2021北京石景山初三（上）期末数学（教师版）

2021北京石景山初三（上）期末

数    学

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1. 已知，则下列各式正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（   ）

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系

4. 如图，，为⊙的两条切线，点，是切点，交⊙于点，交弦于点．下列结论中错误的是（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列函数中，当时，随增大而减小的是（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：

①若此函数图象为直线，则此函数的图象和直线平行

②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧

所有合理推断的序号是（   ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 若抛物线与轴有两个交点，则实数的取值范围是________．

10. 如图，菱形中，，交于点，，，则菱形的边长是_________．

11. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°.

12. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是_____．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是_____．

13. 如图，，两点在函数（）图象上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则___．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．

14. 如图在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为，小圆的半径为，．则阴影部分的面积是_____________．

15. 在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A（       ），B（       ）（其中点横坐标小于点横坐标）．记图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，则区域内的整点有________个．

16. 某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了统计表．

根据统计表提供的信息解决下列问题：

（1）请估计树苗成活的概率是________（精确到小数点后第3位）；

（2）该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗能成活________万棵．

三、解答题（本题共52分，第17－21题，每小题5分，第22题6分，第23－25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算：．

18. 已知关于的二次函数．

（1）该函数图象经过点．

①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；

②分别求出这个二次函数图象与轴，轴的交点坐标；

（2）将这个二次函数图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式．

19. 下面是小石设计“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，⊙及⊙上一点．

求作：直线PN，使得PN与⊙相切．

作法：如图2，

①作射线OP；

②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；

③连接MQ并延长交⊙Q于点N；

④作直线PN．

所以直线PN即为所求作直线．

根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵是⊙的直径，

∴＝          （        ）（填推理依据）．

∴．

又∵是⊙的半径，

 ∴是⊙的切线（        ）（填推理的依据）．

20. 如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作//交的延长线于点，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，，，求的长．

21. 在平面直角坐标系中，直线与函数，的图象交于点．

（1）求，的值；

（2）点是函数，的图象上任意一点（不与点重合），点，在直线上，点横坐标为．若，求点横坐标的取值范围．

22. 如图，是⊙的半径，点是直径上一点，点在的延长线上，连接，使得．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）连接，若，，，求的长．

23. 已知关于的二次函数．

（1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；

（2）若点，在抛物线上，则   ；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）

（3），是抛物线上的任意两个点，若对于且，都有，求的取值范围．

24. 已知矩形的顶点是线段上一动点，，矩形的对角线交于点，连接，．点为射线上一动点（与点不重合），连接，作交射线于点．

（1）如图1，当点与点重合时，且点在线段上．

①依题意补全图1；

②写出线段与的数量关系并证明．

（2）如图2，若，当点在的延长线上时，请补全图形并直接写出与的数量关系．

25. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．

（1）已知点，

①在，，中，是的覆盖特征点的为___________；

②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．

（2）以点为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．

参考答案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1. 已知，则下列各式正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用分式的基本性质即可得到的值，再进行选择即可．

【详解】，等式两边同时除以3b．

得：．

故选：A．

【点睛】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行变形是解答本题关键．

2. 在中，，，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由tanA==2，设BC=2x，可得AC=x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值．

【详解】解：由tanA==2，设BC=2x，则AC=x，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，

∴根据勾股定理，得AB=，

因此，sinA=，

故选：C．

【点睛】本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．

3. 如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（   ）

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系

【答案】C

【解析】

【分析】

设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断．

【详解】设矩形的一边长为xm，另一边长为(1-x)m，面积用y表示，

，

故选择：C．

【点睛】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键．

4. 如图，，为⊙的两条切线，点，是切点，交⊙于点，交弦于点．下列结论中错误的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

，为⊙的两条切线，PA=PB，可以判断A，连结OA，OB则OA=OB，由垂直平分线的逆定理确定OP为AB的垂直平分线AD=BD，OP⊥AB，可判断B，可判断 C点P在圆外是变化的，可以大于60º，∠APB∠PAB，也可小于60º∠APB∠PAB，当∠PAB=60º时，∠APB=∠PAB=60º可判断D．

