北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第五章生活中的轴对称3简单的轴对称图形

3  简单的轴对称图形

第1课时 等腰三角形的性质

自主学习 知识梳理 快乐学习

等腰三角形的性质

（）等腰三角形是__________对称图形．

（）等腰三角形__________、__________、__________重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的__________．

（）等腰三角形的两个底角__________．

（）夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索，塔柱底端与点 间的距离是米，则的长是__________米．

【答案】（）轴 

（）顶角的平分线；底边上的中线；底边上的高；对称轴

（）相等

（）

【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础

考点一：等腰三角形的轴对称性、“三线合一”

1．如图，在中，，点是边的中点，点在上，那么下列结论不一定正确的是（    ）．

A．     B．    C．     D．

【答案】D

【解析】

2．如图，在中，，于点，于点，于点，下列结论：①；②上任意一点到，的距离相等；③；④若点在直线上，则．其中正确的是（    ）．

   A．①       B．①②      C．①②③       D．①②③④

【答案】D

【解析】

考点二：等腰三角形的边、角性质

3．（一题多辨）（）若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（    ）．

   A．       B．        C．        D．

（）（胶南市王台中学质检）等腰三角形的一个角是，则它的底角是__________．（数学思想链接：分类讨论思想）

【答案】（）D；（）或

【解析】

4．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（    ）．

A．       B．       C．     D．或

【答案】A

【解析】

5．中，，于点，若的周长为，的周长为，则 __________．（数学思想链接：整体思想）

【答案】

【解析】

6．如图，，，试说明：平分．

【答案】见解析

【解析】解；因为，所以．

因为，所以，，

所以，所以平分．

考点三：等边三角形的性质

7．如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）．

A．       B．        C．        D．

【答案】C

【解析】

8．如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数为（    ）．

   A．       B．        C．        D．

【答案】A

【解析】

9．如图，在等边三角形中，，是上一点，且，绕点旋转后得到，则的长为__________．

【答案】

【解析】

强化训练 综合演练 强化能力

1．（分）如图，中，，，则的度数是（    ）．

   A．       B．        C．        D．

【答案】D

【解析】

2．（分）如图，中，，平分，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ）．

   A．①②③      B．②③④      C．①②④       D．①③④

【答案】D

【解析】

3．（分）（育才中学期末）如图，在中，，平分交于点， 交的延长线于点，若，则的度数为（    ）．

   A．       B．        C．        D．

【答案】A

【解析】

4．（分）（即墨28中期末）如图，中，，，是内一点，且，则的度数等于（    ）．

   A．       B．        C．     D．

【答案】B

【解析】

5．（分）如图，，，则__________．

【答案】

【解析】

6．（分）如图，，点在上，且，，则的度数为__________．

【答案】

【解析】

7．（分）如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则__________．（方法链接：对称法）

【答案】

【解析】

8．（分）（河北）如图，，点在上，且，按下列要求画图：

以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；

再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；

再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；

这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则__________．

【答案】

【解析】

9．（分）如图，已知，，，是的中点．与有什么位置关系？说明理由．

【答案】见解析

【解析】解：．理由：连接，．

在和中，

因为，，，

所以≌．

所以（全等三角形的对应边相等）．

因为是的中点，所以（等腰三角形“三线合一”）．

10．（分）（拓展提升题）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，求该三角形的一个底角．（数学思想链接：分类讨论思想）

【答案】见解析

【解析】解：（）如图①，当腰上的高在三角形的内部时，是腰上的高，

由题意得，所以，

于是底角为．

（）如图②，当腰上的高在三角形的外部时，是腰上的高，

则，因为，

所以．所以三角形的一个底角为或．

第2课时 线段的垂直平分线

自主学习 知识梳理 快乐学习

1．线段的轴对称性

线段是轴对称图形，垂直并且__________线段的直线是它的一条对称轴．

【答案】平分

【解析】

2．线段的垂直平分线

（）定义：__________于一条线段，并且__________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．

（）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__________．

（）利用尺规，作线段的垂直平分线．

已知：线段，如图①，

   求作：的垂直平分线．

   作法：①分别以点__________和__________为圆心，以大于__________的长为半径作弧，两弧相交于点和．

②作__________．直线就是线段的垂直平分线，如图②．因为直线与线段的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

【答案】（）垂直，平分

（）相等

（）①，，；②直线

【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础

考点一：线段的轴对称性及其垂直平分线的定义

1．如图，在中，，．的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论不正确的是（    ）．

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】

2．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（    ）．

   A．      B．平分   C．      D．≌

【答案】C

【解析】

3．如图，已知是线段的垂直平分线，垂足为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）．

   A．个       B．个       C．个       D．个

【答案】D

【解析】

考点二：线段垂直平分线的性质

4．（荆州）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点，若与的周长分别是，，则__________．

【答案】

【解析】

5．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，则 的度数是__________．

【答案】

【解析】

6．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则的周长等于__________．

【答案】

【解析】

7．如图，中，，垂直平分交于点，试说明：．

【答案】见解析

【解析】解：因为垂直平分，

所以．所以．

因为，

所以．

所以．

所以．

所以．

强化训练 综合演练 强化能力

1．（分）（毕节）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ）．

A．三条高的交点      B．三条角平分线的交点

   C．三条中线的交点     D．三条边的垂直平分线的交点

【答案】D

【解析】

2．（分）（滨州）如图，中，为上一点，为上一点，且，，则的度数为（    ）．

   A．       B．       C．     D．

【答案】D

【解析】

3．（分）（德州）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ）．

   A．       B．       C．       D．

【答案】A

【解析】

4．（分）如图，直线外不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：①作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点，在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是（    ）（方法链接：最短路径问题）

