2021北京十四中初三（上）期中数学（教师版）

2021北京十四中初三（上）期中

数    学

2021.11

班级：_____________    姓名：_____________

审核人：韩会来    出题人：王海红

注意事项

1.本试卷共六页，共27道小题，满分100分。考试时间120分钟。

2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.答题不得使用任何涂改工具。

一、选择题：（每小题3分，共24分）

1.抛物线的顶点坐标是（    ）

A.   B.   C.   D.

2.将抛物线向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为（    ）

A.   B.

C.   D.

3.若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（    ）

A.   B.   C.   D.

4.如图，在的内接四边形ABCD中，，那么是（    ）

A.120°   B.100°   C.80°   D.60°

5.点，在二次函数的图象上，与的大小关系是（    ）

A.   B.   C.   D.无法比较

6.如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B.

C.当时，y随x的增大而增大

D.是一元二次方程的一个根

7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（    ）

A.60°   B.90°   C.80°   D.75°

8.如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，MA为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、填空题：（每小题3分，共24分）

9.若抛物线经过点，则m的值为_____________.

10.如图，是的内接正三角形，若P是上一点，则__________°.

11.如图，为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与相切，则AC与的位置关系为_________（填“相交”、“相切”或“相离”）

12.如图，AB为的直径，弦，垂足为点E，连接OC，若，，则CD等于_________.

13.二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为_________.

14.已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是_________.

15.如图，AB是的切线，B为切点，AO的延长线交于C点，连接BC，如果，，那么AC的长等于__________

16.如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，，，定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”.若抛物线是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_________________.

三、解答题

17.（本题4分）已知二次函数.

（1）将二次函数化成的形式；

（2）在平面直角坐标系中画出的图象；

18.（本题4分）如图，CD为的直径，弦于E，如果，，求半径OC的长。

19.（本题5分）已知：二次函数中的x和y满足下表：

（1）请直接写出m的值为_________.

（2）求出这个二次函数的解析式.

（3）当时，则y的取值范围为______________________________.

20.（本题5分）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作.

（1）求证：AB是的直径；

（2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC.

21.（本题4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图，及上一点P.

求作：过点P的的切线.

作法：如图，作射线OP；

①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径

作，与射线OP交于另一点B；

②连接并延长BA与交于点C；

③作直线PC；

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵BC是的直径，

∴______________________________________________（填推理依据）.

∴.

又∵OP是的半径，

∴PC是的切线____________________________________________（填推理依据）.

22.（本题5分）体育测试时，九年级一名学生双手扔实心球.已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

23.（本题5分）如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交OC的延长线于点D.

（1）求证：；

（2）若，.求CD的长.

24.（本题5分）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；

（3）将抛物线沿直线翻折，得到的图象记为，设与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行。求n的值.

25.（本题5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线.

（1）抛物线的对称轴为______；

（2）当时，若在抛物线上有两点，，且，则m的取值范围是___________；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向左平移2个单位得到点B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.

26.（本题5分）在中，，，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得，过点E作直线BC，交直线BC于点F。

（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；

（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，并直接写出线段EF、CF、AC的数量关系.

27.（本题5分）如图，直线l和直线l外一点P，过点P作于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点，称点为点P关于直线l的垂对点.在平面直角坐标系xOy中，

（1）已知点，则点，，中是点P关于x轴的垂对点的是___________；

（2）已知点，且，直线上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；

（3）已知点，若直线上存在两个不同的点、，使得、都是N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围.

2021北京十四中初三（上）期中数学

参考答案

一、选择题：（每小题3分，共24分）

1．【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．

【解答】解：抛物线，

该抛物线的顶点坐标是，

故选：．

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

2．【分析】根据抛物线解析式求得顶点坐标，然后由平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则易求平移后的抛物线解析式．

【解答】解：抛物线的顶点坐标是，

抛物线向下平移1个单位后的顶点坐标是，

则得到的抛物线是．

故选：．

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

3．【分析】利用扇形的面积公式计算即可．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积是扇形的半径，是扇形的弧长）．

4．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的性质可得的度数．

【解答】解在的内接四边形中，，

，

，

故选：．

【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．

5．【分析】由抛物线的解析式得出对称轴，利用二次函数的图象与性质解答可得．

【解答】解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

点，在二次函数的图象上，且点离对称轴较远，

．

故选：．

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得出抛物线上离对称轴水平距离越大，函数值越大是解题的关键．