【详解】∵，为⊙的两条切线，

∴PA=PB，A正确，

连结OA，OB，

则OA=OB，

∴OP为AB的垂直平分线，

∴AD=BD，B正确，

∴OP⊥AB，C正确，

∴∠PAB=∠PBA，

∴∠APB+2∠PAB=180º，

当∠PAB=60º时，∠APB=∠PAB=60º，

∵点P在圆外是变化的，

可以大于60º，∠APB∠PAB，

也可小于60º∠APB∠PAB，

所以D不正确，

故选择：D．

【点睛】本题考查切线的性质，切线长，垂直平分线，等腰三角形的性质，掌握切线的性质切线长，垂直平分线，等腰三角形的性质是解题关键．

5. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

A、，故当图像的对称轴右侧，y随着x的增大而增大；B、正比例函数，k＞0，y随着x的增大而增大；C、，反比函数，k＜0，故第四象限内y随着x的增大而增大；D、，反比例函数，k＞0，故第一象限内y随着x的增大而减小．

【详解】解：A、二次函数y＝x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；
B、正比例函数的图象，k＞0，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
C、正比例函数的图象在二、四象限内，当时，函数在第四象限y随x的增大而增大； 故本选项错误；
D、反比例函数的图像在一、三象限内，当时，函数在第一象限y随x的增大而减小； 故本选项正确；
故选：D．

【点睛】本题综合考查了二次函数、正比例函数以及反比例函数的性质．解答此题时，应牢记函数图象的单调性．

6. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案．

【详解】列树状图如下：

共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种，

∴P（两次记录的数字之和为4）=，

故选：B．

【点睛】此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键．

7. 大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．

【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则

，x=4，

即蜡烛火焰的高度为4cm，

故答案为：B．

【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．

8. 已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线平行

②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧

所有合理推断的序号是（   ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

【答案】D

【解析】

【分析】

①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质解答；②待定系数法求出函数解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；

③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对称性解答．

【详解】①设一次函数解析式为：y=kx+b

∵一次函数的图像过点A（2,1）,B（-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：

，解得，

所以该一次函数的解析式为：y=x-1，

∴此函数的图象和直线不平行，故①错误；

②设反比例函数解析式为，将点A坐标代入，得，

∴反比例函数解析式为，

∵k=2>0，

∴函数的图象的两个分子分布在第一、三象限，故②正确；

③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过，，

当对称轴在直线左侧时，抛物线不与y轴的负半轴相交，如图1，故③错误；

④函数的图象为抛物线，且开口向上，过，，

∵点A在第一象限，点B在第三象限，

∴点A与点B不是抛物线上关于对称轴对称的两个点，

∴此函数图象对称轴在直线左侧，故④正确；

故选：D．

．

【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，熟记性质是解题的关键．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 若抛物线与轴有两个交点，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

抛物线y＝x2−2x−k与x轴有两个交点，则△≥0，从而可求得k的取值范围．

【详解】∵抛物线y＝x2−2x−k与x轴有两个交点，

∴△＞0，即（−2）2−4×1×（−k）＞0．

整理得：4＋4k＞0．

解得：k＞−1．

故答案为k＞−1．

【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，明确当△＞0是抛物线与x轴有两个交点是解题的关键．

10. 如图，菱形中，，交于点，，，则菱形的边长是_________．

【答案】5

【解析】

【分析】

通过菱形对角线的性质得出OD的长度，再通过∠DAC的正弦值得出菱形边长．

【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，

∴AC与BD互相垂直平分，

∴BO=OD=2，

∵sin∠DAC=，

∴=，

∴OD=5．

故答案为5．

【点睛】本题考察了菱形对角线的性质和锐角三角函数的知识，了解菱形对角线互相垂直平分是解题的关键．

11. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°.

