浙江省杭州市上城区开元中学2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，共30分）

1．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥4 B．x≠4 C．x＜4 D．x＞4

2．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．﹣6x+2＝0 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．+x＝2

4．数据1，3，2，5，4的方差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．用配方法解方程x2+4x+1＝0，经过配方，得到（　　）

A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3

6．如图，平行四边形ABCD中，P是四边形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（　　）

A．S1+S2＞S3+S4 B．S1+S2＝S3+S4 

C．S1+S2＜S3+S4 D．S1+S3＝S2+S4

7．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（　　）

A．2017 B．2020 C．2019 D．2018

8．如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是（　　）

A．32x+4x2＝40 B．32x+8x2＝40 C．64x﹣4x2＝40 D．64x﹣8x2＝40

9．如图，电线杆AB直立于地面BM，CD是一斜坡，其坡比为1：2，AD是电线杆的一斜拉钢绳，已知米，CD＝米，∠BAD＝45°，则电线杆AB的长为（　　）米．

A．8 B．10 C．12 D．9

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　）

A．3 B．2 C．6 D．3

二、填空题（共6小题，共24分）

11．化简：

（1）＝　              　；

（2）＝　                  　．

12．七边形的内角和为　      　度，外角和为　      　度．

13．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设 　              　．

14．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，则可以列出方程为 　                  　．

15．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　            　．

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝FD；④S△EFD＝S△CED，其中说法正确的是 　       　．

三、解答题（本题有7个小题，共66分）

17．计算：

（1）（）2+﹣×；

（2）（）2+（2+）（2﹣）．

18．解方程：

（1）（2x﹣1）2＝9．

（2）x2﹣4x﹣12＝0．

19．如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N．

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；

（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．

20．疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．

（1）m＝　   　，a＝　       　．

（2）这组数据的众数是　   　次，中位数是　   　次．

（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．

22．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价5x元．

（1）分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．

（2）若要使每天销售利润达到1540元，求x的值．

（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．

23．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；

（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，共30分）

1．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥4 B．x≠4 C．x＜4 D．x＞4

【分析】根据二次根式有意义的条件求解．

解：∵式子有意义，

∴x﹣4≥0，

∴x≥4．

故选：A．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数．

2．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．

解：A、不是中心对称图形，则此选项不符题意；

B、不是中心对称图形，则此选项不符题意；

C、不是中心对称图形，则此选项不符题意；

D、是中心对称图形，则此选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．

3．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．﹣6x+2＝0 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．+x＝2

【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．

解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；

B、是二元二次方程，故B不符合题意；

C、是一元二次方程，故C符合题意；

D、是分式方程，故D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

4．数据1，3，2，5，4的方差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据方差公式计算即可．

解：＝（1+2+3+4+5）÷5＝3，

S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．

故选：B．

【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

5．用配方法解方程x2+4x+1＝0，经过配方，得到（　　）

A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3

【分析】此题考查配方法的一般步骤：

①把常数项移到等号的右边；

②把二次项的系数化为1；

③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

解：∵x2+4x+1＝0，

∴x2+4x＝﹣1，

⇒x2+4x+4＝﹣1+4，

∴（x+2）2＝3．

故选：D．

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

6．如图，平行四边形ABCD中，P是四边形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（　　）

A．S1+S2＞S3+S4 B．S1+S2＝S3+S4 

C．S1+S2＜S3+S4 D．S1+S3＝S2+S4

【分析】如图，作PE⊥CD于E，交AB于F．证明S1+S3＝•AB•PF+•CD•PE＝•AB•（PE+PF）＝•AB•EF＝S平行四边形ABCD，即可解决问题．

解：如图，作PE⊥CD于E，交AB于F．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴S1+S3＝•AB•PF+•CD•PE＝•AB•（PE+PF）＝•AB•EF＝S平行四边形ABCD，

同法可证：S2+S4＝S平行四边形ABCD，

∴S1+S3＝S2+S4，

故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

7．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（　　）

A．2017 B．2020 C．2019 D．2018

【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．

解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，

设t＝x﹣1，

所以at2+bt+2＝0，

而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，

所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019，

则x﹣1＝2019，

解得x＝2020，

所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

8．如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是（　　）

A．32x+4x2＝40 B．32x+8x2＝40 C．64x﹣4x2＝40 D．64x﹣8x2＝40

【分析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，

依题意，得：x（20+4x+12+4x）＝40，

即32x+8x2＝40．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．如图，电线杆AB直立于地面BM，CD是一斜坡，其坡比为1：2，AD是电线杆的一斜拉钢绳，已知米，CD＝米，∠BAD＝45°，则电线杆AB的长为（　　）米．

