北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第六章概率初步3等可能事件的概率

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3 等可能事件的概率
第1课时 概率公式
自主学习 知识梳理快乐学习
等可能事件
（）设一个试验的所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现．如果每种结果出现的可能性__________，那么我们就称这个试验的结果是等可能的，这个试验的每一个结果就是一个等可能事件．
（）一般地，如果一个试验有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为：__________．
（）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题个，数学题个，综合题个，她从中随机抽取个，抽中数学题的概率是__________．
【答案】（）相同 （） （）
【解析】

当堂达标 活学巧练巩固基础
考点一：概率的计算公式
1．（深圳）数学老师将全班分成个小组开展小组合作学习，采用随机抽签的方式确定一个小组进行展示活动，则第个小组被抽到的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

2．鞋柜里有双鞋，从中摸出一只，则取出的是右脚穿的鞋的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

3．（龙岩）在英文单词“parallel”（平行）中任意选择一个字母是“a”的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

4．（张家界）在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加米预赛，赛场共设，，， 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若小明首先抽签，则小明抽到号跑道的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

5．（市北区二模）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共页，其中语文页、数学页、英语页，他随机地从讲义夹中抽出页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

6．（教材P149议一议（1）变式）（温州）一个不透明的袋中，装有个黄球、个红球和个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

考点二：利用概率公式确定小球的个数
7．（葫芦岛）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球个，黄球个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（ ）（数学思想链接：方程思想）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

8．（沈阳）在一个不透明的袋中装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有__________个．
【答案】
【解析】

9．（甘孜州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中红球个，黑球个，若再放入个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则的值为__________．
【答案】
【解析】

强化训练 综合演练强化能力
1．（分）（河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数相差的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

2．（分）（宁波）一个不透明布袋里装有个白球、个黑球、个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

3．（分）（贵港）从，，，，这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

4．（分）（广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是～这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

5．（分）（内蒙古）某校举行“中国梦·我的梦”演讲比赛，需要在初三年级选取一名主持人，共有名同学报名参加，其中初三（）班有名，初三（）班有名，初三（）班有名，现从这名同学中随机选取一名主持人，则选中的这名同学恰好是初三（）班同学的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

6．（分）如图，有张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为奇数的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

7．（分）（育才中学期末）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

8．（分）小刚掷一枚硬币，结果是一连次都掷出正面朝上，则他在第次掷硬币时，出现正面朝上的概率为__________．
【答案】
【解析】

9．（分）（威海中考变式）甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的倍；乙袋中，红球个数是白球个数的倍．将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，求摸出红球的概率是多少．
【答案】
【解析】解：因为甲袋中，红球个数是白球个数的倍，
所以设白球有个，则红球有个，
所以两种球共有个．
因为乙袋中，红球个数是白球个数的倍，且两袋中球的数量相同，
所以红球有个，白球有个，
所以混合后摸出红球的概率为．

10．（分）（拓展提升题）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数比白球个数的倍少个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．
（）求袋中红球的个数．
（）求从袋中摸出一个球是白球的概率．
（）取走个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
【答案】见解析
【解析】解：（）（个），所以红球有个．
（）设白球有个，则黄球有个，
根据题意得，解得，
所以摸出一个球是白球的概率．
（）从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．

第2课时 游戏的公平性
自主学习 知识梳理快乐学习
游戏公平
（）游戏对双方公平是指双方获胜的可能性__________，即游戏双方获胜的概率__________，则游戏公平；否则，游戏不公平．
（）小龙和小光一起做游戏：在一个不透明的袋子中放有个红球和个蓝球（这些球除颜色外均相同），从袋子中随机摸出一个球，摸到红球小龙获胜，摸到蓝球小光获胜．这个游戏对双方公平吗？__________．（填“公平”或“不公平”）
【答案】（）相同 相等 （）不公平
【解析】

当堂达标 活学巧练巩固基础
考点：游戏的公平性
1．甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）．
A．在一个装有个红球和个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜
B．从标有号数到的张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于则甲获胜，掷出的点数大于则乙获胜
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜

【答案】B
【解析】

2．小明和小白做游戏，先是各自背着对方在手心写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两人所写的数字之和是偶数，则小明获胜；若和是奇数，则小白获胜，那么对于这个游戏，下列说法正确的是（ ）．
A．游戏对小明有利 B．游戏对小白有利
C．这是一个公平游戏 D．不能判断对谁有利
【答案】C
【解析】

3．有一个质地均匀且六个面上分别写有至的正六面体，掷一次，向上一面的数为的倍数，小明提水；向上一面的数为的倍数，小华提水，则这个标准__________．（填“公平”或“不公平”）
【答案】公平
【解析】

