2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：二次函数章节综合1 试卷

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编二次函数章节综合1一、单选题1．（2021·北京八十中九年级期中）已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（ ）A．抛物线的开口向上B．抛物线与y轴有交点C．当时，抛物线与x轴有交点D．若是抛物线上两点，则2．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）A．2 B． C．3 D．3．（2021·北京师大附中九年级期中）北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（　　）A．4 B．5 C．7 D．94．（2021·北京八中九年级期中）已知函数y=-x2-bx+c，其中b>0，c3 时，y1 < y2，请直接写出n的取值范围．23．（2021·北京一七一中九年级期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-30∴-b＜0∵a=-1＜0，-b＜0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．5．D【分析】由y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h可得答案．【详解】解：抛物线y=-（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1，故选：D．【点睛】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．6．A【分析】根据函数平移的法则：上加下减，左加右减进行求解．【详解】解：∵抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位∴平移后解析式为：故选：A【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握函数平移的法则是解答此题的关键．7．B【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可得答案．【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线．8．B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键．9．②④【分析】利用抛物线的性质对每个说法进行逐一判断即可得出结论．【详解】∵a＝1＞0，∴抛物线的开口方向向上．∴①说法错误；令x＝0则y＝﹣2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）．∴②说法正确；∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴为直线x＝﹣，∴当b＞0时，﹣＜0，∴当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧．∴③说法错误；令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．∴④说法正确；综上，说法正确的有：②④，故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，利用抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点的性质解答是解题的关键．10． 4 【分析】首先把x＝1分别代入抛物线求得纵坐标，再代入直线求得k，进一步与抛物线联立方程求得答案即可．【详解】解：把x＝1分别代入抛物线＝9，把（1，9）代入直线解得k＝4，由题意得，解得，所以交点坐标为（1，9）．故答案为：4；（1，9）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键．11．【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．【详解】解：将点代入抛物线中，解得，∴抛物线解析式为，设CD、EF分别与轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，得到：，解得，(负值舍去)，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．12．【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答．【详解】∵，∴，解得x=3或x=-1，∴点B的坐标为（3，0），当x=0时，y=3，∴点A的坐标为（0，3），∴不等式的解集为,故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．13．y1＜y3＜y2【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向下，对称轴是x=2，∴A（，）距对称轴的距离是，B（1，）距对称轴的距离是1，C（4，）距对称轴的距离是2，∵，∴故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．14．m＜9【分析】令y＝0，则x2+6x+m＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m的取值范围．【详解】解：令y＝0，则x2+6x+m＝0，∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，∴Δ＝62﹣4×1×m＞0．解得：m＜9．故答案为：m＜9．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键．15．2【分析】根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．【详解】解：∵y=（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|=2且m+2≠0．解得m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的定义、绝对值的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题关键．16．【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解．【详解】将解析式配方成顶点式为：．所以当时，函数有最大值．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键．17．（1）①， ；②m≥-1且m≠0；（2）或【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断 ②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图像得，，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以， 是覆盖的特征点②设点为的覆盖的特征点．依题意得：，当时，结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，故符合题意．当时，如图，点为的覆盖的特征点． 又∵点在一次函数的图象上，又∵点在一次函数的图象上，当直线过点时，即：解得：．∴结合函数图象可知．综上所述：．（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，解得：，结合图像得，即存在覆盖特征点，当时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点，当时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点， 综合得的范围是或．