A．8 B．10 C．12 D．9

【分析】过点D作DE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：BF＝DE，DF＝BE，再根据已知可设DE＝x米，则CE＝2x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算可求出CE，DE的长，从而求出BE的长，最后在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

解：过点D作DE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：BF＝DE，DF＝BE，

∵斜坡CD的坡比为1：2，

∴＝，

∴设DE＝x米，则CE＝2x米，

在Rt△CDE中，CD＝＝＝x（米），

∵CD＝米，

∴x＝，

∴x＝，

∴DE＝BF＝米，CE＝2米，

∵米，

∴DF＝BE＝BC+CE＝8﹣3+2＝（8﹣）米，

在Rt△AFD中，∠BAD＝45°，

∴AF＝＝（8﹣）米，

∴AB＝AF+BF＝8﹣+＝8（米），

故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　）

A．3 B．2 C．6 D．3

【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．

解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：

在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，

∴BC＝2AB＝12，AC＝＝6，

∵四边形PAQC是平行四边形，

∴OA＝OC＝3，

∵OP′⊥BC，∠ACB＝30°，

∴OP'＝OC＝，

当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，

∴PQ的最小值＝2OP′＝3．

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

二、填空题（共6小题，共24分）

11．化简：

（1）＝　2　；

（2）＝　　．

【分析】（1）根据算术平方根的化简方法计算即可求解；

（2）根据算术平方根的化简方法计算即可求解；

解：（1）＝＝×＝2，

故答案为：2；

（2）＝＝＝＝，

故答案为：．

【点评】此题考查了算术平方根的化简，熟记算术平方根的化简方法是解题的基础．

12．七边形的内角和为　900　度，外角和为　360　度．

【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．

解：（7﹣2）•180＝900度，外角和为360度．

【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．

13．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设 　a不平行b或a与b相交　．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据即可解答．

解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，应假设：a不平行b或a与b相交．

故答案为：a不平行b或a与b相交．

【点评】本题主要考查了反证法、垂线 以及平行线的判定，解答此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．

反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

14．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，则可以列出方程为 　60+60（1+x）+60（1+x）2＝218　．

【分析】由该配件厂一月份的产量及平均每月产量的增长率，可得出该配件厂二月份生产配件60（1+x）万个，三月份生产配件60（1+x）2万件，结合该配件厂第一季度共生产配件218万个，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：∵该配件厂一月份生产配件60万个，且该厂平均每月生产配件的增长率为x，

∴该配件厂二月份生产配件60（1+x）万个，三月份生产配件60（1+x）2万件．

根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝218．

故答案为：60+60（1+x）+60（1+x）2＝218．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　22cm或20cm　．

【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝4cm，EC＝3cm，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm；二是EB＝3cm，EC＝4cm时，则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．

解：设∠A的平分线交BC于点E，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠BEA＝∠DAE，

∵∠BAE＝∠DAE，

∴∠BEA＝∠BAE，

∴AB＝EB，

当EB＝4cm，EC＝3cm时，如图1，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm，

∴2AB+2BC＝2×4+2×7＝22（cm）；

当EB＝3cm，EC＝4cm时，如图2，则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，

∴2AB+2BC＝2×3+2×7＝20（cm），

∴平行四边形ABCD的周长为22cm或20cm，

故答案为：22cm或20cm．

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明∠A的平分线与BC相交所构成的三角形是等腰三角形是解题的关键．

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝FD；④S△EFD＝S△CED，其中说法正确的是 　①②③④　．

【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH＝FD，由三角形面积关系得出S△EFD＝S△CED，即可得出结论．

解：连接FG，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，

∵BD＝2AD，

∴OD＝AD，

∵点E为OA中点，

∴ED⊥CA，故①正确；

∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，

∴EF∥AB，EF＝AB，

∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD，

∴EG＝CD，

∴EF＝EG，故②正确；

∵EF∥CD，EF＝DG，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∴FH＝DH，

即FH＝FD，故③正确；

∵OF＝OB＝OD，OE＝OA＝OC，

∴S△OEF＝S△ODE，S△ODE＝S△CED，

∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S△CED，故④正确；

故答案为：①②③④．

【点评】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．

三、解答题（本题有7个小题，共66分）

17．计算：

（1）（）2+﹣×；

（2）（）2+（2+）（2﹣）．

【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案；

（2）直接利用乘法公式化简，进而合并得出答案．

解：（1）原式＝5+3﹣3

＝5；

（2）原式＝5﹣2+2+4﹣3

＝8﹣2．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

18．解方程：

（1）（2x﹣1）2＝9．

（2）x2﹣4x﹣12＝0．

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

解：（1）2x﹣1＝±3，

所以x1＝2，x2＝﹣1；

（2）（x﹣6）（x+2）＝0，

x﹣6＝0或x+2＝0，

所以x1＝6，x2＝﹣2．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．

19．如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N．

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；

（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出CM∥AN，由AM⊥BD，CN⊥BD，得出AM∥CN，即可得出结论；