【答案】45

【解析】

【分析】

【详解】连接OB、OC，

∵O是正方形外接圆的圆心，

∴∠BOC=90°，

∴∠BEC=∠BOC=45°．

12. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是_____．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是_____．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

连接BD，由勾股定理分别求出AB、AD的长，由勾股定理的逆定理得出△ABD为等腰直角三角形，继而由，利用面积公式进行计算即可得 四边形的面积；由相似的性质可得出，代入值即可得出四边形的面积．

【详解】连接BD，如图，

由图可知，，，，，

∵，

∴ △ABD为等腰直角三角形，

∴ ，，

∴；

∵四边形与四边形相似，

∴，

∴，

由（1）求得，

∴；

故答案为：；

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，能灵活运用相关定理和性质进行推理和计算是解题的关键．相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

13. 如图，，两点在函数（）图象上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则___．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．

【答案】=

【解析】

【分析】

通过用反比例函数上的点坐标表示和的面积比较即可．

【详解】∵A、B两点在y=-（）上，

∴x，x，y>0，y>0，xy=-2，xy=-2，

∴y=2，y=2，

∴S==1，S==2，

∴S= S．

故答案为=．

【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，找到相关三角形，求出面积即可．

14. 如图在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为，小圆的半径为，．则阴影部分的面积是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

阴影部分面积=大扇形面积-小扇形面积．

【详解】阴影部分面积==．

故答案为．

【点睛】本题考查扇形的面积，找到等量关系，根据扇形面积公式计算是解题的关键．

15. 在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A（       ），B（       ）（其中点横坐标小于点横坐标）．记图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，则区域内的整点有________个．

【答案】    (1). (1，1)    (2). (4，4)    (3). 2

【解析】

【分析】

联立二次函数与一次函数解析式，求出方程组的解即可得A、B两点坐标；根据A、B坐标可得图象W的横坐标的取值范围，把此范围内的整数的x值分别代入两个解析式，即可得出此范围内的整数点的个数．

【详解】∵函数的图象与直线交于点A、B，

∴联立两个解析式得，

解得：，，

∴A（1，1），B（4，4），

∵图象在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为，

∴图象W横坐标的取值范围为：1＜x＜4，

∵x为整数，

∴x=2或x=3，

当x=2时，y=0，y=x=2，

∴有整数点（2，1），

当x=3时，=1，y=x=3，

∴有整数点（3，2），

∴共有2个整数点，

故答案为：（1，1），（4，4），2

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数解析式；两个函数的解析式所组成的方程组的解就是两个函数图象的交点坐标；熟练掌握函数图象上的点的坐标特征是解题关键．

16. 某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了统计表．

根据统计表提供的信息解决下列问题：

（1）请估计树苗成活的概率是________（精确到小数点后第3位）；

（2）该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗能成活________万棵．

【答案】    (1). 0.911    (2). 4.555

【解析】

【分析】

（1）根据大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即可解答．

（2）用树苗总数乘以树苗的成活的概率即可．

【详解】（1）根据表格可知种植树苗为12000棵和14000棵时成活频率已经趋于稳定，为0.9109，所以该树苗的成活的概率为0.911．

故答案为：0.911．

（2）估计这批树苗能成活万棵．

故答案为：4.555．

【点睛】本题考查用频率估计概率，充分理解在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解答本题的关键．

三、解答题（本题共52分，第17－21题，每小题5分，第22题6分，第23－25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算：．

