北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第四章三角形1认识三角形

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第四章 三角形
1 认识三角形
第1课时 三角形的概念与内角和
自主学习 知识梳理 快乐学习
1．三角形的概念和表示方法
（）由__________的三条线段首尾__________所组成的图形叫做三角形．
（）三角形有__________条边、__________个内角和__________个顶点．“三角形”可以用符号“△”表 示，顶点是，，的三角形，记作__________．
【答案】（）不在同一直线上；顺次相接
（）三，三，三；
【解析】

2．三角形的内角和
三角形三个内角的和等于__________．
【答案】
【解析】

3．三角形按角分类
按三角形内角的大小把三角形分为三类：__________三角形、__________三角形、__________三角形．
【答案】锐角，直角，钝角
【解析】

4．直角三角形的表示方法及性质
（）我们用符号“__________”表示“直角三角形”，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为__________．
（）直角三角形的两个锐角__________．
【答案】（）；直角边
（）互余
【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础
考点一：三角形及有关概念
1．下列是小强用三根火柴棒组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

2．如图，以为公共边的三角形是__________；是__________的内角；在中，边所对的角是__________，所对的边是__________；以为公共角的三角形有__________．

【答案】与，，，，，，
【解析】

考点二：三角形的内角和
3．（2015•佛山）如图，在中，点，，分别是三条边上的点，，，，，则等于（ ）（数学思想链接：转化思想）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

4．已知，在中，是的倍，比大，则等于（ ）（数学思想链接：方程思想）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

5．如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则的大小是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

考点三：三角形按内角的大小分类
6．在中，，，则的形状是（ ）．
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】

7．适合条件的是（ ）（数学思想链接：方程思想）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形
【答案】C
【解析】

考点四：直角三角形两锐角互余
8．（2015•荆门）如图，，直线分别交，于点，，，交直线于点，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

9．（2015•襄阳）如图，将一块含有角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果，那么的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

强化训练 综合演练 强化能力
1．（分）（2016•龙岩模拟）在中，，点，分别是边，的中点，点在 内，连接，，．以下图形符合上述描述的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】

2．（分）拿一块纸板遮住三角形的两个角，则被遮住的两个角不可能是（ ）．
A．一个锐角，一个钝角 B．两个锐角
C．一个锐角，一个直角 D．两个钝角
【答案】D
【解析】

3．（分）（2016•武侯区期末）适合条件的是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】

4．（分）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则（ ）（数学思想链接：转化思想）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

5．（分）在中，，则__________，__________，__________，这个三角形按角分类时，属于__________三角形．
【答案】，，，直角
【解析】

6．（分）（2016•大庆）如图，在中，，点是和平分线的交点，则 __________．

【答案】
【解析】

7．（分）将一副直角三角尺如图所示放置，使含角的三角尺的一条直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数为__________．

【答案】
【解析】

8．（分）如图，在中，边不动，点竖直向上运动，越来越小，，越来越大．若减小度，增加度，增加度，则，，之间的等量关系是__________．

【答案】
【解析】

9．（分）如图所示，试求的度数．

【答案】见解析
【解析】解：连接，在和中，
①，
②，
①+②，得，
又因为，，
故．

10．（分）（拓展提升题）将一块直角三角尺放置在锐角上，使得该三角尺的两条直角边，恰好分别经过点，．

（）如图①，若，点在内，则__________度； __________度；__________度．
（）如图②，改变直角三角尺的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（）如图③，改变直角三角尺的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出，，三者之间存在的数量关系．
【答案】见解析
【解析】解：（），，；
（）与之间的数量关系为：．
验证如下：在中，．
在中，，
所以．
所以．
（）．

第2课时 三角形三边之间的关系
自主学习 知识梳理 快乐学习
1．等腰三角形的相关概念
（）等腰三角形：有__________相等的三角形叫做等腰三角形．
（）等边三角形：__________都相等的三角形是等边三角形．
（）等腰三角形各部分的名称：
①相等的两条边称为__________，第三边称为__________．
②两腰的夹角称为__________，另两个角（腰与底边的夹角）称为__________．
【答案】（）两边
（）三边
（）①腰，底边；②顶角，底角
【解析】

