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2023年河南省南阳市唐河县中考数学模拟试卷（一）
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这是一份2023年河南省南阳市唐河县中考数学模拟试卷（一），共28页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市唐河县中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，满分30分）.
1．|﹣（﹣2.7）|的相反数是（ ）
A．﹣2.7 B．2.7 C． D．﹣
2．党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升．从2012年到2021年，我国国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位.114万亿元可用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1013元
C．1.14×1014元 D．1.14×1015元
3．如图，一个正方体纸盒的六个面上分别印有1，2，3，4，5，6，并且相对面上的两数之和为7，它的表面展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
6．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是80分 B．众数是5
C．中位数是80分 D．方差是110
7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
9．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．请写出一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，﹣3），且函数y随x的增大而减小，函数表达式是 ．
12．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之画像的概率为 ．
13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为 ．
14．如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD＝DE＝，∠CDE＝90°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80：D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，
81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
27
13
6
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
79.5
82
八年级
81.3
c
83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
18．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
19．为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）
20．为了美化城市环境，某街道重修了路面，准备将老旧的路灯换成LED太阳能路灯，计划购买海螺臂和A字臂两种型号的太阳能路灯共100只，经过市场调查：购买海螺臂太阳能路灯1只，A字臂太阳能路灯2只共需2300元；购买海螺臂太阳能路灯3只，A字臂太阳能路灯4只共需5400元．
（1）求海螺臂太阳能路灯和A字臂太阳能路灯的单价：
（2）在实际购买时，恰逢商家活动，购买海螺臂太阳能路灯超过20只时，超过的部分打九折优惠，A字臂太阳能路灯全部打八折优惠；若规定购买的海螺臂太阳能路灯的数量不少于A字臂太阳能路灯的数量的一半，请你设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最小总费用．
21．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切．
22．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，（点P不与点A，D重合）沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，①如图1，当点M在EF上时，∠ABP＝ 度，∠CBM＝ 度．
②如图2，当点M限制在长方形纸片内（长方形纸片较长的一边足够长），设∠ABP＝α，∠CBM＝β，则α，β的数量关系是 ；当∠CBM＝18° 时，∠ABP＝ 度．
（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延PM交CD于点Q，接BQ．如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为4，点Q在点F下方，当FQ＝1时，直接写出AP的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．|﹣（﹣2.7）|的相反数是（ ）
A．﹣2.7 B．2.7 C． D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
解：|﹣（﹣2.7）|＝2.7的相反数是﹣2.7．
故选：A．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2．党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升．从2012年到2021年，我国国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位.114万亿元可用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1013元
C．1.14×1014元 D．1.14×1015元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：114万亿元＝114000000000000元＝1.14×1014元．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，一个正方体纸盒的六个面上分别印有1，2，3，4，5，6，并且相对面上的两数之和为7，它的表面展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∵相对面上的两数之和为7，
∴3与4相对，5与2相对，6与1相对
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3
【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是80分 B．众数是5
C．中位数是80分 D．方差是110
【分析】根据折线统计图得出这10个数据为60、70、80、80、80、80、80、90、90、100，再利用平均数、众数、中位数及方差的定义求解可得．
解：由折线统计图知，这10个数据为60、70、80、80、80、80、80、90、90、100，
所以这组数据的平均数是＝81（分），众数是80分，中位数是＝80（分），
方差为×[（60﹣81）2+（70﹣81）2+（90﹣81）2×2+（80﹣81）2×5+（100﹣81）2]＝109，
故选：C．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
【分析】计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可．
解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；
在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；
在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；
在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根．
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝3，OB＝5，进而利用勾股定理得出AB的长，利用三角形中位线得出OE即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，
∵∠OCD＝90°，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝，
∵E是BC边的中点，OA＝OC，
∴2OE＝AB，
∴OE＝2，
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA＝3，OB＝5解答．
9．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．
解：设点B的坐标为（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b＝﹣a；
③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．
故③错误；
④∵（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，