4．有一盒子中装有个白色乒乓球，个黄色乒乓球，个红色乒乓球，个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（）你认为李明同学摸出的球，最有可能的颜色是__________．
（）请你计算摸到每种颜色球的概率．
（）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】解：（）白色
（）摸出一个球总共有种可能，且它们的可能性相等．（摸到白球），（摸到黄球），（摸到红球）．
（）公平，因为（摸到白球），（摸到其他球），所以公平．

5．（胶南市王台中学质检）在班上组织的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，如图所示，游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；反之，则小芳去．你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改转盘中的数字，使这个游戏变得公平．

【答案】见解析
【解析】解：这个游戏不公平，因为偶数有个，奇数有个，摸到奇数的概率是，摸到偶数的概率是，，
所以小芳去的可能性大．转盘中的数字可这样修改，将其中的一个改成，使奇数、偶数各占一半．（答案不唯一）

强化训练 综合演练强化能力
1．（分）暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ）．
A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B．掷一枚骰子，大于哥哥赢，小于妹妹赢
C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D．在不透明的袋子中装有黑红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
【答案】B
【解析】

2．（分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项．
颜色
数量/个
奖项
红色

一等奖
黄色

二等奖
蓝色

三等奖
白色

四等奖
为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

3．（分）甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字，，，，，，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比大，则甲胜；若朝上的数字比小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？答：__________．
【答案】不公平
【解析】

4．（分）甲、乙两人用张红桃扑克牌和张黑桃扑克牌做游戏，规则是：甲、乙各抽取一张，若两张为同一花色，则甲胜；若两张花色不同，则乙胜，请问：这个游戏是否公平？
答：__________．
【答案】不公平
【解析】

5．（分）晓刚用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面朝上则甲胜，如果盖面朝下则乙胜，你认为这个游戏__________；如果以硬币代替瓶盖，同样做上述游戏，你认为这个游戏__________．（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平 公平
【解析】

6．（分）小丽和小红做游戏，准备了三张纸片，其中两张纸片上各画一个半径相同的半圆，另一张纸上画上一个正方形，将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随意抽出两张纸片，游戏的规则：若拼成一个圆，则小丽赢；若拼成一个蘑菇形，则小红赢．你认为这个游戏是公平的吗？请玩一玩这个游戏，并说明你的观点．

【答案】不公平
【解析】解：这个游戏不公平，小红获胜的可能性大，所有可能的结果有三种情况，小丽获胜的可能性为，小红获胜的可能性为，所以这个游戏不公平．

7．（分）（拓展提升题）口袋中有个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球甲获胜，若为黑球则乙获胜，则当的值为多少时，游戏对甲、乙双方公平？
【答案】见解析
【解析】解：根据题意得，
即，
解得．
所以当时，游戏对甲、乙双方公平．

第3课时 几何概率（1）
自主学习 知识梳理快乐学习
几何概率
（）概念：利用图形__________之间的关系求不确定事件的概率，称为几何概率．
（）计算方法：事件发生的概率等于事件发生的可能结果所组成的图形的面积（用表示）除以所有可能结果组成的图形的面积（用表示），即（事件），因此，几何概率公式可表示为__________．
【答案】（）面积 （）【注意有文字】
【解析】

当堂达标 活学巧练巩固基础
考点一：与面积有关的几何概率
1．（胶南市王台中学质检）假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终没有停在黑色方砖上的概率为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

2．在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

3．（教材P157复习题7变式）（新疆）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是__________．

【答案】
【解析】

4．（葫芦岛）如图，一只蚂蚁在正方形区域内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为__________．（方法链接：构造法）

【答案】
【解析】

考点二：等分的转盘问题
5．如图所示是两个可以自由转动的转盘，转盘被分成若干个相等扇形，转动转盘，转盘停止后，指针指向红色区域的概率分别是（ ）．

A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】

6．如图，一个正六边形转盘被分成个全等的正三角形，任意旋转这个转盘次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

7．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成个大小相同的扇形，在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】

8．（苏州）如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向大于的数的概率为__________．

【答案】
【解析】

强化训练 综合演练强化能力
1．（分）（育才中学期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

2．（分）如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

3．（分）（南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为，关于，大小的正确判断是（ ）．

A． B． C． D．不能判断
【答案】B
【解析】

4．（分）如图，正方形是一块绿化带，，，，分别是，， ，的中点，阴影部分，都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

5．（分）（市南区期末）小明把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

6．（分）（一题多辨）（）如图①，一圆盘上画有三个同心圆，由里向外半径依次是，， ，将圆盘分成三部分，飞镖可落在任何一部分内，则飞镖落在最里面的概率是（ ）．
A． B． C． D．
（）（本溪）如图②，小华把同心圆纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），已知大圆半径为，小圆半径为，则飞镖击中阴影区域的概率是__________．（数学思想链接：转化思想）

【答案】（）B （）
【解析】

7．（分）（盐城）如图，转盘中个小扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为__________．

