2021北京三帆中学初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京三帆中学初三（上）期中数学（教师版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京三帆中学初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）．

A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A. 1 B. C. ±1 D. 不存在
4. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
5. 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ）
A B.
C. D.
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（ ）．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA=AB，则∠AOB=（ ）．

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
8. 已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）．

A. 9 B. 20 C. 10 D. 5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 二次函数的最______值是________．
10. 将二次函数用配方法化成的形式为y=__________．
11. 若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式=_______．
12. 如图，⊙O的半径为10， AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=4，那么AB的长是____________．

13. 点，在抛物线上，则___.（填“＞”“＜”或“＝”）
14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________．

15. 一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为______．
16. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，），线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________ ．（填正确结论的序号）
①图形G关于直线y=0对称；
②线段MN的长为；
③扇形OMA的面积；
④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．

三、解答题
17. 解方程：
18. 已知二次函数．
（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…





…
（2）根据图象回答：当0≤ x <3时，y的取值范围是______________．

19. 已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若k为正整数，求此时方程的解．
20. 已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为A和B．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此抛物线对称轴交x轴于点C，求S△ABC．
21. 已知：如图，点A，B，C是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个单位长度．

（1）请画出平移后的图形△A1B1C1；
（2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 ．
22. 刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
23. 下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．求作：过A点的⊙O的一条切线．

作法：① 连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
② 以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③ 连接OB交⊙O于点C，作直线AC．
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB的中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O切线（ ）（填推理的依据）．
24. 法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么， ．
后来人们将这个“一元二次方程根与系数的关系”称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．
请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：
（1）已知是方程的两根，则＝ ，＝ ；
（2）设是方程的两个根，则的值是（ ）；
A．15 B．12 C．6 D．3
（3）若是两个不相等的实数，且满足，，那么=_____．
25. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M ，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F在弧BD上，且∠DCF=45°，CF交AB于点N．
①请补全图形；
②若DE=，求FN的长．
26. 平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）若抛物线经过点（3，0），
①求该抛物线的表达式；
②将抛物线在第一象限的部分记为图象G，如果经过点（－1，4）的直线与图象G有公共点，请在图1中结合函数图象，求t的取值范围；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．记抛物线与x轴的交点为A、B．若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，请结合函数图象，直接写出m 的取值范围．
27. 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点．线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF， 直线EF交直线AB于点G．

（1） 如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD=20°，则∠AGE=______°；
（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O， OG=OA， AG=AD，求证：GF=FD．
（3）如图3，若∠BAC > 60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF=AE时，请直接写出∠FAC与∠DAC数量关系．
28. 在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为．例如，下图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．已知∠MON=60°，H、I是∠MON的内嵌点时，

（1）当OH=OI=2时，的最小值是_________________；
（2）当OH=2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；
（3）当OH≤OI，=3，时，求线段OI长度的范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）．

A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵ ∠A=∠BOC ， ∠BOC=100° ，
∴ ∠A=50° ．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理．圆周角定理 “一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A. 1 B. C. ±1 D. 不存
【答案】B
【解析】
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：依题意可得m-1≠0，
解得m=-1
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】把a=1，b=-3，c=1代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
5. 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则即可求出平移后的函数解析式．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向左平移1个单位得到的函数解析式为，由“上加下减”的原则可知，将函数向上平移3个单位得到的函数解析式为．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．熟知“左加右减，上加下减”的原则是解题的关键．
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（ ）．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA=AB，则∠AOB=（ ）．

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据切线长定理可得PA=PB，则△PAB是等边三角形，∠APB=60°，根据四边形的内角和定理可得：∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，则∠AOB=360°－90°－90°－60°=120°．
【详解】解：∵PA，PB都是圆O的切线，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，
又∵PA=AB，
∴PA=AB=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∵∠AOB+∠APB+∠OAP+∠OBP=360°，
∴∠AOB=360°-∠APB-∠OAP-∠OBP=120°，
故选C．

【点睛】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意求出∠APB的度数．
8. 已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）．

A. 9 B. 20 C. 10 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式得到点A的坐标，点B的坐标，由求出AB，由题意得△PAB面积的最大时点P到直线AB的距离最远，点P在过点C的AB的垂线上，过点C作CD⊥AB于D，证明△BCD∽△BAO，得到，求出CD=3，得到点P到直线AB的距离=1+3=4，根据三角形面积公式求出结果．
详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得AB=5，
由题意得△PAB面积的最大时点P到直线AB的距离最远，
∴点P在过点C的AB的垂线上，
过点C作CD⊥AB于D，
∵∠ABC=∠CBD，
∴△BCD∽△BAO，
∴，
∴，
∴CD=3，
∴点P到直线AB的最大距离=1+3=4，
∴△PAB面积的最大值是，
故选：C．
．
【点睛】此题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，最短路径，勾股定理，相似三角形的判定及性质，综合掌握各部分知识解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 二次函数的最______值是________．
【答案】 ①. 小 ②.
【解析】
【分析】根据二次函数的性质进行解答即可得．
【详解】二次函数的图像开口向上，有最小值，
当x=1时，最小值为，
故答案为：小，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
10. 将二次函数用配方法化成的形式为y=__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法即可把一般式转化为顶点式．
【详解】，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两点式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
11. 若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式=_______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】把代入得：，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 如图，⊙O的半径为10， AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=4，那么AB的长是____________．

