2021北京育才学校初三（上）期中数学（教师版）

2021北京育才学校初三（上）期中

数    学

一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，将正确选项填在表格内。

1．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝5 D．（x﹣4）2＝3

3．（3分）把抛物线y＝5x2向右平移3个单位，向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　　）

A．y＝5（x+3）2﹣2 B．y＝5（x+3）2+2 

C．y＝5（x﹣3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2+2

4．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（　　）

A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限 

B．图象的两个分支关于y轴对称 

C．图象经过点（1，1） 

D．当x＞0时，y随x增大而减小

5．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．16 B．12 C．16或12 D．24

6．（3分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（　　）

A．（，1） B．（，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）

8．（3分）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（　　）

A．50° B．80° C．70° D．90°

9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为（　　）

A．3 B． C．2 D．2

10．（3分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表

当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4

二、填空题（10个小题，11—19每小题2分，20题每小题2分共33分．）

11．（2分）直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为　   　．

12．（2分）李师傅去年开了一家商店，今年6月份开始盈利，8月份盈利2400元，10月份盈利达到3456元，且从8月到10月，每月的平均增长率相同，则平均增长率是 　   　．

13．（2分）正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 　   　．

14．（2分）若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 　   　（用“＞”号连接）．

15．（2分）如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则∠BAB′＝　   　．

16．（2分）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，CD＝4，EM＝6，则所在圆的半径是 　   　．

17．（2分）如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD＝AB，∠BDC＝25°，则∠BOC＝　   　．

18．（2分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m＝　   　．

19．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．

（1）点C与原点O的最短距离是　   　；

（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y关于x的函数关系式为　   　．

20．（15分）判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．

（1）两个半圆是等弧 　   　；

（2）过圆心的线段是半径 　   　；

（3）一个三角形有唯一的一个外接圆 　   　；

（4）相等的圆心角所对的弧相等 　   　；

（5）长度相等的两条弧是等弧 　   　；

（6）顶点在圆上的角是圆周角 　   　；

（7）圆周角是圆心角的一半 　   　；

（8）圆的切线只有一条 　   　；

（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点 　   　；

（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线 　   　；

（11）经过半径外端的直线是圆的切线 　   　；

（12）能完全重合的两个图形成中心对称 　   　；

（13）直径所对的角是直角 　   　；

（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交 　   　；

（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 　   　．

三、解答题（21—23题每小题4分，24—26题每小题4分，27题7分，共37分）

21．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

22．（4分）如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．

（1）求证：∠BAD＝∠CAD；

（2）若BC长为8，DE＝3，求⊙O的半径长．

23．（4分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．

24．（6分）已知一个二次函数图象过点（﹣3，0），（1，0），（﹣1，﹣4）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．

25．（6分）如图，直线y＝x+n与抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）相交于A（1，2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

26．（6分）如图，A，B，C为⊙O上三点，AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°，

（1）尺规作图：在弧BC上求作一点D，连接CD，使得CD∥AB；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在问题（1）的基础上，连接OD，试判断四边形ACDO的形状，并说明理由．

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．

①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；

②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．

参考答案

一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，将正确选项填在表格内。

1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

故选：C．

【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．【分析】移项，配方，变形后即可得出答案．

【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，

x2﹣4x＝1，

x2﹣4x+4＝1+4，

（x﹣2）2＝5，

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

3．【分析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），右平移3个单位，向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（3，﹣2），

可设新抛物线的解析式为：y＝5（x﹣h）2+k，

代入得：y＝5（x﹣3）2﹣2．

所以所得图象的解析式为：y＝5（x﹣3）2﹣2．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．

4．【分析】反比例函数y＝的图象，是位于第一、三象限的双曲线，在每个象限内y随x的增大而减小，双曲线关于直线y＝x，或y＝﹣x成轴对称，关于原点（0，0）成中心对称，图象上点的坐标满足xy＝2，即纵横坐标的积为2．

【解答】解：∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，故A不正确，

反比例函数的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，因此B是不正确的，

∵1×1≠2，∴图象不过（1，1）点，因此C是不正确的，

∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小因此D是正确的，

故选：D．

【点评】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．

5．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝4，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长．

【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0，

x﹣3＝0或x﹣4＝0，

所以x1＝3，x2＝4，

∵菱形ABCD的一条对角线长为6，

∴边AB的长是4，

∴菱形ABCD的周长为16．

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了菱形的性质．

6．【分析】连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．

【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，

∴连接PP1、NN1、MM1，

作PP1的垂直平分线过B、D、C，

作NN1的垂直平分线过B、A，

作MM1的垂直平分线过B，

∴三条线段的垂直平分线正好都过B，

即旋转中心是B．

故选：B．

【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．

7．【分析】如图，作AE⊥y轴于E，A′F⊥y轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．

【解答】解：如图，作AE⊥y轴于E，A′F⊥x轴于F．

∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°

∴∠AOE＝∠A′OF，

∵OA＝OA′，

∴△AOE≌△A′OF（AAS），

∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，

∴A′（，1）．

故选：A．

【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

8．【分析】根据圆周角定理得到∠A＝∠C＝40°，由三角形外角的性质即可得到结论．

【解答】解：∵＝，

∴∠A＝∠C＝40°，

∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，

故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．

9．【分析】先利用垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长．

【解答】解：∵CD⊥AB，

∴＝，

∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，

在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．

故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．

10．【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），﹣1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．