6．【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【解答】解：、根据图象，二次函数开口方向向下，，故本选项错误；

、当时，随的增大而减小，故本选项错误；

、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，，故本选项错误；

、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

7．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．

【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，

它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．

连接，，

在与中

，

，

，

，

，

，

即所对的圆心角的大小是，

故选：．

【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．

8．【分析】根据垂径定理得到，然后根据三角形中位线定理得到，，即当取得最大值时，线段取得最大值，根据圆周角定理得到轴，进而求得是等腰直角三角形，即可得到，得到的坐标为．

【解答】解：，

，

，

，，

当取得最大值时，线段取得最大值，如图，

为直径，

，

轴，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

的坐标为，

故选：．

【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当为直径时，线段取得最大值是解题的关键．

二、填空题：（每小题3分，共24分）

9．【分析】把点代入，得出的值即可．

【解答】解：抛物线经过点，

，

故答案为0．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握方程的解法是解题的关键．

10．【分析】先根据等边三角形的性质求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．

【解答】解：是等边三角形，

．

与是同弧所对的圆周角，

．

故答案为：60．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

11．【分析】连接，过点作，，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，接着根据切线的性质可判断为的半径，然后根据切线的判定定理可判断与相切．

【解答】解：连接，过点作，，如图，

是等腰的底边的中点，

平分，

，，

，

腰与相切，

为的半径，

为的半径，

而，

与相切．

故答案为相切．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．

12．【分析】由垂径定理得到，再求出的长，然后由勾股定理可求出的长，即可求解．

【解答】解：为的直径，弦，

，

，，

，

，

，

．

故答案为：8．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解答此题的关键．

13．【分析】根据△时，抛物线与轴有1个交点得到△，然后解关于的方程即可．

【解答】解：根据题意得△，

解得．

故答案为1．

【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数，，是常数，，△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．

14．【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：抛物线的对称轴为，

点关于直线的对称点为，

当时，，

即当函数值时，自变量的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．

15．【分析】连接，则是直角三角形，利用三角函数即可求得的长，则即可求解．

【解答】解：连接．

是的切线，为切点，

，

在直角中，，

则，

．

故答案是：6．

【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断是直角三角形是关键．

16．【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点、的坐标，继而得出对角线的交点的坐标，代入解析式求解可得．

【解答】解：点、，

点、，

则对角线、交点的坐标为，

根据题意，将点代入解析式，

得：，

整理，得：，

解得：或，

故答案为：或6．

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点的坐标．

三、解答题

17．【分析】（1）根据配方法可以将题目中的函数解析式化为的形式；

（2）根据题目中的函数解析式可以得到该函数的顶点坐标和与轴的交点，从而可以画出相应的函数图象．

【解答】解：（1）；

（2），

该函数与轴的交点为，，顶点坐标为，

函数图象如右图所示．

【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是会用配方法将函数解析式化为顶点式．

18．【分析】本题应用垂径定理，由得，在中，设半径为，应用勾股定理得：，继而求得半径的长．

【解答】解：连接，

是的直径，，

设

根据勾股定理：

解得，

半径的长为13．

【点评】本题是圆的学习中常见的一类题型，解决本题须熟练掌握垂径定理这一知识点，活学活用，难度不大．

19．【分析】（1）（2）把表中的三个点，，代入函数的解析式，得到关于，，的方程组，即可求得解析式，把代入即可求得的值；

（3）根据函数的图象开口方向，增减性即可确定．

【解答】解：（1）（2）根据题意得：，

解得：，

则函数的解析式是：，

当时，；

（3）函数的顶点坐标是：，

当时，则的取值范围为：．

故答案是：3；．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，理解函数的增减性是关键．

20．【分析】（1）连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据圆周角定理证明结论；

（2）根据等腰三角形的性质、圆周角定理以及等量代换证明即可．

【解答】（1）证明：连接，

，，

，

，

是的直径；

（2）证明：，

，

由圆周角定理得，，

，

．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理和等腰三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半以及等腰三角形的三线合一是解题的关键．

