第8章《二元一次方程组》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（人教版）

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知识点01：二元一次方程的概念
每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是相等的整式方程叫做二元一次方程．
【提示】①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数．
②“含未知数的项的次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，如3xy的次数是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程．
③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程-y=1的左边不是整式，所以它不是二元一次方程．
知识点02：二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【拓展】（1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以
求出另一个未知数的值．
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解．
知识点03：二元一次方程组
由公共解二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
【提示】①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组．
②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立．
③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程．
④二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成．
知识点04：二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（1）二元一次方程组的解，是方程组中每个方程的解.
（2）二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解，或无解，
如，有无数多个解，无解．
知识点05：代入消元法解二元一次方程组
（1）消元思想的概念
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：
①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．
③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
知识点06：加减消元法解二元一次方程组
（1）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．
②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
知识点07：整体消元法解二元一次方程组
根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．
知识点08：列二元一次方程组解应用题的一般步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
②设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
③找：找出应用题中的相等关系；
④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；
⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值；
⑥答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．
【温馨提示】①列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的几个相等关系，正确地列出方程组．
②设未知数时可直接设未知数，也可间接设未知数．
③一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
④“审”和“找”两步可在草稿纸上进行，书面上主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤．
⑤要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去．
⑥“设”“答”两步都要写清单位名称．
⑦在列方程组时，要注意等号左、右两边单位的统一．
知识点09：列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式
（1）和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量．
（2）产品配套问题：加工总量成比例．
（3）速度问题：路程=速度×时间
（4）航速问题
①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速；
②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度-水（风）速．
（5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（6）增长率问题
原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量．
（7）浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量．
（8）银行利率问题
免税利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数-本金×利率×期数×税率．
（9）利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100%．
（10）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量．
（11）数字问题
解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示．
（12）几何问题
解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式．
（13）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征．
知识点10：三元一次方程组的概念
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
知识点11：三元一次方程组的解法
（Ⅰ）用代入消元法解三元一次方程组的步骤：
①利用代人法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求三元一次方程组的解．
（Ⅱ）用加减消元法解三元一次方程组的步骤：
①利用加减法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求的三元一次方程组的解．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•增城区期末）已知非负数x、y、z满足＝＝，设ω＝3x+4y+5z，则ω的最大值和最小值的和为（ ）
A．54B．56C．35D．46
【易错点拨】先消元，将ω用一个字母表示，再求最值．
【规范解答】解：设＝＝＝t，则：x＝2t+1，y＝2﹣3t，z＝4t+3，
∵x，y，z都是非负数，
∴2t+1≥0，2﹣3t≥0，4t+3≥0，
∴﹣≤t≤．
∴ω＝3x+4y+5y＝3（2t+1）+4（2﹣3t）+5（4t+3）
＝14t+26，
∵14＞0，
∴ω随t的增大而增大．
∴当t＝﹣时，ω最小＝﹣7+26＝19，
当t＝时，ω最大＝14×+26＝35．
∴ω的最大值与最小值之和为：19+35＝54．
故选：A．
【题后反思】本题考查方程组的解，消元之后转化为一次函数是求解本题的关键．
2．（2分）（2021春•饶平县校级期末）若关于x，y的方程组有非负整数解，则正整数m为（ ）
A．0，1B．1，3，7C．0，1，3D．1，3