A．转化思想        B．三角形的两边之和大于第三边

   C．两点之间，线段最短      D．等腰三角形的两个底角相等

【答案】D

【解析】

5．（分）如图，点在直线上，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交 于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点；③作直线，连接，．若，则的大小为__________度．

【答案】

【解析】

6．（分）（市南区期宋）如图，中，的垂直平分线交于点，若，，，则的周长为__________．

【答案】

【解析】

7．（分）（胶州市期末）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，连接，，已知，请运用所学知识，确定的度数．

【答案】见解析

【解析】解：在中，，所以．

因为是的垂直平分线，所以，所以，

同理可得，

所以．

8．（分）如图，在四边形中，平分，且，．

（）求的度数．

（）若，，求四边形的面积．

【答案】见解析

【解析】解：（）作交于点，则，

因为，所以是的垂直平分线，所以．

因为，所以．

因为平分，所以．

在和中，，，，

所以≌，所以．

（）因为是的垂直平分线，所以．

因为≌，所以．

因为，所以，，

所以．【注意有文字】

9．（分）（拓展提升题）（抚州校级期中）在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．的周长为．

（）求的长．

（）分别连接，，，若的周长为，求的长．

【答案】见解析

【解析】解：（）如图所示，设与交于点，与交于点，

因为，分别是线段，的垂直平分线，

所以，，

所以．

因为的周长为，即，所以．

（）因为边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，

所以．

因为的周长为，即，

所以，

所以，所以．

第3课时 角平分线

自主学习 知识梳理 快乐学习

1．角的轴对称性

角是轴对称图形，__________所在的直线是它的对称轴．

【答案】角平分线

【解析】

2．角平分线的性质

角平分线上的点到这个角的两边的距离__________．

【答案】相等

【解析】

3．利用尺规作一个角的平分线

已知：，如图①．

求作：射线，使．

作法：

（）在和上分别截取，，使__________．

（）分别以，为圆心，以__________的长为半径作弧，两弧在内交于点．

（）作射线__________．就是的平分线，如图②．

【答案】（）

（）大于

（）

【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础

考点一：角平分线的性质

1．如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（    ）．

   A．      B．平分   C．      D．垂直平分

【答案】D

【解析】

2．如图，是的平分线，于点，，，，则的长是（    ）（数学思想链接：转化思想）

   A．       B．       C．       D．

【答案】A

【解析】

3．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ）．

    ①是的平分线；   ②；

    ③点在的垂直平分线上；  ④．

A．       B．       C．       D．

【答案】D

【解析】

4．（一题多辨）（）（胶州市期末）如图①，平分，于点，是射线 上的一个动点，若，则的最小值为（    ）．

   A．       B．       C．       D．

（）（厦门校级模拟）如图②，是的平分线，点到的距离为，点是上的任意一点，则线段的取值范围为（    ）．

   A．      B．     C．      D．

（）如图③，是的平分线，是上的一点，于点，，则点到边的距离为__________．

【答案】（）B

（）C

（）

【解析】

5．（南昌）如图，平分，于点，于点，，则图中有__________对全等三角形．

【答案】

【解析】

6．（青岛39中期末）如图，的三边，，的长分别为，，．其三条角平分线交于点，则__________．

【答案】

【解析】

考点二：角平分线的作法

7．如图，在中，，点在的延长线上．

（）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）

   ①作的平分线．

   ②作边上的中线，并延长交于点．

（）由（）得：与边的位置关系是__________．

【答案】见解析

【解析】解；（）①如图所示，即为所求．②如图所示，即为所求．

（）

强化训练 综合演练 强化能力

l．（分）（即墨28中期末）下列说法正确的是（    ）．

①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；

②角是轴对称图形；

③线段不是轴对称图形；

④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

A．①②③④      B．①②③     C．②③④      D．②④

【答案】D

【解析】

2．（分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（    ）．

A．       B．

C．       D．角平分线上的点到角两边距离相等

【答案】A

【解析】

3．（分）（市南区期末）如图，在中，，平分，于点，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有（    ）．

A．个       B．个       C．个       D．个

【答案】D

【解析】

4．（分）如图，平分，，，，，则 __________．

【答案】

【解析】

5．（分）如图，在中，，，，．那么与相等吗？说明理由．

【答案】见解析

【解析】解：．理由：因为，，

所以．

因为，，所以．

6．（分）如图，是的平分线，于点，于点，，，，求的长．

【答案】见解析

【解析】解：因为平分，，，

所以．

因为，

所以．

7．（分）如图所示，已知中，．

（）作图：在上有一点，连接并延长，并在的延长线上取点，使，连接，作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

（）在（）的条件下，连接，试说明．

【答案】见解析

【解析】解：（）如图所示．

 （）因为，，所以．

因为是的平分线，所以．

在和中，，

所以≌，所以．

8．（分）（拓展提升题）如图所示，李伯伯承包了一块四边形的土地．他让小亮帮他测量一下这块地的面积．先量得的长为米，的长为米，的长为米．当要测量的长度时，小亮说：“不用量了，我已测得恰好平分，公路和互相垂直．有了这些条件，就能求出这块土地的面积了．”小亮说得对吗？你会计算这块土地的面积吗？

【答案】见解析

【解析】解：小亮说的对．过点作于点，连接．

因为正好平分，所以米，

故可得平方米，

平方米，

故可得这块地的面积为平方米．