北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第四章三角形4用尺规作三角形

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4  用尺规作三角形自主学习 知识梳理 快乐学习用尺规作三角形（）用尺规作三角形，其实质可以归结为两个基本作图，即：①作一条线段__________；②__________等于已知角．（）本节学到的用尺规作三角形，包括三种类型：①已知__________作三角形；②已知__________作三角形；③已知__________作三角形．【答案】（）①等于已知线段；②作一个角 （）①三角形的两边及其夹角；②三角形的两角及其夹边；③三角形的三条边【解析】 当堂达标 活学巧练 巩固基础考点一：尺规作图1．尺规作图的画图工具是（    ）．A．刻度尺、圆规      B．三角尺和量角器  C．直尺和量角器      D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D【解析】 2．如图，用尺规作出，作图痕迹是（    ）． A．以点为圆心，长为半径的弧   B．以点为圆心，长为半径的弧   C．以点为圆心，长为半径的弧   D．以点为圆心，长为半径的弧【答案】D【解析】 3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ）．A．，，    B．，，   C．，，    D．，【答案】A【解析】 考点二：用尺规作三角形4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知条件是（    ）．A．三角形的两条边和它们的夹角   B．三角形的三条边   C．三角形的两角和它们的夹边   D．三角形的三个角【答案】A【解析】 5．如图所示，已知一个三角形的两边分别为线段，，并且边上的中线为线段，求作此三角形．（要求：用尺规作图，写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法，要写结论） 【答案】见解析【解析】解：已知；线段，，；求作；，使，，是的中点，且（或求作：，使，，边上的中线）．结论：即为所求． 6．如图，已知线段，和，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？，，．若能，写出作法；若不能，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：能作出两个三角形．如图，所以不能作出唯一的符合要求的三角形．理由：“”不能说明两个三角形全等，所以一般情况下，已知两边和其中一边的对角不能作出唯一的三角形． 7．（黄岛区期末）已知：线段，和．求作：，使，，．  （用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：如图所示． 强化训练 综合演练 强化能力1．（分）如图，小敏做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是（    ）． A．       B．       C．      D．【答案】C【解析】 2．（分）已知线段，，，求作，使，，，作法的合理顺序为__________．（填序号）①分别以点，为圆心，以，的长为半径作弧，两弧交于点；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段．【答案】③①②【解析】 3．（分）（北京校级期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图（图①）：作一个角的平分线， 已知：．   求作：的平分线．  小芸的作法如下：请你跟随小芸的叙述，在图②中完成这个尺规作图．（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．（）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．（）画射线，射线即为所求．   老师说：“小芸的作法正确．”   请回答：小芸的作图依据是__________．【答案】见解析【解析】解：如图所示． 4．（分）如图是数轴的一部分，其单位长度为．已知中，，，．用直尺和圆规作出．（要求：使点，在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法） 【答案】见解析【解析】解：如图所示，即为所求． 5．（分）如图，已知线段和，只用直尺和圆规，求作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析【解析】解：如图所示，即为所示． 6．（分）已知：线段，．求作：，使，．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】解：如图所示，即为所求． 7．（分）（拓展提升题）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（）请你画出一个满足题设条件的三角形．（）你是否还能画出既满足题设条件，又与（）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作图作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．（数学思想链接：分类讨论思想）【答案】见解析【解析】解：示例：（）如图①．（）能．如图②． 5  利用三角形全等测距离自主学习 知识梳理 快乐学习利用三角形全等测距离（）在测量不能直接测量的两点之间的距离时，可以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质“全等三角形的__________”，将其转化为易于测量的线段．构造全等三角形时要满足全等三角形的判定方法：“”“”或“”．（）如图所示，，在一水池的两侧，若，，，则水池宽 __________． 【答案】（）对应角相等（）【解析】 当堂达标 活学巧练 巩固基础考点：利用三角形全等测距离1．要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上（如图所示），可以说明≌，通过全等三角形对应边相等，得出的长，判定≌最恰当的理由是（    ）． A．