2021北京师大附中初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京师大附中初三（上）期中数学（教师版），共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京师大附中初三（上）期中数    学一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3分）下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）3．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）4．（3分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　）A．60° B．65° C．72.5° D．115°5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）A．34° B．46° C．56° D．66°6．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程＝kx的两个实数根分别为（　　）A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝27．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣40220﹣4…下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线x＝；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（　　）A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④8．（3分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）A．20° B．25° C．30° D．35°9．（3分）北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（　　）A．4 B．5 C．7 D．910．（3分）如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（　　） A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是　   　．12．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为　   　．13．（2分）若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 　   　．14．（2分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么⊙O的半径为　   　．15．（2分）请你写出一个函数，使它的图象与直线y＝x无公共点，这个函数的表达式为　   　．16．（2分）下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2．①抛物线的开口方向向下；②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）；③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧；④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．其中正确的说法是 　   　．（填写正确的序号）17．（2分）A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 　   　．（用“＜”号连接）18．（2分）如图，点E是正方形ABCD对角线上的一点，∠EAB＝70°，BE＝4，将AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，点F到AD的距离是 　   　．三、解答题（本题共54分，第19～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，第28题7分）19．（5分）计算：．20．（5分）如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并直接写出点B1、C1的坐标：B1（ 　   　，　   　）；C1（ 　   　，　   　）．21．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．22．（5分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．24．（5分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．（1）该抛物线的对称轴为　   　；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．25．（5分）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．26．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求顶点D的坐标（用m表示）；（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．27．（6分）如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF．（1）①补全图形，②∠ADE＝　   　（用含α的式子表示）；（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．28．（7分）规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．在平面直角坐标系xOy中，（1）如图1，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（1，0）的距离跨度 　   　；B（﹣）的距离跨度 　   　；C（﹣3，﹣2）的距离跨度 　   　；（2）如图2，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围；（3）如图3，射线OP：y＝x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 　   　．
参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，3）．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．3．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣2）．故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°，由三角形的外角性质即可得出答案．【解答】解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°，∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+35°＝65°；故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．【分析】根据正、反比例函数图象的对称性可得出点A、B关于原点对称，由点A的坐标即可得出点B的坐标，结合A、B点的横坐标即可得出结论．【解答】解：∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称，∴两函数的交点A、B关于原点对称，∵点A的坐标为（﹣2，3），∴点B的坐标为（2，﹣3）．∴关于x的方程＝kx的两个实数根为x1＝﹣2，x2＝2．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据正、反比例函数的对称性求出两交点的坐标是关键．7．【分析】由表格中的数据求出二次函数解析式，根据二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，①正确；抛物线的对称轴是直线x＝＝，故②③正确，抛物线的顶点坐标是（，），故④错误，故选：A．【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，故选：B．