2023年中考人教版数学一轮复习 第8章 统计与概率

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第八章　统计与概率　　第一节　统　计考 点  易错自纠易错点1　误认为众数一定只有一个1.一组数据3,2,4,5,2,5的众数是　2,5　. 易错点2　求中位数时忽略排序致错2.[浙江金华]数据1,2,4,5,3的中位数是　3　. 易错点3　误认为方差越大,数据越稳定3.[辽宁沈阳]甲、乙两人在相同条件下进行射击练习,每人10次射击成绩的平均值都是7环,方差分别为=2.9,=1.2,则两人成绩比较稳定的是　乙　(填“甲”或“乙”). 易错点4　求加权平均数时忽略权重致错4.[江苏苏州]某手表厂抽查了10只手表的日走时误差(单位:s),数据如下表所示:日走时误差0123只数3421 则这10只手表的平均日走时误差(单位:s)是 ( D )A.0 　　　　B.0.6 　　　C.0.8 　　　　D.1.1真 题  考法速览考法1　统计的步骤(10年1考)考法2　平均数、中位数、众数、方差的计算及意义(必考)考法3　分析统计图(表)(10年8考)考法1统计的步骤　　　 　　　　　　　　　　　　1.[河北,11]某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类.以下是排乱的统计步骤:①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类;②去图书馆收集学生借阅图书的记录;③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比;④整理借阅图书记录并绘制频数分布表.正确统计步骤的顺序是 ( D )A.②→③→①→④ B.③→④→①→②C.①→②→④→③ D.②→④→③→①考法2平均数、中位数、众数、方差的计算及意义2.[河北,9]为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势,在同一时期分别从中随机抽取了部分麦苗,获得苗高(单位:cm)的平均数与方差为:==13,==15;==3.6,==6.3.则四种小麦中,麦苗又高又整齐的是              ( D )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.[河北,5]如图是小颖前3次购买的苹果的价格的统计图,第4次又买的苹果的价格是a元/千克,发现这4个价格的中位数恰好也是众数,则a=              ( B )A.9 B.8 C.7 D.64.[河北,14]甲、乙两组各有12名学生,组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表,如下:比较5月份两组家庭用水量的中位数,下列说法正确的是 ( B )A.甲组比乙组大 B.甲、乙两组相同C.乙组比甲组大 D.无法判断5.[河北,16]五名学生投篮球,规定每人投20次,统计他们每人投中的次数,得到五个数据.若这五个数据的中位数是6,唯一众数是7,则他们投中次数的总和可能是              ( B )A.20 B.28 C.30 D.31考法3分析统计图(表)6.[河北,24]某厂生产A,B两种产品,其价格随市场变化而做相应调整,营销人员根据前三次价格变化的情况,绘制了如下统计表及不完整的折线图:A,B产品价格变化统计表 第一次第二次第三次A产品价格/(元/件)65.26.5B产品价格/(元/件)3.543 并求得了A产品三次价格的平均数和方差:=5.9;=[(6-5.9)2+(5.2-5.9)2+(6.5-5.9)2]=.(1)补全图中B产品价格变化的折线图,B产品第三次的价格比上一次的价格降低了　25　%; (2)求B产品三次价格的方差,并比较哪种产品的价格波动小;(3)该厂决定第四次调价,A产品的价格仍为6.5元/件,B产品的价格比3元/件上调m%(m>0),使得A产品这四次价格的中位数比B产品四次价格中位数的2倍少1,求m的值.解:(1)补全折线图如图所示.25(2)=(3.5+4+3)=3.5.==.∵<,∴B产品的价格波动小.(3)第四次调价后,对于A产品,这四次价格的中位数为=. 对于B产品,∵m>0,∴第四次的价格大于3元/件.又∵×2-1=>,∴第四次的价格小于4元/件,∴×2-1=,∴m=25.7.[河北,22]如图(1),A,B,C是三个垃圾存放点,点B,C分别位于点A的正北和正东方向,AC=100米.四人分别测得∠C的度数如下表:图(1)　 甲乙丙丁∠C(单位:度)34363840 他们又调查了各点的垃圾量,并绘制了如图(2)、图(3)所示的尚不完整的统计图:各点垃圾量条形统计图　　　　　各点垃圾量扇形统计图图(2)　　　　　　　　　　 图(3)(1)求表中∠C度数的平均数;(2)求A处的垃圾量,并将条形统计图补充完整;(3)用(1)中的作为∠C的度数,要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处,已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元,求运垃圾所需的费用.(注:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)解:(1)==37(度).