，

，

，

将点代入函数解析式，得，

二次函数的解析式为，

作出函数图象如下，

．

（2）平移后函数图象的对称轴为直线，与轴的交点间的距离为4，

平移后函数图象与轴的交点为，，

平移后函数的解析式为，

平移前的函数解析式为，

函数图象向下平移了3个单位，

故答案为：3．

【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的平移变换，解题的关键是通过函数的对称轴和平移后与轴的交点间的距离为4得到与轴的两个交点．

24．【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，的值为，

②由已知可得，即，即可得到答案；

（2）①由已知可得：，，即可得；

②由，即可得时，的值最大为6．

【解答】解：（1）①，，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，

当运动停止时，的值为，

故答案为：2；

②由已知可得；，

而，

，

，是一次函数，

故答案为：一次函数关系；

（2）①由已知可得：，，

；

②，

且，

时，的值最大为6．

【点评】本题考查函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示、的长度．

25．【分析】（1）证明，推出，由，推出，可得结论；

（2）证明，求出，，可得结论．

【解答】（1）证明：如图1中，

是直径，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：如图2中，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会性质特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．

26．【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；

（2）函数开口向上，对称轴是直线，根据离对称轴距离越远，函数值越大可得出，

整理得，解得或；

（3）当和中有且仅有一个为钝角三角形时，则或，分别求解即可．

【解答】解：（1）抛物线，

抛物线的顶点坐标为；

（2），

函数开口向上，时函数取得最小值，

离对称轴距离越远，函数值越大，

抛物线过点，，且，

，

，

或；

（3）把点代入的表达式并解得：，

则，直线的表达式为：，

如图，

在直线上，当时，点与重合，

当时，，

则，

则点，

若和中有且仅有一个为钝角三角形，

则或，

解得：或，

的取值范围是：或．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式组，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，求出抛物线与直线的交点坐标是解题的关键．

27．【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可得，利用平行线性质可得，再由旋转性质可得出，利用证明，即可得出结论；

（2）①如图2，延长至，使，连接，证明，，利用全等三角形性质即可得出结论；

②如图3，延长至，使，连接，设，则，运用勾股定理可得出，再由，，推出，再分两种情况：当点在内部时或当点在外部时，分别求得答案即可．

【解答】（1）证明：如图1，，，

，

，

，

由旋转得：，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

为中点；

（2）①．

证明：如图2，延长至，使，连接，

点是的中点，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

．

②如图3、图4，延长至，使，连接，

，，三点共线，，

，

，，

，

设，则，

，

，

点是的中点，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

当点在内部时，如图3，

则，

；

当点在外部时，如图4，

则，

；

综上所述，的值为或．

【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形判定和性质，旋转变换的性质，等腰三角形性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．

28．【分析】（1）当绕点旋转时有最小值，求出此时，当绕中点旋转时，有最大值为，根据的取值判断即可；

（2）求出直线与轴和轴的交点和，连接，由勾股定理得出，且，要使直线是线段的联络图形，则，即可求出的取值范围；

（3）当点在上且时求出的最大值，当点在轴上，且线段在直线上时求出的最小值，即可得出的取值范围．

【解答】解：（1）如下图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于，

，，

，，

，

在△中，，

即若直线是线段的联络图形，最小取值为，

如下图，将线段绕中点逆时针旋转，

此时点刚好落到直线上的点，

即若直线是线段的联络图形，最大取值为，

，

故答案为：②③；

（2）设直线与轴和轴的交点分别为点和点，

在直线中，当时，，当时，，

，，

，，

在中，，

，

①若点在点左侧，连接，如下图，

，

，

在中，，

，，

，

故，

直线是线段的联络图形，

，

即，

；

②若点在点右侧，在上取一点，使，如下图，

由①知，

，

，

直线是线段的联络图形，

，

即，

，

综上，的取值范围为或；

（3）由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限，

当时，如下图，

过点作轴于点，

，，

，，

在中，，

，

在中，，

，

；

当点在轴上时，如下图，

在中，，

，

当时，线段在直线上，

又点在第一象限，

故，符合条件，

综上，的取值范围为．

【点评】本题主要考查一次函数的性质，特殊角三角函数等知识，熟练掌握一次函数的性质，特殊角三角函数及正确理解线段的联络图形这一新定义是解题的关键．