2021北京四中初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京四中初三（上）期中数学（教师版），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021北京四中初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
2．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　）

A．83° B．84° C．86° D．87°
3．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．（2分）将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x+1）2﹣5
C．y＝2（x﹣1）2+5 D．y＝2（x+1）2+5
5．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．2x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．3x2＝5x﹣2
6．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OAC＝40°时，∠B的度数是（　　）

A．100° B．120° C．130° D．140°
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
8．（2分）已知O⊙，如图，
（1）作⊙O的直径AB；
（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；
（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：
①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝　 　．
10．（2分）半径为1，圆心角是120°扇形的弧长为　 　．
11．（2分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1的最大值为 　 　．
12．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝　 　，b＝　 　．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为　 　．

14．（2分）在⊙O中，弦AB所对圆心角为140度，则弦AB所对的圆周角为　 　°．
15．（2分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 　 　分钟．

16．（2分）如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 　 　．

三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）4x2﹣6x﹣1＝0．
18．（5分）已知一次函数y1＝kx+n与二次函数y2＝x2+bx+c的图象都经过（1，﹣2），（3，2）两点．
（1）请你求出一次函数、二次函数的表达式．
（2）当x取何值时，y1＞y2．

19．（4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（　 　）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（　 　）（填推理的依据）．

20．（4分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）2+（x+2）（x﹣2）的值．
21．（5分）如图，已知CD为⊙O的直径，点A，B在⊙O上，AB⊥CD于点E，连接OB，CE＝1，AB＝10，求⊙O的半径．

22．（5分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m．
（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？

23．（5分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．
收集数据
七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c
整理、描述数据
成绩x/分数
七年级成绩统计情况
八年级成绩统计情况
频数
频率
频数
频率
50≤x≤59
1
0.05
0
0
60≤x≤69
2
0.10
3
0.15
70≤x≤79


6
0.30
80≤x≤89

m
10
0.50
90≤x≤100
1
0.05
1
0.05
（说明：成绩80分及以上为优秀，60～79分为合格，60分以下为不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
77.5
79
80
八年级
77.4
n
74
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是　 　；
（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为　 　．
24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 　 　；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．

25．（6分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，使∠MAC＝∠ABC，
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作弧AC的中点D，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：FD＝FG．
（3）若BC＝4，AB＝6，求AE．

26．（6分）已知二次函数y＝（x+m﹣n）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是其图象上的两点，其中x1＜x2．
（1）当n＝4时，
①求抛物线的对称轴；
②若y1＜y2，求x1+x2的取值范围；
（2）当x1+x2＞3时，y1＜y2，请直接写出n的取值范围．
27．（7分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．

28．（7分）对于点C和给定的⊙O，给出如下定义：若⊙O上存在点B，使点C绕点B旋转90°的对应点A在⊙O上，此时△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为⊙O的“等直顶点”．
若O是坐标原点，⊙O的半径为2，
（1）在点P（0，0），Q（2，0），R（5，0），S（2，0）中，可以作为⊙O的“等直顶点”的是 　 　；
（2）若点P为⊙O的“等直顶点”，且点P在直线y＝x上，求点P的横坐标的取值范围；
（3）设⊙C的圆心C在x轴上，半径为2，若直线y＝x上存在点D，使得半径为1的⊙D上存在点P是⊙C的“等直顶点”，求圆心C的横坐标的取值范围；
（4）直线y＝x+4分别和两坐标轴交于E，F两点，若线段EF上的所有点均为⊙O的“等直顶点”，求⊙O的半径的最大值与最小值．




参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可得答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
2．【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝43°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
3．【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，5＜6，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
4．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：y＝2（x+1）2﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
5．【分析】分别计算出四个方程的根的判别式的值，判断各方程的根的情况即可．
【解答】解：A、因为Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、因为Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数解，所以B选项符合题意；
C、因为Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、原方程即为3x2﹣5x+2＝0，因为Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．【分析】在优弧AB上任意找一点D，根据三角形的内角和得到∠AOC＝100°，根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC＝50°，即可根据圆内接四边形的对角互补得到结论．
【解答】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD，

∵OA＝OC，∠OAC＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠D＝∠AOC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
8．【分析】①连接OC，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；
②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；
③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．
【解答】解：如图，连接OC，