边角边      B．角边角   C．边边边      D．边边角【答案】B【解析】 2．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，依据是（    ）（数学思想链接：转化思想） A．       B．      C．       D．【答案】A【解析】 3．如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，三点在一条直线上，这时测得__________的长就等于的长．【答案】【解析】 4．教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的，两点间的距离不方便，因此，选点，都能到达的一点，如图②，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使．那么，，两点间的距离就是，两点间的距离．理由：在和中，，所以≌（__________）．所以__________，所以只要测出，两点间的距离  就可知，两点间的距离．【答案】，【解析】 5．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱 与地面垂直，当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度，有何数量关系？为什么？ 【答案】见解析【解析】解：．理由如下：因为是，的中点，所以，．在与中，因为，，，所以≌．所以． 6．（即墨28中期末）如图，，两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量，间距离的方案，并说明其中的道理． （）测量方案：（）理由：【答案】见解析【解析】解：（）测量方案：先在平地上取一个可直接到达，的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长．（）理由：在和中，因为，所以≌，所以（全等三角形的对应边相等），所以的距离即为的长． 强化训练 综合演练 强化能力1．（分）小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中框架的质量为克，的质量为克，则整个金属框架的质量为（    ）． A．克      B．克     C．克      D．克【答案】D【解析】 2．（分）（胶州市期末变式）如图，，表示两根长度相等的铁条，若为，的中点，经测量，则容器内径为（    ）．（数学思想链接：转化思想）    A．     B．     C．     D．【答案】D【解析】 3．（分）如图所示，，，，是四个村庄，，，在一条东西走向公路的沿线上， 千米，千米，村庄，与，间也有公路相连且千米，只有，之间由于间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路，现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得千米，千米，那么建造的斜拉桥至少有__________千米．【答案】【解析】 4．（分）（临沭县期中）如图，课间小明拿着老师的等腰三角尺玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为__________．【答案】【解析】 5．（分）如图，在新建的小区中，有一条“”字形绿色长廓，其中，在，，三段绿色长廊上各修一凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．要想知道与的距离，只需要测出线段__________的长度．理由是：可以说明__________，从而由全等三角形的对应边相等得出__________．【答案】，≌，【解析】 6．（分）（宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，，垂足为，已知米，请根据上述信息求标语的长度．【答案】见解析【解析】解：因为，所以．因为，所以，所以，即．因为相邻两平行线间的距离相等，所以．在与中，因为，所以≌，所以米． 7．（分）（拓展提升题）（一题多解）已知，两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，请你给出一个合适可行的方案，画出设计图，说明依据．【答案】见解析【解析】解：方案一：找能到达，两点的一点，连接并延长到点，使；连接并延长到点，使，连接并测量出它的长度，的长就是的长（如图①）．方案二：找两点，，使且，量出的长，即得的长[如图②，由≌得到]．方案三：找一点，使，延长至点，使，连接．量得的长即得的长（如图③）． 尖子生成长计划5  全等三角形中常见的辅助线一、翻折法1．如图，在中，是的平分线，，垂足为．试说明：． 【答案】见解析【解析】解：如图，延长交于点（相当于将边向下翻折，与边重合，点落在点处，折痕为）．因为平分，所以．因为，所以．在和中，因为，所以≌．所以．又因为，所以． 二、构造法2．如图，在直角三角形中，，，，点为的中点，于点，其延长线交于点，连接．试说明：．【答案】见解析【解析】解：如图，过点作交的延长线于点．因为，所以．因为，所以，所以．所以．在和中，因为，所以≌．所以，．因为点为的中点，所以，所以．又因为，，所以．所以．在和中，因为，所以≌．所以．所以． 三、旋转法3．如图，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数．【答案】见解析【解析】解：如图，延长至点，使得．因为，，所以．在和中，因为，所以≌．所以，．所以，即．因为，所以，即．在和中，因为，所以≌．所以．所以． 四、中线倍长法4．如图，在中，为的中点． （）试说明：．（）若，，求的取值范围．【答案】见解析【解析】解；（）延长至点，使，连接．因为为的中点，所以．又因为，，所以≌，所以，因为，所以．（）因为，所以．因为，，所以．所以． 五、截长补短法5．（一题多解）如图，在中，，，为上任意一点，试说明：． 【答案】见解析【解析】解：方法一（截长法）：如图①，在上截取，连接．在和中，因为，所以≌，所以．因为在中，，所以，所以．方法二（补短法）：如图②，延长至点，使，连接．在和中，因为，所以≌．所以．因为在中，，所以．