(2)由扇形图知,A处的垃圾量所占的百分比为12.5%,∴A处的垃圾量为×12.5%=80(千克).补全条形统计图如下:各点垃圾量条形统计图(3)在Rt△ABC中,∠C=37°,AB=AC·tan C≈100×0.75=75(米).∴运费是80×75×0.005=30(元).8.[河北,22]某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图(1))和条形图(如图(2)),经确认扇形图是正确的,而条形图尚有一处错误. 图(1)　　　　　　　　　 图(2)回答下列问题:(1)写出条形图中存在的错误,并说明理由.(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数. (3)在求这20名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的:第一步:求平均数的公式是=;第二步:在该问题中,n=4,x1=4,x2=5,x3=6,x4=7;第三步:==5.5(棵).①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的? ②请你帮他计算出正确的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵.解:(1)类型D的人数错误.理由:类型D的人数为10%×20=2≠3.(2)众数为5棵;中位数为5棵.(3)①第二步.②==5.3(棵).估计这260名学生共植树:5.3×260=1 378(棵).9.[河北,21]某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训,两人各射了5箭,他们的总成绩(单位:环)相同.小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表,并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业). 第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩/环94746乙成绩/环757a7 (1)a=　4　,=　6　. (2)请完成折线统计图中表示乙成绩变化情况的折线.(3)①观察折线统计图,可看出　乙　的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”).参照小宇的计算方法,计算乙成绩的方差,并验证你的判断. ②请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中.解:(1)4　6(2)完成乙成绩变化情况的折线如图.(3)①乙=×[(7-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(4-6)2+(7-6)2]=1.6.显然<,所以乙的成绩比较稳定.②因为两人成绩的平均数相同,乙的成绩比甲稳定,所以乙将被选中. 第二节　概　率 考 点  易错自纠易错点1　因列举出的结果不是等可能的而致错1.随机抛掷一枚均匀的硬币2次,2次都是正面朝上的概率是 　. 易错点2　忽略“放回”与“不放回”致错2.[重庆B卷]盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片,上面分别标着数字1,2,3,从中随机抽出1张后不放回,再随机抽出1张,则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是 　. 3.[浙江杭州]一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同),编号分别为1,2,3,5.从中任意摸出一个球,记下编号后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 　. 真 题  考法速览考法1　以数字为背景的概率计算(10年3考)考法2　以几何为背景的概率计算(10年2考)考法3　与统计结合的概率计算(10年3考)考法4　频率与概率(10年2考)考法1以数字为背景的概率计算　　　　　　 　　　　　　　　　　　　1.[河北,13]将一质地均匀的正方体骰子掷一次,观察向上一面的点数,与点数3相差2的概率是( B )A. B. C. D.2.[河北,23]如图(1),一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4.如图(2),正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边顺时针连续跳几个边长.如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B……设游戏者从圈A起跳.(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗?图(1)　　　　　 图(2)解:(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果,只有掷得4时,才会落回到圈A,∴P1=.