【解答】解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；

∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），

而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，

∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．

二、填空题（10个小题，11—19每小题2分，20题每小题2分共33分．）

11．【分析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为13，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径．

【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，

∴根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为cm＝13cm；

∴其外接圆半径长为cm；

故答案是：cm．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半．

12．【分析】设每月的平均增长率为x，利用10月份的盈利金额＝8月份的盈利金额×（1+每月的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每月的平均增长率为20%．

【解答】解：设每月的平均增长率为x，

依题意得：2400（1+x）2＝3456，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

故答案为：20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

13．【分析】增加的面积＝边长为3+x的新正方形的面积﹣边长为3的正方形的面积，把相关数值代入即可求解．

【解答】解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），

则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．

故应填：y＝x2+6x．

【点评】解决本题的关键是得到增加的面积的等量关系，注意新正方形的边长为3+x．

14．【分析】先根据反比例函数中k＞0，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＞0，

∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．

∵﹣5＜﹣3＜0，

∴点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2）位于第三象限，

∴y2＜y1＜0，

∵3＞0，

∴点C（3，y3）位于第一象限，

∴y3＞0，

故答案为：y3＞y1＞y2．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属于常考题．

15．【分析】由旋转性质可知AC＝AC′，∠C′AB′＝∠CAB，从而可得出△ACC′为等腰三角形，且∠CAC′＝∠BA′B和已知CC′∥AB，得出∠ACC′的度数．则可得出答案．

【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转到△AB′C′的位置

∴AC＝AC′∠C′AB′＝∠CAB

∴∠AC′C＝∠ACC′∠C′AC＝∠B′AB

∵CC′∥AB 

∴∠C′CA＝∠CAB＝70°

∴∠CAC′＝180°﹣70°×2＝40°

∵∠BAB′＝40°

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，判断出△ACC′是等腰三角形．

16．【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，根据垂径定理求出CM＝2，再在Rt△OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．

【解答】解：如图，连接OC，

设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，

∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，

∴CM＝DM＝CD＝2，

在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，

即R2＝（6﹣R）2+22，

解得：R＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

17．【分析】由AD＝AB，∠BDC＝25°，可求得∠ABD的度数，然后由三角形外角的性质，求得∠BAC的度数，又由圆周角定理，求得答案．

【解答】解：∵AD＝AB，∠BDC＝25°，

∴∠ABD＝∠BDC＝25°，

∴∠BAC＝∠ABD+∠BDC＝50°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝100°．

故答案为：100°．

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

18．【分析】根据公式a2+2b﹣3，可将（m，﹣3m）代入得出m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，解方程即可．

【解答】解：根据题意得，m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，

解得m1＝7，m2＝﹣1，

故答案为：7或﹣1．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．

19．【分析】（1）当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，即可求解；

（2）证明△CGA≌△BCH（AAS），AG＝CH，即x﹣a＝y+b，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a，即可求解．

【解答】解：（1）由反比例函数的对称性可得OA＝OB，△ABC是以AB为底边的等腰直角三角形，

∴CO＝AB＝OA＝OB，

当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，此时A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1）

OA＝OB＝OC＝＝，

故答案为：；

（2）如图，过点A作x轴的平行线，交过点C与y轴的平行线于点G，过点B作x轴的平行线交GC的延长线于点H，

设点A、B的坐标分别为（a，b）、（﹣a，﹣b），ab＝1，

∵∠GAC+∠GCA＝90°，∠GCA+∠BCH＝90°，

∴∠CBH＝∠GAC，

又AC＝BC，∠CGA＝∠BHC＝90°，

∴△CGA≌△BCH（AAS），

∴AG＝CH，即x﹣a＝y+b…①，

GC＝BH，即：b﹣y＝x+a…②，

联立①②并解得：x＝b，y＝﹣a，

即：xy＝﹣ab＝﹣1，

故答案为：y＝﹣（x＞0）．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．

20．【分析】根据切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质进行判断即可．

【解答】解：（1）两个半圆是等弧×；

（2）过圆心的线段是半径×；

（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；

（4）相等的圆心角所对的弧相等×；

（5）长度相等的两条弧是等弧×；

（6）顶点在圆上的角是圆周角×；

（7）圆周角是圆心角的一半×；

（8）圆的切线只有一条×；

（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；

（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；

（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；

（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；

（13）直径所对的角是直角×；

（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；

（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3√，

故答案为：×、×、√、×、×、×、×、×、√、×、×、×、×、×、√．

【点评】本题考查了圆的性质，切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质，熟练掌握切线的判定和性质定理、三角形的外接圆的性质是解题的关键．