∴y1＜y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．请写出一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，﹣3），且函数y随x的增大而减小，函数表达式是 y＝﹣x﹣4（答案不唯一） ．
【分析】直接利用一次函数的性质分析得出答案．
解：∵一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，﹣3），且函数y随x的增大而减小，
∴设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：y＝﹣x+b，
故﹣3＝﹣（﹣1）+b，
解得：b＝﹣4，
故函数表达式是：y＝﹣x﹣4（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x﹣4（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键．
12．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之画像的概率为 ．
【分析】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
∵共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
∴其中有一幅是祖冲之的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为 ．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD＝DE＝，∠CDE＝90°，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可．
解：连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，
∵∠CDE＝90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵OD＝OE，CD＝DE，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠EDO＝∠DEO＝45°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠ODC＝∠DEO，
∵OA⊥OB，
∴∠MON＝90°，
∴∠MON﹣∠DON＝∠DOE﹣∠DON，即∠MOD＝∠NOE，
∵OD＝OE，
∴△ODM≌△OEN（ASA），
∴S扇形AOD﹣S△ODM＝S扇形BOE﹣S△OEN，即S阴影＝S弓形CD＝S弓形DE
∵DE＝，
∴OD＝OE＝1，
∴S阴影＝﹣×1×1＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 ．
【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
解：如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，
∴AQ＝＝＝，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′＝＝＝，
综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、立方根和二次根式，再计算加减；
（2）先通分计算括号里面，再通分进行整体计算．
解：（1）
＝﹣1+2﹣3++1
＝﹣1；
（2）
＝+
＝+
＝+
＝．
【点评】此题考查了实数和分式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80：D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，
81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
27
13
6
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
79.5
82
八年级
81.3
c
83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 10 ，b＝ 40 ，c＝ 80.5 ；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
【分析】（1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值；
（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．
解：（1）根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为×100%＝40%，
所以“A组”所占的百分比为1﹣40%﹣25%﹣18%﹣7%＝10%，
即a＝10；
b＝100﹣14﹣27﹣13﹣6＝40；
八年级的中位数在B组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝80.5，
即c＝80.5；
故答案为：10，40，80.5；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；
（3）800×（10%+40%）+600×＝724（人），
答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
18．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出OA＝BC＝AB＝5，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，）．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练理解题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
19．为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）
【分析】过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，解Rt△FCB′和Rt△FCA'，进行求解即可．
解：如图，过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，
设CF＝xm．
∵∠ECB'＝∠A'CD，∠B'CA'＝34°，
∴，
在Rt△FCB′中，FB'＝x⋅tan28°，
在Rt△FCA'中，x＝FA'⋅tan28°，
∴x＝0.5（0.5x+4），
解方程得x≈2.7，
安装高度EC≈2.7+1.7＝4.4（m），
∴该设备的安装高度EC为4.4m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
20．为了美化城市环境，某街道重修了路面，准备将老旧的路灯换成LED太阳能路灯，计划购买海螺臂和A字臂两种型号的太阳能路灯共100只，经过市场调查：购买海螺臂太阳能路灯1只，A字臂太阳能路灯2只共需2300元；购买海螺臂太阳能路灯3只，A字臂太阳能路灯4只共需5400元．
（1）求海螺臂太阳能路灯和A字臂太阳能路灯的单价：
（2）在实际购买时，恰逢商家活动，购买海螺臂太阳能路灯超过20只时，超过的部分打九折优惠，A字臂太阳能路灯全部打八折优惠；若规定购买的海螺臂太阳能路灯的数量不少于A字臂太阳能路灯的数量的一半，请你设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最小总费用．
【分析】（1）设海螺臂太阳能路灯的单价为x元/只，A字臂太阳能路灯的单价为y元/只，根据“购买海螺臂太阳能路灯1只，A字臂太阳能路灯2只共需2300元；购买海螺臂太阳能路灯3只，A字臂太阳能路灯4只共需5400元”列方程组解答即可；
（2）设购买海螺臂太阳能路灯m只，A字臂太阳能路灯（100﹣m）只，设总费用为w，求出w与y的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
解：（1）设海螺臂太阳能路灯的单价为x元/只，A字臂太阳能路灯的单价为y元/只，可列方程：
解之得：，
∴海螺臂太阳能路灯的单价为800元/只，A字臂太阳能路灯的单价为750元/只；
（2）设购买海螺臂太阳能路灯m只，A字臂太阳能路灯（100﹣m）只，设总费用为w，则：
w＝20×800+（m﹣20）×800×0.9+（100﹣m）×750×0.8
＝16000+720m﹣14400+60000﹣600m
＝120m+61600，
又∵（100﹣m），
∴m，
∵对于一次函数w＝120m+61600，
k＝120＞0，w随m的增大而增大，又∵m，
∴当m取最小整数解34时，w最小＝120×34+61600＝65680（元），
∴100﹣34＝66（只），
∴购买海螺臂太阳能路灯34只，A字臂太阳能路灯66只可使费用最小，最小费用为65680元．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是理解自变量和函数满足的关系，以及找到最值．
21．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切．