21．【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论．

【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线即为所求；

（2）证明：是的直径，

（直径所对的圆周角是直角），

．

又是的半径，

是的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．

故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．

22．【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，然后令，即可求得的长度．

【解答】解：以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，如右图所示，

则，，

设抛物线解析式为，

在抛物线上，

，

解得，，

，

将代入，得

解得，（舍去），，

，

答：该同学把实心球扔出米．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

23．【分析】（1）根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，加上，于是利用等量代换得到结论；

（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到，然后证明得到即可．

【解答】（1）证明：是的切线，

，

．

是的直径，

．

，

．

；

（2）解：在中，，，

，

，

，

，

，

．

，

．

．

．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．

24．【分析】（1）把点代入，根据待定系数法即可求得．

（2）把抛物线的表达式化成顶点式，求得顶点的坐标，然后求得关于直线的对称点的坐标，即为抛物线的顶点坐标；

（3）由抛物线的顶点式求得对称轴，然后根据正方形的边长求得的坐标，进而得出，解得．

【解答】解：（1）抛物线经过点，

．

．

抛物线的表达式为．

（2）抛物线，

抛物线的顶点为，如图1，

点关于直线的对称点为．

抛物线的顶点坐标为．

（3）抛物线，

抛物线的对称轴为，

正方形的边长为2，

正方形的顶点的坐标为，如图2．

．

．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质是解题的关键．

25．【分析】（1）利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；

（2）根据二次函数的图象和性质，抛物线上有两点，，且进而可得的取值范围；

（3）根据题意先求出点、、的坐标，再结合图象，即可求的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线的对称轴直线为，

故答案为：；

（2）抛物线上有两点，，

且，则的取值范围是或；

故答案为：或；

（3）抛物线的对称轴为，且对称轴与轴交于点，

点的坐标为，

点与点关于轴对称，

点的坐标为，

点向左平移2个单位得到点，

点的坐标为，

①当时，只有顶点在线段上时，抛物线与线段恰有一个公共点，

把点代入，可得；

②时，

把点代入，可得；

抛物线与线段恰有一个交点，

根据所画图象可得：．

综上：或．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．

26．【分析】（1）过作于，由“”可证，可得，，可得结论；

（2）过作于，由“”可证，可得，，可得结论．

【解答】解：（1）结论：，

理由如下：过作于，

，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

；

（2）依题意补全图形，结论：，

理由如下：

过作交的延长线于，

，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

27．【分析】（1）依据垂对点的定义判断即可；

（2）依据垂对点的定义确定所有垂对点组成的图形，利用相切的性质和勾股定理即可解答；

（3）对的取值分三种情况，分别是：、、，仿照（2）的方法分类讨论即可．

【解答】解：（1）由题意，点关于轴的垂对点组成的图形是以点为圆心，半径为2的圆（该圆与轴的交点除外）．

点，在这个圆上，

点关于轴的垂对点的是：点，点．

故答案为：点和点．

（2）由题意可知，点关于轴的垂对点形成的图形为以点为圆心，以线段的长为半径的圆（射线与该圆的交点除外）．

此时与轴相切．

当直线与相切时，记切点为点，直线与轴，轴的交点分别为点和点，连接，，如答图1，

对于，令，则；令，则．

点，点．

，．

．

，是的切线，

，．

．

，

，．

在中，

，

．

解得：．

与直线有公共点，

．

（3）点关于轴的垂对点是以点为圆心，以2为半径的圆上的点，不包括点．

①当时，与直线恰有两个交点，即存在两个点关于轴的垂对点；

②当时，如答图2所示．

与相切于左上方点，为临界状态．

连接点与切点，

作轴于点，作轴于点，作轴于点交于点．

设直线交轴于点、交轴于点．

则，

故．

轴，

于点．

，．

与相切于点，

，

．

故为等腰直角三角形．

，

即，

．

，

．

则点坐标为，，

点在直线上，代入点坐标得：

，

解得：．

特别地，当时，直线与圆交于点、，此时只有一个垂对点，

故．

③当时，如答图3所示，

直线与相切与右下方点，为临界状态．

设，同情形②类似可得点坐标为，，

代入中，得，

解得．

综上所述，的取值范围为：且．

【点评】本题以一次函数和圆为背景，考查了圆的切线的性质，一次函数与坐标轴交点的求法，勾股定理，等腰三角形性质，新概念的理解与应用等知识，正确理解题中的“垂对点”的含义是解本题的关键．