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：设该抛物线的对称轴为x，由图象可得，解得6＜x＜9，故选：C．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．10．【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．【解答】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，观察图象，可得当x＝0时，y＝2，∴AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，∴sin∠BOC′＝＝，∴∠BOC′＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，∴△BOC′是等边三角形，∴BC′＝OB＝2，故选：D．【点评】本题考查动点问题函数图象，圆的性质，三角函数，等边三角形的判定和性质，解题关键是读懂图象信息，属于中考题型．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）11．【分析】直接根据函数的图象顶点坐标求出该函数在所给自变量的取值范围内的最小值即可．【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），∵此抛物线开口向上，∴此函数有最小值，最小值为﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．12．【分析】直接利用二次函数平移的性质得出答案．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为：y＝2（x+1）2．故答案为：y＝2（x+1）2．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．13．【分析】令y＝0，则x2+6x+m＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m的取值范围．【解答】解：令y＝0，则x2+6x+m＝0，∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，∴Δ＝62﹣4×1×m＞0．解得：m＜9．故答案为：m＜9．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键．14．【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：设⊙O的半径为R，则OC＝R﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝AB＝4，在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得，R＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．15．【分析】根据一次函数与反比例函数的图象和性质即可得结论．【解答】解：∵直线y＝x的图象经过一、三象限，并过原点，y＝﹣的图象经过二、四象限，不过原点，∴函数y＝﹣的图象与直线y＝x无公共点．故答案为y＝﹣（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、正比例函数的性质，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．16．【分析】利用抛物线的性质对每个说法进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵a＝1＞0，∴抛物线的开口方向向上．∴①说法错误；令x＝0则y＝﹣2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）．∴②说法正确；∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴为直线x＝﹣，∴当b＞0时，﹣＜0，∴当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧．∴③说法错误；令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．∴④说法正确；综上，说法正确的有：②④，故答案为：②④．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，利用抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点的性质解答是解题的关键．17．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+k，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，∵C（4，y3）关于直线x＝2的对称点是（0，y3），∵﹣＜0＜1，∴y1＜y3＜y2，故答案为y1＜y3＜y2．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．18．【分析】过F点作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AB于点H，由旋转的性质以及正方形的性质可得∠FAG＝∠EAH，AF＝AE，在利用AAS证出△FGA≌△EHA，可知点F到AD的距离即EH的长，再根据BD是正方形的对角线可得△BHE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得出结果．【解答】解：如图，过F点作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∵将AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，∴AF＝AE，∠FAE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAG＝∠EAH，在△FAG与△EAH中，，∴△FGA≌△EHA（AAS），∴FG＝EH，∵BD是正方形的对角线，∴∠ABD＝45°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴EH＝BE，∵BE＝4，∴EH＝2，∴FG＝2，∴点F到AD的距离是2，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△FGA≌△EHA是解题的关键．三、解答题（本题共54分，第19～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，第28题7分）19．【分析】化简二次根式，利用绝对值的性质求出绝对值，最后合并同类二次根式．【解答】解：＝2﹣（﹣1）﹣1﹣＝2﹣+1﹣1﹣＝．【点评】本题考查分母有理化、零指数幂、绝对值得性质，掌握这三个知识点的综合应用，判断（1﹣）的符号是解题的关键．20．【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1．【解答】解：如图，△AB1C1为所作，B1点的坐标为（1，2），C1点的坐标为（4，1）．故答案为（1，2），（4，1）．【点评】本题考查了作图﹣旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；（3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数与x轴的两个交点坐标为（3，0），（1，0），顶点坐标为（2，﹣1），过点（0，3），（4，3），函数图象如右图所示；（3）由图象可得，当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．22．【分析】（1）先根据垂径定理得到＝，然后利用圆周角定理得到结论；（2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可．【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：连接OB，如图，∵BC⊥AD，∴BE＝CE＝BC＝×2＝，∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，∴OB＝2OE＝2，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．23．【分析】（1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据M的纵坐标，即可求得M的横坐标，结合N的横坐标，即可得到图形G上点的横坐标x的取值范围．