2022北京东城初三（上）期末数学（教师版）

2022北京东城初三（上）期末

数    学

一、选择题（每题2分，共16分）

1．（2分）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　

A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5

2．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（2分）将抛物线向上平移3个单位后所得的解析式为　　

A． B． C． D．

4．（2分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

5．（2分）用配方法解方程，变形后结果正确的是　　

A． B． C． D．

6．（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是　　

A． B． C． D．

7．（2分）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（2分）如图，线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点．以点为圆心，线段的长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为．则与，与满足的函数关系分别是　　

A．正比例函数关系、一次函数关系 

B．一次函数关系，正比例函数关系 

C．一次函数关系，二次函数关系 

D．正比例函数关系，二次函数关系

二、填空题（每题2分，共16分）

9．（2分）抛物线的顶点坐标是　　．

10．（2分）若关于的一元二次方程的一根为，则的值是　 　．

11．（2分）请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式：　 　．

12．（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 　　．

13．（2分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为 　　．

14．（2分）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数为 　　．

15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书律历志》记载：“斛底，方而圜huán其外，旁有庣tiāo焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 　　尺．

16．（2分）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，则的度数为 　　；连接，线段的最小值为 　　．

三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）

17．（5分）解方程：．

18．（5分）如图，为的弦，于点，交于点．若的半径为10，，求的长．

19．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：（如图．

求作：的内接等腰直角三角形．

作法：如图2．

①作直径；

②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；

③作直线交于，两点；

④连接，．

所以就是所求作的等腰直角三角形．

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接，．

，，

是的垂直平分线．

又直线交于点，

　　．

是直径，

　　　　（填写推理依据）．

是等腰直角三角形．

20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）结合函数图象，直接写出时，的取值范围．

21．（5分）如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到△，点旋转后的对应点为．

（1）画出旋转后的图形△，并写出点的坐标；

（2）求点经过的路径的长（结果保留．

22．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从，，，四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

（1）“志愿者被选中”是 　　事件（填“随机”、“不可能”或“必然” ；

（2）用画树状图或列表的方法求出，两名志愿者同时被选中的概率．

23．（6分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．

24．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为的空地上修建一个矩形小花园．小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园边的长为，面积为．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

25．（6分）如图，是的弦，过点作交于点，在的延长线上取点，使得．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为4，，求线段的长．

26．（6分）在平面直角坐标系中，点和在抛物线上．

（1）若，求该抛物线的对称轴；

（2）若，设抛物线的对称轴为直线．

①直接写出的取值范围；

②已知点，，，在该抛物线上，比较，，的大小，并说明理由．

27．（7分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．

（1）用等式表示与的数量关系，并证明；

（2）当时，

①直接写出的度数为 　　；

②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系中．的半径为1，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的关于直线对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线对称的“关联线段”．

（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．

①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是 　　；

②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则　　；

（2）已知直线交轴于点，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出的最大值和最小值，以及相应的长．

参考答案

一、选择题（每题2分，共16分）

1．【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可．

【解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，，

故选：．

【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．

2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

．是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．

【解答】解：抛物线向上平移3个单位，

平移后的解析式为：．

故选：．

【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．

4．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点关于原点对称的点的坐标．

【解答】解：点，

点关于原点对称的点为，

故选：．

【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．

5．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

【解答】解：，

则，即，

故选：．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法配方法，掌握配方法是解本题的关键．

6．【分析】用“”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．

【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，

位于“”（图中虚线）的上方的有2处，

所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是，

故选：．

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A），难度适中．

7．【分析】连接、，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于计算，得到答案．

【解答】解：连接、，

，

，

，是的切线，

，，

，

故选：．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

8．【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．

【解答】解：，属于一次函数关系，

，属于二次函数关系，

故选：．

【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

二、填空题（每题2分，共16分）

9．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．

【解答】解：是抛物线的顶点式，

顶点坐标为．

故答案为．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．

10．【分析】先把代入方程，可得关于的一元一次方程，解即可．

【解答】解：把代入方程，得

，

解得．

故答案是：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大．

11．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式是正数，即可．

【解答】解：开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式为，

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．

12．【分析】根据频率估计概率即可得出“摸出黑球”的概率．

【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右，

所以，“摸出黑球”的概率为0.2，

故答案为：0.2．

【点评】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．

13．【分析】利用5月份的参观人数月份的参观人数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．【分析】由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理即可求解．

【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

15．【分析】根据正方形性质确定为等腰直角三角形，为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，求出，问题得解．