【易错点拨】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式求解得到m的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可．
【规范解答】解：，
①+②得，（m+1）x＝8，
解得x＝，
把x＝代入①得，﹣y＝2，
解得y＝，
∵方程组的解是非负整数，
∴，
解不等式①得，m＞﹣1，
解不等式②得，m≤3，
所以，﹣1＜m≤3，
∵x、y是整数，
∴m+1是8的因数，
∴正整数m是1、3．
故选：D．
【题后反思】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出m的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件．
3．（2分）（2022秋•沈河区校级期末）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【易错点拨】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【规范解答】解：根据题意可得：
，
故选：A．
【题后反思】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2分）（2019秋•龙岗区校级期末）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（ ）
A．6B．9C．12D．18
【易错点拨】分别设设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可得方程1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，整理得：x﹣y＝6，所以开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），即可解答．
【规范解答】解：设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，
∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，
∴1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，
整理得：x﹣y＝6，
开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），
∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028﹣1010＝18（人），
故选：D．
【题后反思】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程．
5．（2分）（2022秋•禅城区校级期末）一个学习小组共有x个学生，分为y个小组．若每组5人，则余下3人；若每组6人，则有一组少3人，则可得方程组（ ）
A．B．
C．D．
【易错点拨】找到题中的等量关系，每组5人×组数+3＝总人数；每组6人×组数﹣3＝总人数，据此列方程组即可．
【规范解答】解：由题意得：，
整理可得，
故选：D．
【题后反思】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找到等量关系是解题关键．
6．（2分）（2022秋•青岛期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【易错点拨】将代入二元一次方程组即可解答．
【规范解答】解：将代入二元一次方程组，
得，
解得，
所以a+b＝1﹣2＝﹣1，
故选A．
【题后反思】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键．
7．（2分）（2022春•南关区期末）已知．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
【易错点拨】由题意可以断定是一次函数，又因为当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．根据一次函数图象的增减性可以知道直线与x轴的交点在（1.5，0）、（1.8，0）之间，从而得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间．
【规范解答】解：由题意可以断定是一次函数，
∵当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0；
∴y＝0时，x的取值范围是1.5＜x＜1.8；
故选：B．
【题后反思】本题考查了一次函数图象的增减性，关键要掌握函数增减性以及函数图象与x轴的交点关系．
8．（2分）（2021春•奉化区校级期末）商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（ ）
A．50元/千克B．60元/千克C．70元/千克D．80元/千克
【易错点拨】设A种糖的单价为x元/千克，则B种糖的单价为（x+40）元/千克，“什锦糖”甲的单价为（x+x+40）元/千克，“什锦糖”乙的单价为2÷（+）元/千克，根据题意列出方程即可求解．
【规范解答】解：设A种糖的单价为x元/千克，则B种糖的单价为（x+40）元/千克，
“什锦糖”甲的单价为（x+x+40）元/千克，
“什锦糖”乙的单价为2÷（+）元/千克，
根据题意，得
（x+x+40）﹣2÷（+）＝5，
解得x＝60，
经检验x＝60是分式方程的解，也符合题意，
所以A种糖的单价为60元/千克．
故选：B．
【题后反思】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
9．（2分）（2022春•朝天区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【易错点拨】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，
①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，
②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，
③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，
④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
【规范解答】解：关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正确的，
故选：D．
【题后反思】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
10．（2分）（2021春•奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【易错点拨】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a+1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【规范解答】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边，
左边＝3，右边＝3，
当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②解原方程组，得
∴x+y＝3，
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有，，，．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故选：D．
【题后反思】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•丹凤县期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则2m﹣n＝ 5 ．
【易错点拨】根据题目的特点可以利用两方程相加和相减得到只含有字母m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，再代入代数式求值即可．
【规范解答】解：，
，
①+②得：2x＝n﹣1，
③+④得：2x＝m+2，
①﹣②得：﹣4y＝﹣1﹣n即4y＝1+n，
③﹣④得：2y＝m﹣2即4y＝2m﹣4，
联立方程组，
解得：，
∴2m﹣n＝2×8﹣11＝5．
故答案为：5．