【答案】
【解析】

8．（分）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为__________．

【答案】
【解析】

9．（分）（拓展提升题）（大庆）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费元．

（）若他选择转动转盘，则他能得到优惠的概率为多少？
（）选择转动转盘和转盘，哪种方式对于小张更合算？请通过计算加以说明．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为整个圆被分成了个扇形，其中有个扇形能享受折扣，
所以（得到优惠）．
（）转盘能获得的优惠为（元），
转盘能获得的优惠为（元），
所以选择转动转盘更合算．

第4课时 几何概率（2）
自主学习 知识梳理快乐学习
（）指针指向转盘某区域的概率等于该区域的__________与整个转盘的面积的比．
（）小明六一去公园玩投掷飞镖的游戏，投中图①中阴影部分有奖品（飞镖盘被平均分成份），小明一次投镖能获得奖品的概率是__________．
（）如图②是圆形飞镖转盘，任意掷一飞镖，飞镖最可能落的区域是__________区域．

【答案】（）面积 （） （）红色
【解析】

当堂达标 活学巧练巩固基础
考点一：与“长度”有关的几何概率
1．（一题多辨）（）（内江）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ）．
A． B． C． D．
（）（巴彦淖尔）小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】（）A （）D
【解析】

2．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为上午至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

3．如图，数轴上有两点，，在线段上任意取一点，则点到表示的点距离不大于的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

考点二：与角度有关的几何概率
4．（金华）如图的四个转盘中，，转盘分成等份，若让转盘自由转动一次，停正后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

5．一个转盘的颜色如图所示，其中，，则转动转盘时，指针落在红色区域的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

6．某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费元（含元）以上，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准折、折、折区域，顾客就可以获得相应的优惠．

（）某顾客正好消费元，是否可以获得相应的优惠？
（）某顾客正好消费元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？
【答案】见解析
【解析】解：（）根据规定消费元（含元）以上才能获得一次转转盘的机会，
而元小于元，故不能获得转转盘的机会．
（）某顾客正好消费元，超过元，可以获得转转盘的机会．
若获得折优惠，则概率（折）；
若获得折优惠，则概率（折）；
若获得折优惠，则概率（折）．

考点三：按要求设计转盘
7．（教材P155随堂练习2变式）请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，指针停在白色和红色区域上的概率分别为，．

【答案】略
【解析】

强化训练 综合演练强化能力
1．（分）如图所示为一水平放置的转盘，使劲转动其指针，并让它自由停下，下面叙述正确的是（ ）．

A．停在区比停在区的机会大 B．停在三个区的机会一样大
C．停在哪个区与转盘半径大小有关 D．停在哪个区是可以随心所欲的
【答案】A
【解析】

2．（分）某火车站的显示屏每间隔分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续分钟，某人到达该车站时，显示屏正好显示火车班次信息的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

3．（分）如图是某市月日至日的空气质量指数折线图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市旅游，到达的当天作为第一天连续停留天．则此人在该市停留期间恰好有两天空气质量优良的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

4．（分）（黄岛区期末）如图，转动的转盘停止转动后，指针指向黑色区域的概率是__________．

【答案】
【解析】

5．（分）（杭州）已知一包糖果共有种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是__________．

【答案】
【解析】

6．（分）如图，把一个转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆平分成份，并分别标，，，，，另一个半圆标上，则任意转动转盘，当转盘停止时指针指向偶数的概率为__________．

【答案】
【解析】

7．（分）如图，将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域．在四个区域内涂上红、蓝两种颜色．转动指针，则指针指向哪种颜色的区域概率大？答：__________．（填“红 色”“蓝色”或“一样大”）

【答案】一样大
【解析】

8．（分）如图是一个可以自由转动的转盘，其中阴影部分是圆心角为和的两个扇形，任意转动一次转盘，当转盘停止后，指针指向阴影部分的概率为__________．

【答案】
【解析】

9．（分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成了个扇形，其中标有数字的扇形其圆心角（即）为；标有数字，及的扇形其圆心角（即， ，）为；标有数字，的扇形其圆心角（即，）为．甲、乙两人利用这个转盘做下列游戏：自由转动转盘，指针指向奇数则甲获胜，而指针指向偶数则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？

【答案】公平
【解析】解：此游戏对甲、乙双方是公平的．
因为奇数所占度数为，
偶数所占度数为．
各占，所以公平．

10．（分）（拓展提升题）如图是一个涂有红、黄两种颜色的旋转转盘，有几个同学做转盘试验，他们将试验中获得的数据填入下面的统计表中．

（）请将统计表补充完整．
转动次数








落在红色的次数








落在红色的频率








（）请你估计：当很大时，频率将会接近__________（百分号前保留整数）．
（）请你估计黄色区域所对圆心角的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）
（）
（）由题意，得黄色区域所对圆心角的度数约为．