【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．18．（1）A（m，-2m+1）；（2）m=1，m=；（3）-8≤m≤0，且m≠－2【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y=-2x+1上运动；（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y=-2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最大值，当A沿直线y=-2x+1向上运动时，m值越来越小，最小值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．【详解】解：（1）∵y=-x2+2mx-m2-2m+1=-（x-m）2-2m+1，∴顶点 A（m，-2m+1）；（2）设x=m，y=-2m+1，消掉m，得y=-2x+1，∴A在直线y=-2x+1上运动，∴A所在象限可能为第一、第二、第四象限，∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，∴可以分两类讨论，①当A在第一象限时，m=-2m+1，解得m=，②当A在第二、第四象限时，m-2m+1=0，解得m=1，∴m=1或；（3）当P（0，1）向左平移4个单位长度得到Q，则Q（-4，1），且PQ∥x轴∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y=-2x+1上运动，∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m=0，由图2，当顶点A沿直线y=-2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，当抛物线经过Q点时，即当x=-4，y=1时，-（-4-m）2-2m+1=1，∴m=-2或-8，当m=-2时，抛物线为y=-（x-2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，当m=-8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，∴当-8≤m≤0，且m≠－2时，抛物线与线段PQ只有一个交点【点睛】此题考查的是二次函数综合题，主要考查的是数形结合思想，根据题意，充分挖掘题目中的数据参数，是画图的关键，根据图像，判断临界位置，即可解决问题．19．（1）（m，m+1）；（2）m≤﹣1；（3）﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口方向和顶点坐标可得顶点纵坐标m+1≤0时满足题意．（3）根据抛物线顶点坐标可得抛物线运动规律，通过数形结合求解．【详解】解答：解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，∴抛物线顶点D坐标为（m，m+1）．（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m+1），∴当m+1≤0时，抛物线与x轴有交点，解得m≤﹣1．（3）∵抛物线顶点坐标为（m，m+1），∴抛物线顶点所在图象为直线y＝x+1，当m＜﹣2时，抛物线对称轴在点A左侧，把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，解得m＝﹣4或m＝﹣1（舍），如图，∴m增大时，抛物线与线段有交点，当m＜0时，抛物线对称轴在点B左侧，把B（0，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，解得m＝﹣1或m＝2（舍）．此时抛物线同时经过点A，B，如图，∴﹣4≤m＜﹣1满足题意．m增大，抛物线沿直线y＝x+1移动，当抛物线经过点B时m＝0，∴﹣1＜m≤0满足题意．综上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是根据顶点坐标找出抛物线运动规律，通过数形结合求解．20．（1）①；②m＞2或m＜0；（2）＜a≤或a=4．【分析】（1）把a=1代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线G的对称轴； ②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，判断点（m，y2）的位置，进而可得m的取值范围； （2）根据题意先求出点M、A、B的坐标，再结合图象，分两种情况讨论，即可求a的取值范围．【详解】解：（1）①当时，抛物线G为 抛物线G的对称轴为 故答案为1； ②当时，抛物线为 如图，当或时， 抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2）， 且y2＞y1，在点左边抛物线上或点右边的抛物线上， m的取值范围是m＞2或m＜0； 故答案为：m＞2或m＜0； （2）∵抛物线G：y=ax2-2ax+4， 抛物线的对称轴为x=1，且对称轴与x轴交于点M， ∴点M的坐标为（1，0）． ∵点M与点A关于y轴对称， ∴点A的坐标为（-1，0）． ∵点M右移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为（4，0）． 依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，如图， 当时，抛物线的开口向下，把点A（-1，0）代入y=ax2-2ax+4，可得；此时抛物线与线段有两个交点，把点B（4，0）代入y=ax2-2ax+4，可得；此时抛物线与线段只有一个交点，所以：＜a≤当时，抛物线的开口向上，此时抛物线的顶点在上，把点M（1，0）代入y=ax2-2ax+4，可得a=4． 综上：抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得： ＜a≤或a=4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．21．（1）1；（2）见解析；（3）①1≤y≤2；②b的取值范围是1＜b＜2【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象得到函数y=-x2-2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少；②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．【详解】解：（1）当x=-2时，m=-（-2）2+2×|-2|+1=-4+4+1=1．故答案为：1（2）如图所示：（3）①根据函数图象可知：当-1≤ x＜1时，y的取值范围是1≤y≤2；故答案为：1≤y≤2；②由函数图象知：∵关于x的方程-x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，∴b的取值范围是1＜b＜2．故答案为：1≤x≤2；1＜b＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．22．（1）①；②；（2）【分析】（1）①把函数解析式化为一般式代入求值即可；②根据函数图像的性质判断即可；（2）根据对称轴是和函数图像判断即可；【详解】（1）①∵y =（x+ m - n）（x - m）+ 2，∴，当n =4时，，∴；②由①得，抛物线的对称轴是，∵x1 < x2，y1 < y2，∴当和在对称轴两边时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，∴，解得；当和在对称轴右侧时，；∴；（2）由（1）可得：，∵x1 < x2，y1 < y2，x1 + x2 >3，∴当和在对称轴两边时，，∴，当和在对称轴右侧时，；综上所述：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．23．（1）；（2）见解析；（3）-4≤y