【解答】解：如图，

四边形为正方形，

，，

为直径，，

由题意得，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．

16．【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可．

【解答】解：四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，

，

，

，

取的中点，连接，则（不变），

根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小，

在中，根据勾股定理得，，

所以，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键．

三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）

17．【分析】利用因式分解法解方程．

【解答】解：，

或，

所以，．

【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

18．【分析】先求出的值，再根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可．

【解答】解：设，，

的半径为10，

，

解得：，

即，

连接，

，过圆心，

，，

由勾股定理得：，

．

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．

19．【分析】（1）根据题干要求的步骤依次求解即可；

（2）根据圆周角定理求解即可．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：连接，．

，，

是的垂直平分线．

又直线交于点，

．

是直径，

（直径所对的圆周角是直角），

是等腰直角三角形．

故答案为：、，直径所对的圆周角是直角．

【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和圆周角定理．

20．【分析】（1）通过待定系数法求解．

（2）求出抛物线与轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．

【解答】解：（1）将，代入得，

解得，

．

（2）令，

解得或，

抛物线经过，，

抛物线开口向上，

时，．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

21．【分析】（1）将点、分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可；

（2）根据弧长公式求解即可．

【解答】解：（1）如图所示，△即为所求．

点的坐标为；

（2）由图知，，，

点在旋转过程中所走过的路径长．

【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式．

22．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中，两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）“志愿者被选中”是随机事件，

故答案为：随机；

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中，两名志愿者同时被选中的结果有2种，

，两名志愿者同时被选中的概率为．

【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

23．【分析】（1）根据根的判别式：△，即可得到结论；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于2，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．

【解答】（1）证明：△，

无论为任何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）解：，

，

，．

方程有一根小于2，

，

的取值范围为．

【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于的一元一次不等式．

24．【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数解析即可；

（2）根据函数的性质求最值即可．

【解答】解：（1）由题意得：，

，

，

与之间的函数关系式为；

（2）由（1）知，，

，，

当时，有最大值，最大值为200，

答：当时，小花园的面积最大，最大面积是．

【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．

25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，求得，推出，根据切线判定定理得到是的切线；

（2）根据勾股定理得到，设，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即，

是的半径，

是的切线；

（2）解：，，，

，

设，

，

，

，

，

线段的长为3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

26．【分析】（1）把点代入求得的值，即可根据对称轴公式求得答案；

（2）①分类讨论的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间；②根据各点到对称轴的距离判断值大小．

【解答】解：（1）若，则点在抛物线上，

，解得，

抛物线的对称轴为直线；

（2）①，

抛物线开口向下且经过原点，

当时，抛物线顶点为原点，时随增大而减小，不满足题意，

当时，抛物线对称轴在轴左侧，同理，不满足题意，

当时，抛物线对称轴在轴右侧，时，时，

即抛物线和轴的2个交点，一个为，另外一个在1和2之间，

抛物线对称轴在直线与直线之间，

即；

②点与对称轴距离，

点，与对称轴距离，

点与对称轴距离

．

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．

27．【分析】（1）利用证明，即可得出答案；

（2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；

②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明△，得．

【解答】解：（1），

证明：是等边三角形，

，，

将线段绕点顺时针旋转得到，

，，

，

，

，

；

（2）①当时，

则，

，

，

，

故答案为：；

②，理由如下：

延长到，使，连接，，

为的中点，

，

四边形为平行四边形，

且，

，，

又，

，

，

又，，

△，

，

又为正三角形，

，

．

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．

28．【分析】（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，即可求解；

②从图象性质可知，直线与轴的夹角为，而线段直线，线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；线段，的最长的弦为2，得线段的对称线段不可能是的弦，而线段直线，线段，线段的对称线段线段线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，画出对应图形即可求解；

（2）先表示出，最大时就是最大，最小时就是长最小，根据线段关于直线对称线段在上，得，再由三角形三边关系得，得当为时，如图3，最小，此时点坐标为；当为时，如图3，最大，此时点坐标为，分两种情形分别求解．

【解答】解：（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，

发现线段的对称线段是的弦，

线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是，

故答案为：；

②从图象性质可知，直线与轴的夹角为，

线段直线，

线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦，

线段，的最长的弦为2，

线段的对称线段不可能是的弦，

线段是的关于直线对称的“关联线段”，

而线段直线，线段，

线段的对称线段线段线段，且线段，

平移这条线段，使其在上，有两种可能，

第一种情况：、的坐标分别为、，

此时；

第二种情况：、的坐标分别为、，

此时，

故答案为：3或2；

（2）直线交轴于点，

当时，，

解得：，

，

最大时就是最大，

最小时就是长最小，

线段是的关于直线对称的“关联线段”，

线段关于直线对称线段在上，

，

在△中，，

当为时，如图3，最小，此时点坐标为，

将点代入直线中，

，解得：，

过点作于点，

，

，

，，

，

在△中，；

当为时，如图3，最大，此时点坐标为，

将点代入直线中，

，解得：，

过点作于点，

，

，

，，

，

在△中，，

的最大值为，；最小值为，．

【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．