【答案】1

【解析】

【分析】

首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．

【详解】解：原式=

=1

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确进行二次根式的运算是关键．

18. 已知关于的二次函数．

（1）该函数图象经过点．

①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；

②分别求出这个二次函数图象与轴，轴的交点坐标；

（2）将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式．

【答案】（1）①；；②与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为，；（2）

【解析】

【分析】

（1）①代入点的坐标可求m，进而可求解析式及顶点坐标；②令，可求与y轴交点坐标，令，可求与x轴交点坐标；

（2）将二次函数转化为顶点式，依据其顶点恰好落在轴上可得结果

【详解】解：（1）①∵该二次函数图象经过点，

∴，解得．

 ∴二次函数的表达式为．

∴二次函数顶点坐标为．

②令，则．
 

∴该二次函数图象与轴的交点坐标为，

令，则，．

∴该二次函数图象与轴的交点坐标为，．

（2）

=

平移后要使其顶点恰好落在轴上

则需将函数图像向左（ ）或向右（）平移 个单位长度

可得函数的表达式为：

（注：，故学生写成（）的形式亦可，如：，…）

【点睛】本题考查了二次函数求解析式及二次函数的性质、利用函数与方程的关系解方程、配方法的应用、图形的平移等，是一个综合性题目 ．

19. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，⊙及⊙上一点．

求作：直线PN，使得PN与⊙相切．

作法：如图2，

①作射线OP；

②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；

③连接MQ并延长交⊙Q于点N；

④作直线PN．

所以直线PN即为所求作直线．

根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵是⊙的直径，

∴＝          （        ）（填推理的依据）．

∴．

又∵是⊙的半径，

 ∴是⊙切线（        ）（填推理的依据）．

【答案】（1）作图见解析；（2），直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.

【详解】（1）（1）补全图形如下图；

（2）证明：∵是⊙的直径，

∴＝   90  （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．

∴．

又∵是⊙的半径，

 ∴是⊙的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线  ）（填推理的依据）．

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点睛】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.

20. 如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作//交的延长线于点，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据//，得，；结合，通过证明≌得，即可完成证明；

（2）过点作于点，由，推导得；结合，，，通过三角函数计算得；结合，，，通过三角函数计算得；通过关系计算，即可得到答案．

【详解】（1）∵//，

∴，

∵是中点

∴

∴≌

∴

∴四边形是平行四边形；

（2）过点作于点

∴

∵，

∴

∴

∵，，

∴

∵，，

∴

∴

∴．

【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形、平行线、三角形中线、等腰三角形、三角形外角、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形、平行线、三角形中线、等腰三角形、三角形外角、三角函数的性质，从而完成求解．

21. 在平面直角坐标系中，直线与函数，的图象交于点．

（1）求，的值；

（2）点是函数，的图象上任意一点（不与点重合），点，在直线上，点横坐标为．若，求点横坐标的取值范围．

【答案】（1）；k=4；（2）或

【解析】

【分析】

(1)把点A代入直线求出t，反比例函数过点A，可求k；

(2) 设点到直线的距离为．利用面积求出． 由,点横坐标为，当点在射线上时，过A作AD⊥x轴，交过P、Q分别与x轴平行的直线与C、D，由QC∥PD，易证△AQC∽△APD，由性质即， 当点在线段延长线上时，过P作PF∥x轴，与过A、Q作y轴的平行线交于E，F，由AE∥QF得△PAE∽△PQF由性质，推出即解不等式求出Q点的横坐标即可．

【详解】解：（1）  点在直线上，

，

函数，的图象经过点，

.

（2） 设点到直线的距离为．

  ，，                 

，

．   

,点横坐标为，

如图，当点在射线上时，；过A作AD⊥x轴，交过P、Q分别与x轴平行的直线与C、D，由QC∥PD，

∴△AQC∽△APD，

即，

，

如图，当点在线段延长线上时，过P作PF∥x轴，与过A、Q作y轴的平行线交于E，F，

∵AE∥QF，

∴△PAE∽△PQF，

∴即，

∴即

．             

综上所述：点横坐标取值范围或．

【点睛】本题考查一次函数，反比例函数，三角形面积，相似三角形的判定与性质，掌握一次函数的性质，反比例函数性质，用三角形面积求出线段的不等关系，相似三角形的判定与性质解决坐标的范围是解题关键．

22. 如图，是⊙的半径，点是直径上一点，点在的延长线上，连接，使得．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）连接，若，，，求长．