(2)列表如下:第1次第2次12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4) 由上表可以看出,所有等可能的情况共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回到圈A,共有4种情况.∴P2==.∵P1=,∴淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.3.[河北,21]如图,一转盘被等分成三个扇形,上面分别标有-1,1,2中的一个数,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,这时,某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上,当做指向右边的扇形).(1)若小静转动转盘一次,求得到负数的概率.(2)小宇和小静分别转动转盘一次,若两人得到的数相同,则称两人“不谋而合”.用列表法(或画树状图法)求两人“不谋而合”的概率.解:(1)由转盘被等分成三个扇形可知,P(得到负数)=.(2)用下表列举所有可能的结果: -112-1(-1,-1)(-1,1)(-1,2)1(1,-1)(1,1)(1,2)2(2,-1)(2,1)(2,2) 从上表可知,两人转动转盘一共有9种等可能的结果.其中两人得到的数相同的结果有3种,所以P(两人“不谋而合”)==.考法2以几何为背景的概率计算4.[河北,17]如图,A是正方体小木块(质地均匀)的一顶点,将木块随机投掷在水平桌面上,则A与桌面接触的概率是 　. 5.[河北,16]在1×2的正方形网格的格点上放三枚棋子,按如图所示的位置已放置了两枚棋子,若第三枚棋子随机放在其他格点上,则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 　. 考法3与统计结合的概率计算 6.[河北,22]某球室有三种品牌的4个乒乓球,价格是7元、8元、9元三种,从中随机拿出一个球,已知P(一次拿到8元球)=.(1)求这4个球价格的众数.(2)若甲组已拿走一个7元球训练,乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同?并简要说明理由.②乙组先随机拿出一个球后放回,之后又随机拿一个,用列表法(如下表)求乙组两次都拿到8元球的概率.先拿又拿                解:(1)∵P(一次拿到8元球)==,∴8元球的个数为2,∴众数是8元.(2)①相同.理由:∵所剩的3个球的价格分别是8元、8元、9元,∴中位数是8元.∵原来4个球的价格分别是7元、8元、8元、9元,∴中位数是8元.故两组数据的中位数相同.②根据题意列表如下:先拿又拿8898(8,8)(8,8)(8,9)8(8,8)(8,8)(8,9)9(9,8)(9,8)(9,9) 由表格可知,共有9种等可能的结果,其中乙组两次都拿到8元球的结果有4种,故P(乙组两次都拿到8元球)=.7.[河北,21]老师随机抽查了本学期学生读课外书的册数的情况,绘制成如下条形统计图和不完整的扇形统计图,其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分.(1)求条形统计图中被遮盖的数,并写出册数的中位数;(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想,求选中读书超过5册的学生的概率;(3)老师随后又补查了另外几名学生,得知最少的读了6册课外书,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,则最多补查了　3　名学生. 解:(1)抽查的学生总数为6÷25%=24,被遮盖的数为24-5-6-4=9.将条形统计图中的数据按从小到大的顺序排列为4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,位于中间的两个数是5,5,故中位数为(5+5)÷2=5(册).(2)选中读书超过5册的学生的概率为=.(3)3解法提示:设老师随后又补查了x名学生,则补查后共有(24+x)名学生参与调查.当x为奇数时,第名学生的调查结果为中位数,即第名学生的调查结果为5册,此时13≤≤14,解得1≤x≤3,此时x的最大值为3.当x为偶数时,第名学生和第(+1)名学生的调查结果的平均数为中位数,此时13≤≤14,且13≤+1≤14,解得x=2.综上,最多补查了3名学生.8.[河北,21]编号为1—5号的5名学生进行定点投篮,规定每人投5次,每命中1次记1分,没有命中记0分,下图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图.之后来的第6号学生也按同样记分规定投了5次,其命中率为40%.(1)求第6号学生的积分,并将图增补为这6名学生积分的条形统计图;(2)在这6名学生中,随机选一名学生,求选上命中率高于50%的学生的概率;(3)最后,又来了第7号学生,也按同样记分规定投了5次,这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数,求这个众数以及第7号学生的积分.解:(1)6号的积分为5×40%×1=2(分).增补后的条形统计图如图所示:(2)∵这6名学生中,有4名学生的命中率高于50%,∴P(选上命中率高于50%的学生)=.