【答案】16
【解析】
【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=4，OC=10，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
【详解】
如图，连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE=BE=AB，
∵OC=10，CE=4，
∴OE=6，
在Rt△AOE中，，
∴AB=2AE=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理是:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .
13. 点，在抛物线上，则___.（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【解析】
【分析】先化成顶点式，直接将点的坐标代入进行计算，再判断即可．
【详解】∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
将，代入得到：=（-3-1）2-1=15，=（2-1）2-1=0，
y1＞y2

故答案为＞．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质，能把坐标代入抛物线是解此题的关键．
14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________．

【答案】15°##15度
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
∴为等边三角形
又∵为等腰直角三角形
∴
∴
故答案为
【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解．
15. 一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为______．
【答案】2π
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式求出即可．
【详解】∵扇形的半径为4，圆心角为90°，
∴此扇形的弧长=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，能熟记扇形的弧长公式是解此题的关键，注意：扇形的半径为r，圆心角为n°的扇形的弧长是．
16. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，），线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________ ．（填正确结论的序号）
①图形G关于直线y=0对称；
②线段MN的长为；
③扇形OMA的面积；
④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．

【答案】②④##④②
【解析】
【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，从而得出对称轴，令求出点坐标，即可得出的横坐标，由勾股定理求出点坐标，从而得出的长，由三角函数求出的度数，由扇形面积公式从而得出，由图像得出当时，直线与图形的交点个数．
【详解】
如图，交轴于点，
，
，，
设抛物线表达式为，
把代入解得：，
，
图形关于直线对称，故①错误；
令得：，
解得：或，
，
，
在中，，
，故②正确；
，，
，
，故③错误；
由图可知，，
当时，直线与图形有两个公共点，故④正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．
三、解答题
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【详解】解：


18. 已知二次函数．
（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…





…
（2）根据图象回答：当0≤ x <3时，y的取值范围是______________．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可；
（2）根据函数图象写出y的取值范围即可．
【详解】（1）
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
-1
0
3
…
画图

（2）0≤x＜3时，y的取值范围是-1≤y≤3．
故答案为：-1≤y≤3．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
19. 已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若k为正整数，求此时方程的解．
【答案】（1）k1；（2）x1=x2=1
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可得，判别式，求解即可；
（2）根据题意可得，，代入求解即可．
【详解】解：（1）关于的方程有两个实数根
则判别式，即
解得
∴
（2）k为正整数，且，∴
将代入得，
解得
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确求得参数的范围．
20. 已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为A和B．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此抛物线的对称轴交x轴于点C，求S△ABC．
【答案】（1）；（2）7.5
【解析】
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入函数解析式中，得到方程组，解方程组即可求得函数表达式；
（2）由抛物线的解析式可求得点C的坐标，从而可求得AC的长，由点B的坐标可求得OB的长，则由即可求得面积．
【详解】（1）把A、B两点的坐标代入中，得：
解得：
所以所求的函数表达式为
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=－2
∴点C的坐标为(－2，0)
∴AC=1-（-2）=3
∵B
∴OB=5
∴
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求三角形面积，掌握二次函数的性质是关键．
21. 已知：如图，点A，B，C是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个单位长度．

（1）请画出平移后图形△A1B1C1；
（2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，（-2，-4）
【解析】
【分析】（1）按照向右平移，每个点的横坐标都增加3的规律平移即可；
（2）将△A1B1C1的三个顶点分别绕点O旋转180°，得到对应点A2、B2、C2，然后顺次连接各点即可．
【详解】解：（1）作图如图所示；
（2）作图如图所示，旋转后点B2的坐标为（-2，-4），
故答案为：（-2，-4）．

【点睛】本题考查平面直角坐标系中的平移和旋转的应用，掌握平移和旋转的含义和方法是本题解题关键．
22. 刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
【答案】（1）20%；（2）4320元
【解析】
【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x,根据等量关系：2月份盈利额×(1+增长率)2=4月份的盈利额列出方程求解即可；
（2）5月份盈利=4月份盈利×增长率．
【详解】（1）设每月盈利平均增长率为，根据题意得：
，
解得：（不符合题意舍去）
答：每月盈利的平均增长率为；
（2）（元）
答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到4320元．
【点睛】本题考查的是二次方程的实际应用，熟练掌握二次方程是解题的关键．
23. 下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．求作：过A点的⊙O的一条切线．