三、解答题（21—23题每小题4分，24—26题每小题4分，27题7分，共37分）

21．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）＝36﹣8m+4＝40﹣8m＝0，

∴m＝5，

∴关于x的一元二次方程是x2﹣6x+9＝0，

∴（x﹣3）2＝0，

解得x1＝x2＝3．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

也考查了一元二次方程的解法．

22．【分析】（1）根据垂径定理得到BE＝CE，＝，即可得到∠BAD＝∠CAD；

（2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到BE＝CE＝BC＝4，∠OEB＝90°，设圆的半径是x，则OE＝x﹣DE，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵直径AD⊥弦BC，

∴＝，

∵点A在圆上，

∴∠BAD＝∠CAD；

（2）解：连接OB，

∵直径AD⊥弦BC，BC＝8，

∴BE＝CE＝BC＝4，∠OEB＝90°，

设圆的半径是x，则OE＝x﹣DE，

∵DE＝3，

∴OE＝x﹣3，

在Rt△BOE中，

由勾股定理得：x2﹣（x﹣3）2＝42，

解得：x＝，

∴⊙O的半径长为．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．

23．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．

【解答】证明：∵AB＝CD，

∴＝，

∴﹣＝﹣，即＝，

∴∠C＝∠B，

∴CE＝BE．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

24．【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把（﹣1，﹣4）代入求出a的值即可．

（2）列表，描点、连线画出函数图象即可；

（3）观察图象求得即可．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

把（﹣1，﹣4）代入得﹣4a＝﹣4，

解得a＝1，

所以抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3．

（2）列表：

描点、连线画出函数图象如图：

（3）与图象可知，当﹣4＜x＜﹣2时，﹣3＜y＜5．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．

25．【分析】（1）先利用A点坐标确定一次函数解析式为y＝x+1，再利用一次函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）设P（t，t+1）（1＜t＜4），则C（t，t2﹣4t+5），所以PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5），然后利用二次函数的性质解决问题．

【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝x+n得1+n＝2，解得n＝1，

∴一次函数解析式为y＝x+1；

把B（4，m）代入y＝x+1得m＝4+1＝5，

即B（4，5），

把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2+bx+5得，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；

（2）存在．

设P（t，t+1）（1＜t＜4），

∵PC⊥x轴，

∴C（t，t2﹣4t+5），

∴PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5）

＝﹣t2+5t﹣4

＝﹣（t﹣）2+，

当t＝时，PC的长有最大值，最大值为．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和一次函数的性质．

26．【分析】（1）以B点为圆心，BO为半径画弧交于D；

（2）连接BD，如图，先判断△OBD为等边三角形得到∠BOD＝60°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠A＝60°，于是可判断△OAC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，接着判断△OCD为等边三角形，则CD＝OD，然后利用AC＝CD＝OD＝OA可判断四边形ACDO为菱形．

【解答】解：（1）如图，点D为所作；

（2）四边形ACDO为菱形．

理由如下：连接BD，如图，

∵BD＝BO＝OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD＝60°，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠A＝60°，

∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠AOC＝60°，AC＝OA，

∵∠DOC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD＝60°，

OC＝OD，

∴△OCD为等边三角形，

∴CD＝OD，

∴AC＝CD＝OD＝OA，

∴四边形ACDO为菱形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．

27．【分析】（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2变形为y＝a（x﹣1）2﹣2，即可得到顶点坐标；

（2）①a＝2时，抛物线对称轴x＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出A、B坐标，得到m的值；

②分四种情况讨论：t≤﹣1，﹣1＜t≤0，0＜t＜1，t≥1，根据m＝2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．

【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，

∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2的顶点为（1，﹣2）；

（2）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x，抛物线对称轴x＝1，

∵图象G为轴对称图形，M（t，0），N（t+2，0），

∴1﹣t＝t+2﹣1，

∴t＝0，

∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，

∴A（0，0），B（2，0），

∵顶点为（1，﹣2），

∴m＝0﹣（﹣2）＝2；

②∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，

∴A（t，at2﹣2at+a﹣2），B（t+2，a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2），

又a＞0，抛物线对称轴x＝1，

（一）当t+2≤1，即t≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，

（at2﹣2at+a﹣2）﹣[a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2]＝2，

解得t＝﹣，

∴﹣≤﹣1，

∴a≤；

（二）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1≤1﹣t，即﹣1＜t≤0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，

∴（at2﹣2at+a﹣2）﹣（﹣2）＝2，

∴a＝，

又﹣1＜t≤0，

∴＜a≤2；

（三）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1＞1﹣t，即0＜t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，

∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（﹣2）＝2，

∴a＝，

又0＜t＜1，

∴＜a＜2；

（四）当t≥1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，

∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（at2﹣2at+a﹣2）＝2，

∴t＝，

又t≥1，

∴a≤，

综上所述，若存在实数t，使得m＝2，则0＜a≤2．

【点评】本题考查二次函数知识的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的最大值与最小值列方程．