【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO＝∠CDO，由AD＝CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC＝2，可得AB＝2BC可设BC＝a、则AC＝2a、AD＝AB＝a，证OE为中位线知OE＝a、AE＝CE＝AC＝a，进一步求得DE＝2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD＝90°即可得．
【解答】证明：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC＝2，
∴AB＝2BC，
∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB＝＝＝a，
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，
在△AED中，DE＝＝＝2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
则DA与⊙O相切．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理等知识点，学会利用参数表示线段的长是解题的关键．
22．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【分析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y＝﹣t2+5t+，当t＝时，y最大＝4.5；
（2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，当t＝2.8时，y＝﹣×2.82+5×2.8+＝2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣t2+5t+，
∴当t＝时，y最大＝4.5；
（2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y＝﹣×2.82+5×2.8+＝2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，（点P不与点A，D重合）沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，①如图1，当点M在EF上时，∠ABP＝ 30 度，∠CBM＝ 30 度．
②如图2，当点M限制在长方形纸片内（长方形纸片较长的一边足够长），设∠ABP＝α，∠CBM＝β，则α，β的数量关系是 2α+β＝90° ；当∠CBM＝18° 时，∠ABP＝ 36 度．
（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延PM交CD于点Q，接BQ．如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为4，点Q在点F下方，当FQ＝1时，直接写出AP的长．
【分析】（1）①由折叠的性质可得AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB＝30°，即可求解；
②由折叠的性质可得∠ABP＝∠PBM＝α，由角的和差关系可求解；
（2）由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ；
（3）由折叠的性质和勾股定理可求解．
解：（1）①∵对折矩形纸片ABCD，
∴AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，
∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，
∵sin∠BME＝＝，
∴∠EMB＝30°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°，
故答案为：30；30；
②由折叠的性质可得：∠ABP＝∠PBM＝α，
∵∠ABP+∠PBM+∠CBM＝90°，
∴2α+β＝90°，
当∠CBM＝18° 时，则∠ABP＝36°，
故答案为：2α+β＝90°，36；
（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，
由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，
∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，
又∵BQ＝BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），
∴∠CBQ＝∠MBQ；
（3）由折叠的性质可得DF＝CF＝2，AP＝PM，
∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，
∴CQ＝MQ，
∵FQ＝1，
∴MQ＝CQ＝1，DQ＝3，
∵PQ2＝PD2+DQ2，
∴（AP+1）2＝（4﹣AP）2+32，
∴AP＝2.4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2023年河南省南阳市唐河县中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，满分30分）.
1．|﹣（﹣2.7）|的相反数是（ ）
A．﹣2.7 B．2.7 C． D．﹣
2．党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升．从2012年到2021年，我国国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位.114万亿元可用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1013元
C．1.14×1014元 D．1.14×1015元
3．如图，一个正方体纸盒的六个面上分别印有1，2，3，4，5，6，并且相对面上的两数之和为7，它的表面展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
6．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是80分 B．众数是5
C．中位数是80分 D．方差是110
7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
9．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．请写出一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，﹣3），且函数y随x的增大而减小，函数表达式是 ．
12．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之画像的概率为 ．
13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为 ．
14．如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD＝DE＝，∠CDE＝90°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80：D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，
81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
27
13
6
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
79.5
82
八年级
81.3
c
83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
18．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
19．为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）
20．为了美化城市环境，某街道重修了路面，准备将老旧的路灯换成LED太阳能路灯，计划购买海螺臂和A字臂两种型号的太阳能路灯共100只，经过市场调查：购买海螺臂太阳能路灯1只，A字臂太阳能路灯2只共需2300元；购买海螺臂太阳能路灯3只，A字臂太阳能路灯4只共需5400元．
（1）求海螺臂太阳能路灯和A字臂太阳能路灯的单价：
（2）在实际购买时，恰逢商家活动，购买海螺臂太阳能路灯超过20只时，超过的部分打九折优惠，A字臂太阳能路灯全部打八折优惠；若规定购买的海螺臂太阳能路灯的数量不少于A字臂太阳能路灯的数量的一半，请你设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最小总费用．
21．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切．
22．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，（点P不与点A，D重合）沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，①如图1，当点M在EF上时，∠ABP＝ 度，∠CBM＝ 度．
②如图2，当点M限制在长方形纸片内（长方形纸片较长的一边足够长），设∠ABP＝α，∠CBM＝β，则α，β的数量关系是 ；当∠CBM＝18° 时，∠ABP＝ 度．