2．三角形按边长关系分类


3．三角形三边之间的关系
（）三角形任意两边之和__________第三边．
（）三角形任意两边之差__________第三边．
【答案】（）大于
（）小于
【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础
考点一：三角形三边之间的关系
1．现有两根木棒，它们的长度分别是和，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）．
A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒
【答案】B
【解析】

2．（2016•市南区期末）以下列长度的各组线段为边能组成一个三角形的是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】

3．若三角形的两边长分别为和，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

考点二：三角形三边关系的应用
4．用一根长为的铁丝围成一个三角形，其三边长（单位：）分别为整数，，，且，请写出一组符合上述条件的，，的值：__________．
【答案】，，（答案不唯一）
【解析】

5．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因：__________．

【答案】三角形任意两边之和大于第三边
【解析】

6．已知不等边三角形最长边为，最短边为，且第三边长是偶数，则第三边长为__________．
【答案】
【解析】

7．一个等腰三角形其中两边长为和，则这个等腰三角形的周长为__________．（数学思想链接：分类讨论思想）
【答案】
【解析】

8．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒，如果要求第三根木棒的长度是整数，第三根木棒的长度可以是多少？
【答案】见解析
【解析】解；设第三根木棒的长是．根据三角形的三边关系，则．
因为是整数，所以第三根木棒的长度可以是，，，，，，，，．

强化训练 综合演练 强化能力
1．（分）（2015•黄岛区期末）有下列长度的三条线段，能组成三角形的一组是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】

2．（分）如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

3．（分）用根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

4．（分）如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两个螺丝的距离依次为，，，，且相邻两根木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间距离的最大值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

5．（分）现有四条线段分别长，，，，用其中三条线段组成三角形，可组成__________个．
【答案】
【解析】

6．（分）《2016•丹棱县模拟）边长为整数并且 最大边长是的三角形共有__________个．
【答案】
【解析】

7．（分）一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】

8．（分）小明、小芳和小兵三位同学同时测量的三边长．小明说：“三角形的周长是．”小芳说：“有一条边长为．”小兵说：“三条边的长度是三个不同的整数．”请你回答，三边的长度应该是__________．
【答案】，，
【解析】

9．（分）若，，分别为三边的长，化简：．（数学思想链接：数形结合思想）
【答案】见解析
【解析】因为，，为三边的长，所以，，，
所以原式

．

10．（分）如图，为内一点，试说明：．

【答案】见解析
【解析】如图所示，延长与相交于点．
因为，，
所以，
所以．


11．（分）（拓展提升题）一个等腰三角形的周长为．
（）已知腰长是底边长的倍，求各边长．
（）已知其中一边长为，求另两边长．（数学思想链接：方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：（）设底边长为，则腰长为，由题意得
，解得．
所以三边长分别是，，．
（）因为长为的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算．
第一种情况：长的边为底，设腰长为，
由已知条件有，，三边长为，，，可构成三角形；
第二种情况：长的边为腰，则底为．
因为，所以不能构成三角形，所以另两边长分别是，．

第3课时 三角形中的三线
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三角形的“三线’’
（）定义：在三角形中，连接一个顶点与它__________的线段，叫做这个三角形的中线；在三角形中，一个内角的__________与它的__________相交，这个角的__________与__________之间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向它的__________所在直线作垂线，__________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
（）性质：三角形的三条角平分线__________．三角形的三条高所在的直线__________，三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的__________．
【答案】（）对边中点，角平分线，对边，顶点，交点，对边，顶点和垂足
（）交于一点，交于一点，重心
【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础
考点一：三角形的角平分线
1．直角三角形的三条角平分线的交点在（ ）．
A．三角形外 B．三角形内 C．直角顶点处 D．斜边上
【答案】B
【解析】

2．下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确的说法有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】

3．如图，，，下列结论中错误的是（ ）．

A．是的角平分线 B．是的角平分线
C． D．是的角平分线
【答案】D
【解析】

考点二：三角形的中线
4．若是的中线，则下列结论中错误的是（ ）．
A．平分 B． C．平分 D．
【答案】A
【解析】

5．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）．
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【解析】

6．如图，是的中线，已知的周长比的周长大，则与的差为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

7．如图，是的平分线，，，求的度数．

【答案】见解析
【解析】因为，所以，．
因为平分，
所以，所以．

考点三：三角形的高
8．（2016•普宁市期末）下面四个图形中，线段是的高的图是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】