（2）由AAS证得△DEM≌△BFN，得出DE＝BF＝4，再在Rt△BFN中，由勾股定理即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CM∥AN，

∵AM⊥BD，CN⊥BD，

∴AM∥CN，

∴四边形AMCN是平行四边形；

（2）解：∵四边形AMCN是平行四边形，

∴CM＝AN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB，CD∥AB，

∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，

在△MDE和△NBF中，

，

∴△MDE≌△NBF（AAS），

∴DE＝BF＝4，

在Rt△BFN中，由勾股定理得：BN＝＝＝5．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

20．疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．

（1）m＝　4　，a＝　126°　．

（2）这组数据的众数是　6　次，中位数是　5　次．

（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．

【分析】（1）根据打卡4次数及其所占的百分比求出打卡总数，根据各组打卡次数之和等于总次数得到m的值，用360°乘以打卡6次所占的百分比求出α；

（2）根据众数与中位数的定义求解；

（3）分别求出两人的加权平均数，分数较高者赢得这场PK．

解：（1）抽取的打卡总次数为：2÷10%＝20（次），

m＝20﹣（3+4+2+7）＝4，

α＝360°×＝126°．

故答案为：4，126°；

（2）打卡6次的次数为7，次数最多，所以众数是6次；

把20个数据按从小到大的顺序排列，位于第10，11个的数据都是5，所以中位数是5次．

故答案为：6，5；

（3）小方的成绩为：49×30%+10×70%＝21.7（分），

小锋的成绩为：50×30%+9×70%＝21.3（分），

∵21.7＞21.3，

∴小方赢得了这场PK．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数、众数以及中位数．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；

（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，

解得：x1＝k，x2＝k+1．

当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，

解得：k＝12；

当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，

解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．

答：k的值为12或3．

【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用勾股定理，找出关于k的方程．

22．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价5x元．

（1）分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．

（2）若要使每天销售利润达到1540元，求x的值．

（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．

【分析】（1）降价后平均每天的销售量＝24+降价的钱数÷5×4，每台的利润＝原利润﹣降价；

（2）根据每台的盈利×销售的件数＝1540元，即可列方程求解；

（3）根据每台的盈利×销售的件数＝2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解．

解：（1）降价后平均每天的销售量：24+5x÷5×4＝24+4x，

降价后销售的每台利润：60﹣5x；

（2）依题意，可列方程：

（60﹣5x）（24+4x）＝1540，

解方程得：x1＝1，x2＝5．

答：x的值为1或5．

（3）依题意，可列方程：

（60﹣5x）（24+4x）＝2000，

化简得x2﹣6x+28＝0，

Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0．

故方程无实数根．

故该电风扇每天销售利润不能达到2000元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰电风扇箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数＝1540元是解决问题的关键．

23．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；

（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．

【分析】（1）过点B作BE⊥CD于点E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；

（2）过点Q作QM⊥AP，分别计算出t＝0.5s时，AP，AQ和QM的长，则按三角形面积公式计算即可；

（3）分点P在线段AB上，点Q在线段AD上和点P在线段BC上，点Q在线段CD上，两种情况计算即可．

解：（1）平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm

∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm

如图，过点B作BE⊥CD于点E，

∵∠C＝30°

∴BE＝BC＝1cm

∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE＝4×1＝4（cm2）

答：平行四边形ABCD的面积为4cm2．

（2）当t＝0.5s时，

AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm

如图，过点Q作QM⊥AP

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A＝∠C

∵∠C＝30°

∴∠A＝30°

∴QM＝AQ＝×0.5＝（cm）

∴△APQ的面积为：×AP×QM＝×1×＝（cm2）

答：当t＝0.5s时，△APQ的面积为（cm2）．

（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．

∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，

△APQ的面积为：4×＝（cm2）

当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为＝cm

∴×2t×＝

∴t＝﹣（舍）或t＝

∴t＝时符合题意；

当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，

如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N

∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，

∴AB∥CD

∴∠PBN＝∠C＝30°

PN＝PB＝（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）

S△APQ＝4﹣×4×（t﹣2）﹣×[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]﹣（t﹣2）×1＝

∴4﹣2t+4﹣（6﹣t）（3﹣t）﹣+1＝

化简得：t2﹣4t+3＝0

∴（t﹣1）（t﹣3）＝0

∴t＝1（不符合题意，舍）或t＝3

当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．

综上，t的值为或3．

【点评】本题考查了动点在平行四边形的边上运动所形成的三角形的面积的问题，数形结合，按照三角形或平行四边形的面积公式计算，是解题的关键．