①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，
∴＝，
根据垂径定理，得
AB⊥CE，CE＝DE，
所以①正确；
②∵AC＝OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵AB⊥CE，
∴AE＝OE，
∴BE＝BO+OE＝3AE，
∴②正确；
③方法一：
∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CE．
所以③正确．
方法二：
由△ACE∽△CBE，
∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，
∴BC＝2CE，
所以③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．【分析】根据弧长的公式l＝代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：l＝＝＝π，
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
11．【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：由y＝﹣2x2﹣4x+1得y＝﹣2（x+1）2+3，
∴函数最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是将二次函数解析式化为顶点式求解．
12．【分析】根据判别式的意义得到△＝b2﹣4a＝0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝b2﹣4a＝0，
若a＝1，则b可取2．
故答案为1，2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
13．【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，从而得到△ABC的外接圆的圆心坐标．
【解答】解：如图，P点为△ABC的外接圆的圆心，其坐标为（5，5）．

故答案为（5，5）．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
14．【分析】由⊙O的弦AB所对的圆心角为140°，根据圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得弦AB所对的圆周角的度数．
【解答】解：∵⊙O的弦AB所对的圆心角为140°，
∴∠ADB＝∠AOB＝70°，
∴∠AD′B＝180°﹣70°＝110°，
∴弦AB所对的圆周角为70°或110°．
故答案为：70°或110．

【点评】本题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意弦所对的圆周角有一对且互补是解答此题的关键．
15．【分析】先求摩天轮转动的角速度为＝20°/分，再求出OC＝OD﹣CD＝22（米），则OC＝OB，得∠OBC＝30°，然后求出最佳观赏位置的圆心角为240°，即可求解．
【解答】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分，
由题意得：AD⊥BC，AD＝88米，AM＝100米，CM＝BN＝34米，
则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米），
∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米），
∴OC＝OD﹣CD＝22（米），
∴OC＝OB，
∵∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），
故答案为：12．

【点评】本题考查了垂径定理的应用、含30°角的直角三角形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理，求出∠OBC＝30°是解题的关键．
16．【分析】过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，利用SAS证明△ABP≌△CDQ，得BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，则当B、Q、D共线时，PB+QB最小，再利用三角形内角和即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD，

∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BAH＝∠ACD，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，
∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q，
∴∠APB＝∠AQB，
∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，有一定的难度．
三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∵x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3；
（2）4x2﹣6x﹣1＝0，
∵a＝4，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣1）＝52＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+n与二次函数y2＝x2+bx+c的图象都经过（1，﹣2），（3，2）两点．
∴，，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣4，二次函数的表达式为y2＝x2﹣2x﹣1．

（2）观察图象可知，当1＜x＜3，y1＞y2

【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，学会利用数形结合的思想解决问题．
19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，最后把已知代入得出答案．
【解答】解：（x+1）2+（x+2）（x﹣2）
＝x2+2x+1+x2﹣4
＝2x2+2x﹣3，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
原式＝2（x2+x）﹣3
＝2×5﹣3
＝7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．【分析】设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，由垂径定理得BE＝AE＝AB＝5，再在Rt△BOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝10，
∴BE＝AE＝AB＝5，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：52+（r﹣1）2＝r2，
解得：r＝13，
即⊙O的半径为13．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
22．【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），再根据题意得到C（﹣5，﹣1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即可．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
∵由CD＝10m，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，
则C（﹣5，﹣1），
把C的坐标分别代入y＝ax2得：a＝﹣，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2；