【答案】（1）证明见解析；（2）1．

【解析】

【分析】

（1）根据圆周角定理可知．再根据题意可证明，由于是⊙直径，所以．再利用余角的性质，可知，即可证明是⊙的切线．

（2）在中，利用正切可求出．在中，同理可求出．最后利用勾股定理即可求出CF长．

【详解】（1）如图，连接．

，

．

，

．

是⊙直径，

．

．

．

是⊙的切线．

 （2）在中，，，，

，

在中，．

在中，，，，

．

如图，连接BF，

在中，，，，

．

【点睛】

本题考查圆周角定理、切线的判定以及解直角三角形等综合知识．熟练运用圆周角定理证明是解答本题的关键．

23. 已知关于的二次函数．

（1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；

（2）若点，在抛物线上，则   ；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）

（3），是抛物线上的任意两个点，若对于且，都有，求的取值范围．

【答案】（1）直线；（2）＜；（3）

【解析】

【分析】

（1）把抛物线配方变成顶点式即可；

（2）点，在抛物线上，求出m与n的表示式，再作差比较即可；

（3）分类讨论对称轴当，a=1，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，都有，，把x1分两部分当随x1增大而减小，，当x=-1时取最大， ，，当x=3时，，，，当 随x增大而最大，，当时，令时，，．

【详解】解：（1）∵．

抛物线的对称轴为直线．

（2）点，抛物线上，

，

，

，

，

故答案为：<．

（3）当，a=1，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，，都有，

，当 随x1增大而减小，，

当x=-1时取最大，，，，，

当x=3时，，，，，

，

当 随x增大而最大，，

当时，此时，都有，符合题意；

当时，令时，，，不符合题意．

综上所述：．

【点睛】本题考查抛物线的顶点式与对称轴，比较函数值大小，掌握抛物线的顶点式与对称轴，比较函数值大小的方法，特别注意复杂的情形，应分类比较，比较时适当应用不等式的性质．

24. 已知矩形的顶点是线段上一动点，，矩形的对角线交于点，连接，．点为射线上一动点（与点不重合），连接，作交射线于点．

（1）如图1，当点与点重合时，且点在线段上．

①依题意补全图1；

②写出线段与的数量关系并证明．

（2）如图2，若，当点在的延长线上时，请补全图形并直接写出与的数量关系．

【答案】（1）①作图见解析；②；证明见解析；（2）作图见解析；

【解析】

【分析】

（1）①根据题意补全图形即可；②过点分别作于,于，通过证明≌即可求解；

（2）过点分别作的延长线于,于,通过证明即可求解.

【详解】解:（1）①补全图形如下．

②线段与的数量关系为：．

证明：过点分别作于,于，

线段交于点．

四边形是矩形，，

四边形是正方形．

平分，．               

，，                     

，．

，，

，

．

≌．

．

（2）补全图形如图． 

过点分别作的延长线于,于,

同理②可得,

又因为，

∴，

∴，

∴线段与的数量关系为：．

【点睛】本题考查四边形综合，掌握全等和相似的判定与性质是解题的关键.

25. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．

（1）已知点，

①在，，中，是的覆盖特征点的为___________；

②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．

（2）以点为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在⊙覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．

【答案】（1）①，；②且；（2）或

【解析】

【分析】

（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断

②先找覆盖的特点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；

（2）当圆中点的坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则（3，5）为覆盖的特征点，代入抛物线得，，结合图像得，

,在直线x=3的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．

【详解】解：（1）①根据覆盖的定义yC=3最大，B点的横坐标最大是3，所以， 是覆盖的特征点

②当时，结合函数图象可知符合题意．

当时，由题意得：

当且时，

点为的覆盖的特征点．

又∵点在一次函数的图象上，

∴当直线过点时，解得：  

．

∴结合函数图象可知．

综上所述：．

（2）当圆中点的坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则（3，5）为覆盖的特征点，代入抛物线得，

，

结合图像得，

当此时y=4是一直线，,在直线x=3的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点，

综合得的范围是或．

【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．