【解答】解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，又∵A（2，0），C（0，1），∴点D的坐标为（1，）．∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，∴＝，解得：k＝．（2）由题意可得：点M的纵坐标为1，点N的横坐标为2．∵点M在反比例函数y＝的图象上，∴点M的坐标为（，1），∴≤x≤2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点D、点M的坐标是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1；（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，∵抛物线顶点在x轴上，即当x＝﹣1时，y＝0，∴3a2﹣a﹣4＝0，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．【点评】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，∵DF⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，∴OE＝OD，∴OD＝2OE＝2，∴OA＝OD＝2，∵AB是⊙O直径，∴AB＝2OD＝4，∵AB＝2BC，∴BC＝2，∴AE＝OA+OE＝3，∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，∴AE＝CE，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接FG，在Rt△DOE中，∵OD＝2，OE＝1∴DE＝＝＝，∵OE⊥DF，∴EF＝DE＝，∵OD＝OG，∴OE是△DFG的中位线，∴OE＝FG，∴FG＝2OE＝2，在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，∴GE＝＝＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口方向和顶点坐标可得顶点纵坐标m+1≤0时满足题意．（3）根据抛物线顶点坐标可得抛物线运动规律，通过数形结合求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，∴抛物线顶点D坐标为（m，m+1）．（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m+1），∴当m+1≤0时，抛物线与x轴有交点，解得m≤﹣1．（3）∵抛物线顶点坐标为（m，m+1），∴抛物线顶点所在图象为直线y＝x+1，当m＜﹣2时，抛物线对称轴在点A左侧，把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，解得m＝﹣4或m＝﹣1（舍），如图，∴m增大时，抛物线与线段有交点，当m＜0时，抛物线对称轴在点B左侧，把B（0，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，解得m＝﹣1或m＝2（舍）．此时抛物线同时经过点A，B，如图，∴﹣4≤m＜﹣1满足题意．m增大，抛物线沿直线y＝x+1移动，当抛物线经过点B时m＝0，∴﹣1＜m≤0满足题意．综上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是根据顶点坐标找出抛物线运动规律，通过数形结合求解．27．【分析】（1）①根据叙述，画出图形；②由AE＝AB，AB＝AD推出AE＝AD，进而求得结果；（2）根据∠AEF＝∠ABF，∠AEF＝∠ADF，得出∠ABF＝∠ADF，推出A、F、B、D共圆，从而∠BFD＝∠BAD，从而得出结论；（3）由∠BFD＝90°推出点F在以BD为直径的圆上，当MF过圆心时，MF最大，进而求得结果．【解答】解：（1）①如图1，②∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+2α，∵AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝＝＝45°﹣α，故答案是：45°﹣α；（2）如图2，DE⊥BF，理由如下：∵AE＝AB，AP⊥BE，∴∠AEB＝∠ABE，EP＝PB，∴FE＝FB，∴∠FEP＝∠FBP，∴∠AEB﹣∠FEP＝∠ABE﹣∠FBP，∴∠AEF＝∠ABF，∵∠AEF＝∠ADE，∴∠ABF＝∠ADE，∴点A、F、B、D共圆，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴DE⊥BF；（3）如图3，连接BD，∵∠BFD＝90°，∴点F在以BD为直径的⊙O上，过M点作⊙O的直径NF′，则MF′最大，∵OM＝BC＝1，NF′＝BD＝2，∴ON＝NF′＝，∴MF′＝NF′﹣MN＝NF′﹣（ON﹣OM）＝2﹣（﹣1）＝+1，即MF的最大值是：+1．【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关概念和性质，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是掌握“定弦对定角”等模型．28．【分析】（1）先根据距离跨度的定义求得点到圆的最小距离d和最大距离D，利用D﹣d即可得出结论；（2）利用（1）计算过程得出规律：到G2的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上；由已知可得：直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0），利用直线y＝k（x﹣1）与该圆相切时的k值，结合图形，发现直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点时 满足条件，从而得到k的取值范围；（3）过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，结合图形即可得结论．【解答】解：（1）如图，设圆O交x轴于点E，F，∵A（1，0）在直径EF上，∴d＝AF＝1，D＝AE＝3，∴A（1，0）的距离跨度＝D﹣d＝2；连接OB，过点B作BD⊥OE，则OD＝，BD＝．∴BO＝＝1．∵⊙O的半径为2，∴d＝1，D＝3，∴B（﹣）的距离跨度＝3﹣1＝2；连接CO并延长交⊙O于点G，H，∴d＝CG，D＝CH，∵⊙O的直径径为4，∴C（﹣3，﹣2）的距离跨度＝D﹣d＝CH﹣CG＝GH＝4．故答案为：2；2；4．（2）对于直线y＝k（x﹣1），令y＝0，则x＝1，∴直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0）．由（1）知：到G2的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上，设直线y＝k（x﹣1）与该圆相切于点M，N，如图，连接DM，DN，则DM⊥AM，DN⊥AN，∵DM＝1，AD＝2，∴sin∠MAD＝，∴∠MAD＝30°．∴∠MDA＝60°．过点M作MB⊥AD于点B，在Rt△MBD中，∵cos∠MDB＝，∴BD＝MD×cos60°＝，∴OB＝OD﹣BD＝．∵sin∠MDB＝，∴MB＝MD×sin∠MDB＝，∴M（，）．∵点M在直线y＝k（x﹣1）上，∴．∴k＝﹣．同理，当直线经过点N时，k＝．∵直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，∴直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点，∴观察图形可得k的取值范围为：﹣≤k≤．（3）如图，过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，∴CD＝2，CH＝4，CE＝1．∵射线OP的解析式为y＝x，∴∠COE＝30°，OE＝2CE＝2，当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E距离跨度为2，观察图形可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围为：﹣1≤xE≤2．故答案为：﹣1≤xE≤2．【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，待定系数法求得函数关系式，点和圆的位置关系，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度．本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键．