作法：① 连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
② 以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③ 连接OB交⊙O于点C，作直线AC．
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB的中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据题给出的答案确定依据即可．
【详解】（1）补全图形如图所示；

（2）∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB的中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（等腰三角形三线合一），
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线（过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查圆的切线，掌握切线的判定是解题的关键．
24. 法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么， ．
后来人们将这个“一元二次方程根与系数的关系”称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．
请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：
（1）已知是方程的两根，则＝ ，＝ ；
（2）设是方程的两个根，则的值是（ ）；
A．15 B．12 C．6 D．3
（3）若是两个不相等的实数，且满足，，那么=_____．
【答案】（1），2；（2）C；（3）
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据韦达定理的性质计算，即可得到答案；
（2）根据完全平方公式的性质，通过配方得，结合韦达定理计算，即可得到答案；
（3）通过韦达定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵是方程的两根
∴＝，＝；
故答案为：，2；
（2）
∵＝，＝；
∴
故选：C；
（3）∵是两个不相等的实数，且满足，
∴是两个根
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系、完全平方公式的性质，从而完成求解．
25. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M ，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F在弧BD上，且∠DCF=45°，CF交AB于点N．
①请补全图形；
②若DE=，求FN的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明△OMD≌△AMC，证明∠ODM=∠ACM，得OD∥AC，则∠ODE=180°-∠90°=90°，再根据切线的判定定理证明DE是⊙O的切线；
（2）①补全图形中的字母N即可；②连接OC，作FG⊥AB于点G，先证明△AOC是等边三角形，得∠ACO=∠MOC=60°，则∠OCM=∠ACM= ∠ACO=30°，求出半径OC的长，再根据圆周角定理得∠DOF=2∠DCF=90°，OD∥AC得∠DOM=∠CAM=60°，可求得∠FOG=180°-60°-90°=30°，可求出FG和FN的长．
【详解】（1）证明：如图，在⊙O中，
∵CD⊥AB于点M，
∴DM=CM，
∵∠OMD=∠AMC=90°，OM=AM，
∴△OMD≌△AMC（SAS），
∴∠ODM=∠ACM，
∴OD∥AC，
∵DE⊥CA，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=180°-∠90°=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①补全图形如图所示．

②如图，连接OC，作FG⊥AB于点G，则∠OGF=90°，
∵CD垂直平分OA，
∴AC=OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=∠MOC=60°，
∴∠OCM=∠ACM=∠ACO=30°，
∴DE=CD，
∵CM=CD，
∴CM=DE=，
∵∠OMC=90°，
∴OM=OC，
∵OM2+CM2=OC2，
∴，
解得OC=2或OC=-2（不符合题意，舍去），
∴OF=OC=2，
∵∠DCF=45°，
∴∠DOF=2∠DCF=90°，
∵∠DOM=∠CAM=60°，
∴∠FOG=180°-60°-90°=30°，
∴FG=OF=1，
∵∠MNC=∠MCN=45°，
∴∠GNF=∠MNC=45°，
∴∠GFN=∠GNF=45°，
∴NG=FG=1，
∴FN=．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）若抛物线经过点（3，0），
①求该抛物线的表达式；
②将抛物线在第一象限的部分记为图象G，如果经过点（－1，4）的直线与图象G有公共点，请在图1中结合函数图象，求t的取值范围；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．记抛物线与x轴的交点为A、B．若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，请结合函数图象，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）①y=－x2+2x+3；②3＜t≤4；（2）－2＜m≤－1．
【解析】
【分析】（1）①将（3，0）函数解析式求解．
②把（-1，4）代入y=kx+t得y=（t-4）x+4，然后由二次函数解析式可得抛物线顶点（1，4），经过点（0，3），（3，0），将坐标分别代入直线解析式求解．
（2）根据抛物线对称轴为直线x=1，通过数形结合可得区域内有七个整点分别为（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3），进而求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点（3，0），
∴9m－6m+m+4=0，
∴m=－1．
∴y=－x2+2x+3．
②把（-1，4）代入y=kx+t得4=-k+t，
整理得k=t-4，
∴y=（t-4）x+4，
∵抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
把x=0代入y=-x2+2x+3得y=3，
∴抛物线与y轴交点为（0，3），
将（1，4）代入y=（t-4）x+t得4=2t-4，
解得t=4，
将（0，3）代入y=（t-4）x+t得3=t，
将（3，0）代入y=（t-4）x+t得3（t-4）+t=0，
解得t=3，
∴3＜t≤4满足题意．

（3）∵y=mx2-2mx+m+4=m（x-1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
m＞0时，抛物线开口向上，与x轴无交点，不符合题意．
m＜0时，抛物线开口向下，
如图