（2）∵AB宽20m，
∴设A（﹣10，b），
把A点坐标代入抛物线的解析式为y＝﹣x2中，
解得：b＝﹣4，
∴F（0，﹣4），
∴EF＝3，
∵水位以每小时0.3m的速度上升，
∴3÷0.3＝10（小时），
答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式．
23．【分析】（1）根据平均数可求出a的值，再根据频数统计可得出m的值，利用中位数的意义可得n的值；
（2）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
（3）求出七、八年级优秀的人数即可．
【解答】解：（1）（66+70+71+78+71+78+75+78+58+a+63+90+80+85+80+89+85+86+80+87）＝77.5，
解得a＝80，
七年级这20名同学的成绩在80≤x≤90d的有9人，即m＝9÷20＝0.45，
将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是80，因此中位数是80，即n＝80，
故答案为：80，0.45，80；
（2）七年级低于80分的有10人，大于或大于80分的有10人，而八年级低于80分的有9人，高于或等于80分的有11人，
因此在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，他的成绩可能是80分，
故答案为：80；
（3）200×（0.45+0.05）+200×（0.50+0.05）
＝100+110
＝210（人），
故答案为：210．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数，频数分布表，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确解答的前提．
24．【分析】（1）由y＝x2﹣4|x|+3中x的取值范围求解．
（2）由y＝x2﹣4|x|+3可得函数图象关于y轴对称轴．
（3）由函数图象及解析式可得函数开口向上，对称轴为y轴，进而求解．
（4）观察图象求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4|x|+3中x可以为任意实数，
故答案为：任意实数．
（2）如图，

（3）∵y＝x2﹣4|x|+3的图象关于y轴对称，
∴①正确，
∵图象开口向上，函数有最小值，无最大值，
∴②错误，
由图象可得x＞2时，y随x增大而增大，x＜﹣2时，y随x增大而减小，
∴③正确，
图象与x轴有4个交点，
∴④错误，
故答案为：①③．
（4）∵函数最小值为y＝﹣1，函数图象关于y轴对称，
由图象可得k＝﹣1时，x2﹣4|x|+3＝k有2个不相等实数根，
﹣1＜k＜3时，x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等实数根，
k＝3时，x2﹣4|x|+3＝k有3个不相等实数根，
k＞3时，x2﹣4|x|+3＝k有2个不相等实数根，
故答案为：﹣1＜k＜3．
【点评】本题考查二次函数综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，函数与方程及不等式的关系．
25．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠MAB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作AC的垂直平分线交于点D，利用基本作图作DE⊥AB，利用圆周角定理得到∠DBC＝∠DBA，然后证明∠FDB＝∠FGD得到FD＝FG；
（3）连接OD交AC于M，如图，根据垂径定理，利用点D为的中点得到OD⊥AC，AM＝CM，易得OM＝BC＝2，接着证明△OAM≌△ODE得到OM＝OE＝2，然后计算OA﹣OE即可．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠BAC＝90°，
即∠MAB＝90°，
∴MA⊥AB，
∴MN是半圆的切线，
（2）证明：如图，
∵点D为的中点，
∴∠DBC＝∠DBA，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝∠BGC，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴∠FDB＝∠FGD，
∴FD＝FG；
（3）解：连接OD交AC于M，如图，
∵点D为的中点，
∴OD⊥AC，AM＝CM，
∴OM＝BC＝2，
在△OAM和△ODE中，
，
∴△OAM≌△ODE（AAS），
∴OM＝OE＝2，
∴AE＝OA﹣OE＝3﹣2＝1．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
26．【分析】（1）①由解析式确定抛物线的对称轴x＝2；②当x1+x2＞4时，点A与点B在对称轴的右侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，此时y1＜y2，
（2）确定直线的对称轴，根据题意，对称轴x＝﹣≤3，即可得出≤3，解得n≤6．
【解答】解：（1）①当n＝4时，二次函数为y＝（x+m﹣4）（x﹣m）+2，
如图，

∴当x＝m或x＝﹣m+4时，y＝2，
∴抛物线的对称轴x＝＝2；
②∵x1＜x2，
∴点A与点B在对称轴的右侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离近时，y1＜y2，
此时x1+x2＞4；
（2）∵当x1+x2＞3时，y1＜y2，
∴对称轴x＝﹣≤3，
∵二次函数y＝（x+m﹣n）（x﹣m）+2，
∴抛物线开口向上，当x＝m或x＝﹣m+n时，y＝2，
∴抛物线的对称轴x＝≤，
∴n≤3．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．【分析】（1）①过D作DH⊥GC于H，先证明△BGF是等边三角形，求出CD长度，再证明BF＝CF＝GF，从而在Rt△BDC中，求出CF＝＝＝2，即得GF，在Rt△CDH中，求出DH＝CD•sin30°＝和CH＝CD•cos30°＝，可得GH＝GF+FH＝，Rt△GHD中，即可得到DG＝＝；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，由∠ABC+∠EFH＝180°，得B、E、F、H共圆，可得∠FBH＝∠FEH，从而可证HF＝GF，由E、P、F、G共圆可得∠BMH＝∠GPF＝60°，故△GFP≌HFM，PF＝FM，可得NF＝MH，BF＝MH+EP，在Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，即可得到BE+BH＝BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，Rt△PMH中，HP＝MP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，可得∠QKP＝∠FEP＝60°，从而可证ML∥AC，四边形GHND是矩形，由DN＝2NC，得DN＝GH＝2，由等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，可得BM＝，BD＝AB•sinA＝3，Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，可求MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，Rt△MHP中，可得HP＝，从而可得PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，故S△DPN＝PN•DN＝．
【解答】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：

∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
Rt△FDC中，CF＝＝＝2，
∴GF＝2，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
∴GH＝GF+FH＝，
Rt△GHD中，DG＝＝；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝BM，
Rt△MHB中，MH＝BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，
∴BF＝BE+BH，
∴BE+BH＝BF；
补充方法：
构造等腰△BFM，使∠BFM＝∠EFH＝120°，且BF＝MF，如图：

∴∠FBM＝∠FBH＝30°，
∴BM与BH共线，
可证△BEF≌△MHF（SAS），
∴BE＝HM，
∴BE+BH＝HM+BH＝BM，
而∠BFM＝120°，且BF＝MF，可得BM＝BF，
∴BE+BH＝BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：

Rt△PMH中，HP＝MP，
∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BMK＝90°，
∵∠PML＝30°，
∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，
∴ML∥AC，
∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
而BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，
∴四边形GHND是矩形，
∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，
∴CD＝3，
又DN＝2NC，
∴DN＝GH＝2，
∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，
∴BM＝，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，
Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，
∴MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，
Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，
∴S△DPN＝PN•DN＝．
【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．
28．【分析】（1）设圆的半径是R，找出“等直顶点的条件”是距离圆心最小值是（﹣1）R，最大是R，从而判定⊙O的“等直顶点”；
（2）同（1）OP最小是（）R，最大是R，进而确定P点的横坐标的范围；
（3）同（1）找出y＝x上不存在“等直顶点”的条件即可；
（4）作OP⊥EF于P，确定点P的位置是最大半径时的“等直顶点”临界点，点F是最小值的临界点，进而求得．
【解答】解：如图1，

∵弦AB最大为直径，
∴当AB⊥AC，AB＝AC时，
OC＝＝OA，
如图2，

∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴D点在以I为圆心，半径是为半径的圆上运动，
∴OD的最小值是，
（1）∵R＝2，
∴R＝2，﹣R＝2﹣2．
∵OP＝0，
∴点P不是“等直顶点”，
∵OQ＝2，
∴2﹣2＜OQ＜2，
∴点Q是“等直顶点”，
∵OR＝5＞2，
∴R不是“等直顶点”，
∵OS＝2，
∴2﹣2＜OS＜2，
∴S是“等直顶点”，
故答案是Q和S；
（2）如图3，

设点P的横坐标是x，
由上知，OP最小是（）R，最大是R，
∴OP最小＝2（﹣1），OP最大＝2，
作PA⊥x轴于A，作P′B⊥x轴于B，
∴OA＝OP•cos∠POA＝2（﹣1）×＝2﹣，
OB＝OP′cos45°＝2×＝，
∴2﹣≤x≤；
根据对称性﹣≤x≤﹣2，
∴点P的横坐标范围是是：2﹣≤x≤或﹣≤x≤﹣2，
（3）如图4，

设C点的横坐标是a，
作CH⊥直线y＝x于H，
由上知：﹣1≤CH≤，
∵OC＝CH，
∴2﹣≤OC≤，
∴﹣≤a≤；
（4）如图5，

作OP⊥EF于P，
由题意得：OE＝3，OF＝4，
∴EF＝5，
∵S△EOF＝CF•OP＝，
∴OP＝＝，
要使点P是“等直顶点”，
则（）R＝，
∴R＝，
要使点F是“等直顶点”，
则R＝4，
∴R＝，
∴⊙O的半径最大值是，最小值是．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定“等直顶点”的条件．