2021北京燕山初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京燕山初三（上）期末数学（教师版），共15页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是
A．以为半径的圆B．以为半径的圆
C．以为半径的圆D．以为半径的圆
4．（3分）下列关于二次函数的说法正确的是
A．它的图象经过点
B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．当时，有最大值为0
5．（3分）点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
6．（3分）的半径为5，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是
A．无法确定B．点在外C．点在上D．点在内
7．（3分）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中不正确的是
A．B．C．D．
8．（3分）如图，，，曲线是双曲线的一部分．曲线与组成图形．由点开始不断重复图形形成一线“波浪线”．若点，在该“波浪线”上，则的值为____，的最大值为____．
A．，B．，C．，D．，
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）二次函数图象的开口方向是 ．
10．（3分）已知点与点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”或“” ．
11．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是 米．
12．（3分）请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式 ．
13．（3分）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为 ．
14．（3分）“阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战”．某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中、的值： ， ．
15．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为 ．
16．（3分）在实数范围内定义一种运算“”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是 ．（把所有错误结论的序号都填在横线上）
①；
②若，则；
③是一元二次方程；
④方程的根是，．
三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18-22题，每小题6分，第23-25题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
18．（5分）如图，健身广场地面上有一段以点为圆心的，小明要站在的中点的位置上．小明的想法是：只要从点出发，沿着与弦垂直的方向走到上，就能找到的中点．
老师肯定了小明的想法．
（1）请按照小明的想法，在图中画出点；
（2）小明确定点所用方法的依据是 ．
19．（5分）如图，是的直径，弦于点，已知，，，求的半径．
20．（5分）已知关于的方程．
（1）求证：当时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．
21．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，直接写出的取值范围．
22．（5分）学完《概率初步》的知识，小聪设计了一个问题：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转；
（3）至少有两辆车向右转．
请你选择列表法或者树状图解决小聪的问题．
23．（7分）为了预防“流感”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．
根据题中所提供的信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时关于的函数关系式及其自变量的取值范围；
（2）药物燃烧后关于的函数关系式是 ；
研究表明，
①当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室；
②当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，你认为此次消毒有效吗？请说明理由．
24．（7分）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的半径和的长．
25．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）线段绕点旋转得到线段，点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点）．结合函数图象，
①若直线与图象有公共点，求的最大值；
②若直线与图象没有公共点，直接写出点纵坐标的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
2．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
3．【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：于，
以点为圆心，为半径的圆与直线相切．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．若直线和相交；直线和相切；直线和相离．
4．【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：二次函数，当时，，故它的图象不经过点，故选项错误；
它的图象的对称轴是直线轴，故选项错误；
当时，随的增大而减小，故选项正确；
当时，有最小值为0，故选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．
5．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：的半径为5，点到圆心的距离为4，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
7．【分析】根据开口方向，对称轴，与轴交点位置等即可得答案；
【解答】解：、由开口向下得，故不符合题意，
、由图判断在轴下方，故，（如答图），故符合题意，
、抛物线与轴交点在轴正半轴，，故不符合题意，
、对称轴在轴左侧，在右侧，故，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查抛物线的图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与轴轴）的交点进行判断．
8．【分析】利用点在函数图象上及图象的重复性求解．
【解答】解：在的图象上．
．
当时，．
．
又因为．
．
在该“波浪线”上．
的最大值是5．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的图象，求出函数表达式和相应点的坐标是求解本题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数，可知抛物线开口向下．
【解答】解：二次函数的二次项系数，
抛物线开口向下．
故答案为：向下．
【点评】本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系．当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．
10．【分析】把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出与的值，比较大小即可．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，，