当区域内包含整点（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3）时满足题意，
抛物线与y轴交点（0，m+4）在直线y=2与y=3之间，
抛物线与直线x=-1交点（-1，4m+4）在直线y=1下方，
即，
解得-2＜m≤-1．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．
27. 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点．线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF， 直线EF交直线AB于点G．

（1） 如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD=20°，则∠AGE=______°；
（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O， OG=OA， AG=AD，求证：GF=FD．
（3）如图3，若∠BAC > 60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF=AE时，请直接写出∠FAC与∠DAC的数量关系．
【答案】（1）40；（2）见解析；（3）∠FAC=∠DAC30o
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可求得∠BAC=60°，∠DAC=30°，进而得出∠EAF=50°，∠GAF=10°再根据旋转性质得出EA=EF，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可求解；
（2）设∠FAD=α，∠DAC=β，根据旋转性质和三角形的外角性质求得∠FEC=∠AFE+∠FAC=2α+2β，再根据角平分线性质和三角形的外角性质得出∠AGE=∠FEC∠BAC=2α，进而可证得∠GAF=∠DAF=α，证明△AGF≌△ADF即可证得结论；

（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的定义证得A、F、M、C四点共圆，点E为圆心，再根据等边三角形的判定证△EFM是等边三角形，则有∠MEF=60°，再根据圆周角定理求得∠FAM=∠MEF=30°即可得出结论．
【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC=30°，
∵∠FAD=20°，
∴∠EAF=∠FAD+∠DAC=50°，
∠GAF=∠DAB﹣∠FAD=10°，
由旋转性质得EA=EF，则∠EAF=∠EFA=50°，
∵∠EFA=∠AGE+∠GAF
∴∠AGE=50°﹣10°=40°，
故答案为：40；
（2）证明：设∠FAD=α，∠DAC=β，
∵AE=EF
∴∠AFE=∠FAC=∠FAD+∠DAC=α+β．
∴∠FEC=∠AFE+∠FAC=2α+2β．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠DAC=2∠BAD=2β．
∴∠AGE=∠FEC∠BAC=2α．
∵OG=OA
∴∠AGE=∠BAD=∠GAF+∠FAD=2α．
∴∠GAF=∠DAF=α，
∴△AGF△ADF
∴GF=FD
（3）∠FAC=∠DAC±30°，理由为：
如图3，连接ME，
∵CM⊥AD于M，点E为AC的中点，
∴ME=AE=CE，又AE=EF，
∴A、F、M、C四点共圆，点E为圆心，
∵MF=AE，
∴ME=MF=EF，
∴△EFM是等边三角形，
∴∠MEF=60°，
∴∠FAM=∠MEF=30°，
∴∠FAC=∠DAC+∠FAM=∠DAC+30°；


同理，如下图，可证A、M、F、C四点共圆，点E为圆心，△EFM是等边三角形，
∴∠FAM=∠MEF=30°，
∠FAC=∠DAC－∠FAM=∠DAC－30°，

综上，∠FAC=∠DAC±30°．
【点睛】本题考查旋转性质、角平分线性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、圆的定义、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
28. 在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为．例如，下图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．已知∠MON=60°，H、I是∠MON的内嵌点时，

（1）当OH=OI=2时，的最小值是_________________；
（2）当OH=2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；
（3）当OH≤OI，=3，时，求线段OI长度的范围．
【答案】（1）1；（2）；（3）3≤OI≤6
【解析】
【分析】（1）先计算HI＝2，当HI为半径时，的最小值是1；
（2）求得当HI⊥ON时和HI⊥OM时，OI值，从而确定范围；
（3）先求出所对的圆心角，再求出圆心角所对的弦长，当OI＝OH时，求得OI最小值，当HI⊥OM时，求得最大值，从而求得范围．
【详解】解：（1）∵OH＝OI，∠MON＝60°，
∴△HOI是等边三角形，
∴HI＝OH＝2，
当HI是圆的直径时，＝1，
故答案是1；
解：（2）如图1，

作HI⊥ON于I，
∴OI＝OH•cos∠MON＝2•cos60°＝1，
如图2，

作HI′⊥OM交ON于I′，
OI′＝ ，
∴1≤OI≤4；
（3）如图3，

圆心记作A，作AB⊥HI于B，
由得，
，
∴n＝120°，
∴∠HAB＝∠HAI＝60°，
∴HI＝2HB＝2•AH•sin60°＝3，
当OH＝OI时，
∵∠MON＝60°，
∴△HOI是等边三角形，
∴OI＝HI＝3，
当HI⊥OM时，OI最大，
OI＝ ，
∴3≤OI≤6．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算等知识，解决问题的关键是正确理解题意，转化为有关圆的计算．