（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延PM交CD于点Q，接BQ．如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为4，点Q在点F下方，当FQ＝1时，直接写出AP的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．|﹣（﹣2.7）|的相反数是（ ）
A．﹣2.7 B．2.7 C． D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
解：|﹣（﹣2.7）|＝2.7的相反数是﹣2.7．
故选：A．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2．党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升．从2012年到2021年，我国国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位.114万亿元可用科学记数法表示为（ ）
A．114×1012元 B．1.14×1013元
C．1.14×1014元 D．1.14×1015元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：114万亿元＝114000000000000元＝1.14×1014元．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，一个正方体纸盒的六个面上分别印有1，2，3，4，5，6，并且相对面上的两数之和为7，它的表面展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∵相对面上的两数之和为7，
∴3与4相对，5与2相对，6与1相对
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3
【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是80分 B．众数是5
C．中位数是80分 D．方差是110
【分析】根据折线统计图得出这10个数据为60、70、80、80、80、80、80、90、90、100，再利用平均数、众数、中位数及方差的定义求解可得．
解：由折线统计图知，这10个数据为60、70、80、80、80、80、80、90、90、100，
所以这组数据的平均数是＝81（分），众数是80分，中位数是＝80（分），
方差为×[（60﹣81）2+（70﹣81）2+（90﹣81）2×2+（80﹣81）2×5+（100﹣81）2]＝109，
故选：C．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
【分析】计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可．
解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；
在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；
在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；
在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根．
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝3，OB＝5，进而利用勾股定理得出AB的长，利用三角形中位线得出OE即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，
∵∠OCD＝90°，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝，
∵E是BC边的中点，OA＝OC，
∴2OE＝AB，
∴OE＝2，
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA＝3，OB＝5解答．
9．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．
解：设点B的坐标为（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b＝﹣a；
③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．
故③错误；
④∵（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，
∴y1＜y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．请写出一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，﹣3），且函数y随x的增大而减小，函数表达式是 y＝﹣x﹣4（答案不唯一） ．
【分析】直接利用一次函数的性质分析得出答案．
解：∵一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，﹣3），且函数y随x的增大而减小，
∴设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：y＝﹣x+b，
故﹣3＝﹣（﹣1）+b，
解得：b＝﹣4，
故函数表达式是：y＝﹣x﹣4（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x﹣4（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键．
12．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之画像的概率为 ．
【分析】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
∵共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
∴其中有一幅是祖冲之的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为 ．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD＝DE＝，∠CDE＝90°，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可．
解：连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，
∵∠CDE＝90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵OD＝OE，CD＝DE，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠EDO＝∠DEO＝45°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠ODC＝∠DEO，
∵OA⊥OB，
∴∠MON＝90°，
∴∠MON﹣∠DON＝∠DOE﹣∠DON，即∠MOD＝∠NOE，
∵OD＝OE，
∴△ODM≌△OEN（ASA），
∴S扇形AOD﹣S△ODM＝S扇形BOE﹣S△OEN，即S阴影＝S弓形CD＝S弓形DE
∵DE＝，
∴OD＝OE＝1，
∴S阴影＝﹣×1×1＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 ．
【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
解：如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，
∴AQ＝＝＝，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′＝＝＝，
综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、立方根和二次根式，再计算加减；
（2）先通分计算括号里面，再通分进行整体计算．
解：（1）
＝﹣1+2﹣3++1
＝﹣1；
（2）
＝+
＝+
＝+
＝．
【点评】此题考查了实数和分式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80：D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，
81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
分组
A
B
C
D
E
频数
14
b
27
13
6
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
79.5
82
八年级
81.3
c
83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 10 ，b＝ 40 ，c＝ 80.5 ；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
【分析】（1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值；
（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．
解：（1）根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为×100%＝40%，
所以“A组”所占的百分比为1﹣40%﹣25%﹣18%﹣7%＝10%，
即a＝10；
b＝100﹣14﹣27﹣13﹣6＝40；