(3)∵3出现的次数最多,∴7名学生积分的众数是3分,∴7号学生命中3次或没有命中,∴7号学生的积分是3分或0分.考法4频率与概率9.[河北,11]某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是              ( D )A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是410.[河北,6]掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ( B )A.每2次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上C.必有5次正面向上D.不可能有10次正面向上参考答案第一节　统　计考点【易错自纠】1.2,5　这组数据中,2和5都出现了两次,出现的次数最多,故众数是2和5.2.3　将该组数据按从小到大的顺序排列为1,2,3,4,5,中间的数是3,故中位数是3.3.乙　∵<,方差越小,数据越稳定,∴乙的成绩比较稳定.4.D　10只手表的平均日走时误差为×(3×0+4×1+2×2+1×3)=1.1(s).真题1.D　某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类,正确统计步骤的顺序:去图书馆收集学生借阅图书的记录(收集数据);整理借阅图书记录并绘制频数分布表(整理数据);绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比(整理数据);从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类(分析数据).故选D.2.D　由题易得,=>=,=>=,故丁种小麦的麦苗又高又整齐.3.B　选项分析A当a=9时,4个价格(单位:元/千克)按从小到大的顺序排列为6,8,9,9,此时中位数是=8.5,众数是9.B当a=8时,4个价格(单位:元/千克)按从小到大的顺序排列为6,8,8,9,此时中位数是=8,众数是8.C当a=7时,4个价格(单位:元/千克)按从小到大的顺序排列为6,7,8,9,此时中位数是=7.5,没有众数.D当a=6时,4个价格(单位:元/千克)按从小到大的顺序排列为6,6,8,9,此时中位数是=7,众数是6. 故选B.4.B　由“甲组12户家庭用水量统计表”可知,在甲组12户家庭用水量中,从小到大排列后,位于中间的是第6户家庭用水量和第7户家庭用水量,这两户的家庭用水量都是5吨,所以甲组家庭用水量的中位数为×(5+5)=5(吨);由“乙组12户家庭用水量统计图”可知,用水量为7吨的户数为12×=2,用水量为6吨的户数为12×=3,用水量为5吨的户数为12×=4,用水量为4吨的户数为12×=3,所以乙组家庭用水量的中位数为×(5+5)=5(吨),故甲组与乙组家庭用水量的中位数相同.5.B　由“五个数据的中位数是6,唯一众数是7”,可知其中三个数据分别是6,7,7,这三个数据的和是20.当五个数据的和是20时,另两个数据的和是0,故另两个数据都是0,此时0也是众数,不合题意;当五个数据的和是28时,另两个数据的和是8,故另两个数据有0和8,1和7,2和6,3和5,4和4共5种可能.当其中两个数据是0和8,1和7时,6不是中位数,当另两个数据是2和6, 4和4时,7不是唯一众数,不合题意,当另两个数据是3和5时符合题意;当五个数据的和是30(或31)时,另两个数均不能使五个数据的中位数是6,唯一众数是7这两个条件同时成立,不合题意.6~9.略　第二节　概　率考点【易错自纠】1.　随机抛掷一枚均匀的硬币2次,共有4种等可能的结果:(正,正),(正,反),(反,反),(反,正),其中2次都是正面朝上的结果只有1种,故所求概率为.2.　由题意列表如下: 1231 (1,2)(1,3)2(2,1) (2,3)3(3,1)(3,2)  由上表可知,共有6种等可能的结果,其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种,分别为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),故所求概率为=.3.　根据题意,画树状图如下.由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有10种,故两次摸出的球的编号之和为偶数的概率为,即.真题1.B　与点数3相差2的点数有1和5,故P(与点数3相差2)==.2.略　3.略　4.5.　共有4种等可能的结果,满足要求的结果有3种(如图),故所求概率P=. 6~8.略9.D　对于随机事件,当试验次数足够多时,事件发生的频率越来越接近概率.观察折线统计图可知该事件发生的频率逐渐稳定到0.17,由此可估计该事件发生的概率约为0.17.∵P(出的是“剪刀”)=≈0.33,P(抽一张牌的花色是红桃)==0.25,P(任取一球是黄球)=≈0.67,P(向上的面点数是4)=≈0.17,∴符合结果的试验最有可能是“掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4”.10.B　掷一枚质地均匀的硬币10次,“每2次有1次正面向上”“5次正面向上”“10次正面向上”都可能发生也可能不发生,都是随机事件,故A,C,D不正确.