点在反比例函数的图象上，，
．
故答案为．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．
11．【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为平方米，圆心角为，利用扇形面积公式求出即可．
【解答】解：草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为平方米，圆心角为，
它能喷灌的草坪的面积为：．
解得：
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出图形形状进而利用公式求出是解题关键．
12．【分析】首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式．
【解答】解：开口向下，
中，
与轴的交点纵坐标为3，
，
抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．
13．【分析】先利用切线的性质得到，则利用互余计算出，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数．
【解答】解：为切线，
，
，
，
，是的切线，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．【分析】首先计算出总数，然后利用总数减去各组的频数可得的值，然后再利用1减去各组的频率可得的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为：150，0.35．
【点评】此题主要考查了频数分布表，关键是掌握频率，各组频率之和为1．
15．【分析】设正方形边长为，用，对应边成比例列方程即可求解；
【解答】解：设正方形边长为，则，
由的两条直角边的长分别为5和12可知，，，
正方形，
，
，
又，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形性质及相似三角形对应边成比例，关键是根据三角形相似列方程．
16．【分析】各项利用题中的新定义判断即可．
【解答】解：①根据题中的新定义得：，正确，不符合题意；
②若，则有，，，即，正确，不符合题意；
③已知等式变形得：，即，
合并得：，是一元一次方程，错误，符合题意；
④方程变形得：，
整理得：，即，
，，，
，
解得：，，错误，符合题意．
故答案为：③④．
【点评】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18-22题，每小题6分，第23-25题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）移项，然后把方程左边分解因式，利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1），
，
则或，
解得，；
（2），
移项，得：，
分解因式，得：，
则或，
解得，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．【分析】（1）连接，过点作垂线交于点．
（2）根据垂径定理判断即可．
【解答】解：（1）如图，点即为所求作．
（2）小明确定点所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
故答案为：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
【点评】本题考查作图应用应用与设计，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．【分析】连接，根据垂径定理求出的长和的度数，设，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接，
是的直径，，
，，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得，
所以的半径为5．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
20．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】（1）证明：△，
方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，△，
即：．
以下答案不唯一，如：
当，时，方程为．
解得．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．
21．【分析】（1）设交点式，然后把代入求出得到抛物线解析式；
（2）利用描点发法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【解答】解：（1）设，
将代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
（2），
抛物线的顶点坐标为，
如图，
（3）当时，的取值范围是．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22．【分析】画出树状图，列举出所有情况．
（1）看三辆车全部直行的情况占所有情况的多少即可；
（2）看两辆车向左转，一辆车向右转的情况占所有情况的多少即可；
（3）看至少有两辆车向右转的情况占所有情况的多少即可．
【解答】解：根据题意，可以画出如下的树状图：
共有27个等可能的结果，三辆车全部继续直行的结果有1种，两辆车向左转，一辆车向右转结果有3种，至少有两辆车向右转结果有7种，
（1）三辆车全部继续直行的概率是；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转的概率是；
（3）至少有两辆车向右转的概率是．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率所求情况数与总情况数之比求解．
23．【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函数解析式求法得出答案；
①当时，代入得出答案；
②将分别代入，得出答案．
【解答】解：（1）药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，所以设关于的函数关系式是，将点代入，得；，
即，
自变量的取值范围是．
（2）设药物燃烧后关于的函数关系式是，把代入得：
，故关于的函数关系式是；
①当时，代入得分钟，
那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
②此次消毒有效，添加理由如下：
将分别代入，得，和，
那么持续时间是分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
24．【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题；
（2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
25．【分析】（1）利用待定系数法可得结论．
（2）①当点落在直线上时，的面积最大．
②利用图象法法，可得结论．
【解答】（1）经过点，．
代入，得：，
抛物线的表达式是，
顶点坐标是．
（2）①由题意可知
二次函数的最小值是，
连接，直线的解析式是，
当时，，
当点在上时，，
直线与图象有公共点，
点在线段上运动，
当点与重合时，的面积最大，
的最大值是．
②由题意，直线交对称轴于，．
若直线与图象没有公共点，则直线与线段没有交点，
所以点纵坐标的取值范围是或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常压轴题．图书种类
频数
频率
科普常识
210
名人传记
204
0.34
中外名著
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其他
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