八年级的中位数在B组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝80.5，
即c＝80.5；
故答案为：10，40，80.5；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；
（3）800×（10%+40%）+600×＝724（人），
答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
18．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出OA＝BC＝AB＝5，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，）．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练理解题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
19．为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）
【分析】过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，解Rt△FCB′和Rt△FCA'，进行求解即可．
解：如图，过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，
设CF＝xm．
∵∠ECB'＝∠A'CD，∠B'CA'＝34°，
∴，
在Rt△FCB′中，FB'＝x⋅tan28°，
在Rt△FCA'中，x＝FA'⋅tan28°，
∴x＝0.5（0.5x+4），
解方程得x≈2.7，
安装高度EC≈2.7+1.7＝4.4（m），
∴该设备的安装高度EC为4.4m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
20．为了美化城市环境，某街道重修了路面，准备将老旧的路灯换成LED太阳能路灯，计划购买海螺臂和A字臂两种型号的太阳能路灯共100只，经过市场调查：购买海螺臂太阳能路灯1只，A字臂太阳能路灯2只共需2300元；购买海螺臂太阳能路灯3只，A字臂太阳能路灯4只共需5400元．
（1）求海螺臂太阳能路灯和A字臂太阳能路灯的单价：
（2）在实际购买时，恰逢商家活动，购买海螺臂太阳能路灯超过20只时，超过的部分打九折优惠，A字臂太阳能路灯全部打八折优惠；若规定购买的海螺臂太阳能路灯的数量不少于A字臂太阳能路灯的数量的一半，请你设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最小总费用．
【分析】（1）设海螺臂太阳能路灯的单价为x元/只，A字臂太阳能路灯的单价为y元/只，根据“购买海螺臂太阳能路灯1只，A字臂太阳能路灯2只共需2300元；购买海螺臂太阳能路灯3只，A字臂太阳能路灯4只共需5400元”列方程组解答即可；
（2）设购买海螺臂太阳能路灯m只，A字臂太阳能路灯（100﹣m）只，设总费用为w，求出w与y的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
解：（1）设海螺臂太阳能路灯的单价为x元/只，A字臂太阳能路灯的单价为y元/只，可列方程：
解之得：，
∴海螺臂太阳能路灯的单价为800元/只，A字臂太阳能路灯的单价为750元/只；
（2）设购买海螺臂太阳能路灯m只，A字臂太阳能路灯（100﹣m）只，设总费用为w，则：
w＝20×800+（m﹣20）×800×0.9+（100﹣m）×750×0.8
＝16000+720m﹣14400+60000﹣600m
＝120m+61600，
又∵（100﹣m），
∴m，
∵对于一次函数w＝120m+61600，
k＝120＞0，w随m的增大而增大，又∵m，
∴当m取最小整数解34时，w最小＝120×34+61600＝65680（元），
∴100﹣34＝66（只），
∴购买海螺臂太阳能路灯34只，A字臂太阳能路灯66只可使费用最小，最小费用为65680元．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是理解自变量和函数满足的关系，以及找到最值．
21．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切．
【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO＝∠CDO，由AD＝CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC＝2，可得AB＝2BC可设BC＝a、则AC＝2a、AD＝AB＝a，证OE为中位线知OE＝a、AE＝CE＝AC＝a，进一步求得DE＝2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD＝90°即可得．
【解答】证明：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC＝2，
∴AB＝2BC，
∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB＝＝＝a，
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，
在△AED中，DE＝＝＝2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
则DA与⊙O相切．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理等知识点，学会利用参数表示线段的长是解题的关键．
22．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【分析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y＝﹣t2+5t+，当t＝时，y最大＝4.5；
（2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，当t＝2.8时，y＝﹣×2.82+5×2.8+＝2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣t2+5t+，
∴当t＝时，y最大＝4.5；
（2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y＝﹣×2.82+5×2.8+＝2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，（点P不与点A，D重合）沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，①如图1，当点M在EF上时，∠ABP＝ 30 度，∠CBM＝ 30 度．
②如图2，当点M限制在长方形纸片内（长方形纸片较长的一边足够长），设∠ABP＝α，∠CBM＝β，则α，β的数量关系是 2α+β＝90° ；当∠CBM＝18° 时，∠ABP＝ 36 度．
（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延PM交CD于点Q，接BQ．如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为4，点Q在点F下方，当FQ＝1时，直接写出AP的长．
【分析】（1）①由折叠的性质可得AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB＝30°，即可求解；
②由折叠的性质可得∠ABP＝∠PBM＝α，由角的和差关系可求解；
（2）由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ；
（3）由折叠的性质和勾股定理可求解．
解：（1）①∵对折矩形纸片ABCD，
∴AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，
∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，
∵sin∠BME＝＝，
∴∠EMB＝30°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°，
故答案为：30；30；
②由折叠的性质可得：∠ABP＝∠PBM＝α，
∵∠ABP+∠PBM+∠CBM＝90°，
∴2α+β＝90°，
当∠CBM＝18° 时，则∠ABP＝36°，
故答案为：2α+β＝90°，36；
（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，
由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，
∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，
又∵BQ＝BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），
∴∠CBQ＝∠MBQ；
（3）由折叠的性质可得DF＝CF＝2，AP＝PM，
∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，
∴CQ＝MQ，
∵FQ＝1，
∴MQ＝CQ＝1，DQ＝3，
∵PQ2＝PD2+DQ2，
∴（AP+1）2＝（4﹣AP）2+32，
∴AP＝2.4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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