9．三条高相交于三角形的外部，则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】

强化训练 综合演练 强化能力
1．（分）一个三角形的三条中线的位置（ ）．
A．都在三角形外 B．都在三角形内
C．可能在三角形内，也可能在三角形外 D．可能和三角形的一边重合
【答案】B
【解析】

2．（分）如图，于点，于点，于点，下列关于高的说法中错误的是（ ）．

A．中，是边上的高 B．中，是边上的高
C．中，是边上的高 D．中，是边上的高
【答案】C
【解析】

3．（分）（2016•丹阳市校级期中）如图，于点，那么图中以为高的三角形有__________个．

【答案】
【解析】

4．（分）如图，为的角平分线，交于点，若，则 __________．

【答案】
【解析】

5．（分）（2015•胶州市期末）如图，中，平分，是边上的高，若，，则的度数等于__________．

【答案】
【解析】

6．（分）如图，是的中线，，，则和的周长差是__________．（数学思想链接：整体思想）

【答案】
【解析】

7．（分）如图所示，中，，的平分线交于点，且，求的度数．

【答案】见解析
【解析】解：因为，所以，
因为，分别平分，，
所以，
所以．

8．（分）（2015•宜春校级期中）在中，，边上的中线把的周长分为和两部分，求三边的长．（数学思想链接；方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：如图，设，，
则有且或且，
得到，或，，
这时三角形的三边长分别为，，或，，，它们都能构成三角形．


9．（分）（拓展提升题）如图，在中，，，平分，于点，于点，求的度数．（数学思想链接：转化思想）

【答案】见解析
【解析】解：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
因为于点，
所以，
所以，
所以．
因为于点，
所以，
所以．

尖子生成长计划4 三角形的三种重要线段
一、三角形的高
（一）找三角形的高
1．如图，于点，于点，与交于点，的边上的高为__________，边上的高为__________．

【答案】；
【解析】

（二）作三角形的高
2．（动手操作）画出图中的三条高．（要标明字母，不写画法）

【答案】见解析
【解析】解：如图所示．


（三）应用三角形的高（面积法）
3．如图，在中，，，若边上的高．

（）试求的面积及边上的高的长．
（）试求的值．
【答案】见解析
【解析】解：（）．
，
所以．
（）．

4．如图，在中，，，，，垂足分别为，，．
试说明：．

【答案】见解析
【解析】解：连接，因为，
所以．
又因为，
所以，即．

二、三角形的中线
（一）利用中线求长度
5．如图，是的中线，已知，，则的长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

6．如图，已知，为的中线，，的周长为，则的周长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

7．在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的三边长．（数学思想娃接：方程思想）
【答案】见解析
【解析】解：设，则，．
依题意，有或，则有或，
解得或．
当时，三边长分别为，，；
当时，三边长分别为，，，
而，故不成立．
所以这个等腰三角形的三边长分别为，，．

（二）利用中线求面积
8．如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

9．（2015•黄岛区期末变式）操作与探索：
在图①～③中，的面积为．

（）如图①，延长的边到点，使，连接，若的面积为，则 __________．（用含的代数式表示）
（）如图②，延长的边到点，延长边到点，使，，连接，若的面积为，则__________（用含的代数式表示）．请说明理由．
（）在图②的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图③），若阴影部分的面积为，则__________．（用含的代数式表示）
【答案】（）
（）
（）
【解析】（）理由：连接，因为，所以．

三、三角形的角平分线
（一）三角形角平分线定义的直接应用
10．（）如图，在中，，，是边上的三点，且，以为角平分线的三角形有__________．
（）如图，若已知平分，且，计算的度数，并说明是的角平分线．

【答案】见解析
【解析】解：（）和；
（）因为平分，
所以．
又因为，
所以．
所以，即．
又因为，所以．
所以．
所以是的角平分线．

（二）三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在中，是高，是的平分线，，，求的度数．

【答案】见解析
【解析】解：在中，，，
所以．
又因为是的平分线，
所以．
在中，，
又因为是高，所以．
所以．

（三）求三角形两内角平分线交角的度数
12．如图，在中，，为角平分线且交于点．

（）当时，求的度数．
（）当时，求的度数．
（）当时，求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为，所以，
因为，为角平分线，所以．
所以．
（）因为，所以，
因为，为角平分线，所以，
所以．
（）因为，所以，
因为，为角平分线，所以，
所以．