【题后反思】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是巧妙利用等式的性质进行消元、重组方程组求解，再代入代数式求解．
12．（2分）（2021秋•天府新区期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y＝1的解，则k的值为 ．
【易错点拨】首先把方程组解出，用k表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程求出k．
【规范解答】解：，
①+②得2x＝4k，
解得x＝2k，
把x＝2k，代入②得y＝k，
把x＝2k，y＝k，代入x+2y＝1，
得2k+2k＝1，
解得k＝，
故答案为：．
【题后反思】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
13．（2分）（2019秋•大渡口区期末）某工厂计划生产一批某种产品，数量不超过3500件．该产品由A，B，C三部分组成，分别由厂里甲、乙、丙三个车间完成．三个车间于某天零时同时开工，每天24小时连续工作．若干天后的零时，甲车间完成任务；几天后的18时，乙车间完成任务；自乙车间完成任务后的当天零时起，再过几天后的8时，丙车间完成任务．已知三个车间每天完成A，B，C的数量分别为300件、240件、180件，该工厂完成这种产品的件数是 3300 ．
【易错点拨】可以设甲车间a天完成，乙车间（a+b）天+18小时完成，丙车间（a+b+c+1）天+8小时完成，乙车间最后一天完成240×＝180（件），丙车间最后一天完成180×＝60（件），
根据题意可得方程，再确定a、b、c的取值范围，进而求出该工厂完成这种产品的件数．
【规范解答】解：设甲车间a天完成，乙车间（a+b）天+18小时完成，丙车间（a+b+c+1）天+8小时完成，
乙车间最后一天完成240×＝180（件），
丙车间最后一天完成180×＝60（件），
根据题意，得
300a＝240（a+b）+180＝180（a+b+c+1）+60
∴5a＝4（a+b）+3＝3（a+b+c+1）+1
解得a＝4b+3，b＝c﹣，
∵0＜a+b+c≤＝19，
0＜a+b≤＝14，
0＜a≤＝11．
即a+b+c≤19，a+b≤14，a≤11，
∴a＝11时，b＝2，c＝4，
当a为10时，b不是整数，舍去，
同理当a为其它非负整数如9、8、7、6、5、4、3、2、1时，
b、c不同时为非负整数，
∴该工厂完成这种产品的件数是11×300＝3300（件）．
故答案为3300．
【题后反思】本题考查了三元一次方程组的应用、不等式组的应用，解决本题的关键是理清题意找到等量关系．
14．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍 15 本．
【易错点拨】设A书籍的售价为x元/本，B书籍的售价为y元/本，根据题意可列出方程，解之可得x，y的值；设张老师购买打折A类书籍m本，购买打折B类书籍a本，购买原价B类书籍b本，则购买原价A类书籍（3m﹣a﹣b）本，根据题意可知，45×0.6m+45（3m﹣a﹣b）+75×0.6a+75b＝3150，化简，结合实际意义可得m的值．
【规范解答】解：设A书籍的售价为x元/本，B书籍的售价为y元/本，
根据题意可得，，
解得，
设张老师购买打折A类书籍m本，购买打折B类书籍a本，购买原价B类书籍b本，则购买原价A类书籍（3m﹣a﹣b）本，
根据题意可知，45×0.6m+45（3m﹣a﹣b）+75×0.6a+75b＝3150，
整理得，54m+10a＝1050，
∴a＝105﹣m，
∵a，m，b，3m﹣a﹣b为正整数，
∴m为5的倍数，且3m＞a+b，
当m＝5时，a＝78（舍），
当m＝15时，a＝24，
当m＝20是，a＝﹣3（舍），
故答案为：15．
【题后反思】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
15．（2分）（2022秋•北碚区校级期末）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 7.5 万元．
【易错点拨】设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，由每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，可得2x＝y+z，所以2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x；由每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，可得每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），由每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，可得每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，由两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，可得总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，所以总销售额为：10xm+12xn＝600000①，5xm+8xn＝375000②，联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，进而可得结论．
【规范解答】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，
∴3x+y+z＝5x，
∴2x＝y+z，
∴2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，
设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为：10xm+12xn＝600000①，
∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），
∴5xm+8xn＝375000②，
联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，
∴“森林精灵”盲盒的总利润是（10x﹣5x）m＝75000＝7.5（万元），
故答案为：7.5．
【题后反思】本题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关键是设出相关未知数，列出方程．
16．（2分）（2022春•关岭县期末）已知关于x，y的二元一次方程组解为，则关于x，y的方程组的解是 ．
【易错点拨】首先把关于x，y的方程组化为，再根据关于x，y的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
【规范解答】解：关于x，y的方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组解为，
∴，
解得，．
故答案为：．
【题后反思】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
17．（2分）（2021秋•九龙坡区校级期末）俗话说“过了腊八就是年”某食品公司为迎合不同顾客的需求，在腊八节前夕推出了甲、乙、丙三种杂粮礼盒．已知甲种礼盒与乙种礼盒的成本之比为1：2，售价之比为12：25，其中卖出一盒乙礼盒的利润率为25%，卖出一盒丙礼盒的利润率为37.5%，当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为5：4：3时，公司得到的总利润率为30%，则当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为10：5：1时，该公司得到的总利润率为 25% ．
【易错点拨】设甲种礼盒与乙种礼盒的成本分别为a元，2a元，售价分别为12b元，25b元，求出卖出一盒甲礼盒的利润率，所以甲种礼盒每盒10b元，乙种礼盒每盒20b元，丙种礼盒每盒y元，售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为5m盒、4m盒、3m盒，由利润列方程得到y＝40b．设售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为10n盒、5n盒、n盒，列代数式计算即可得到答案．
【规范解答】解：设甲种礼盒与乙种礼盒的成本分别为a元，2a元，售价分别为12b元，25b元，
∵×100%＝25%，整理得，a＝10b，
∴×100%＝20%，
∴卖出一盒甲礼盒的利润率为20%．
∴甲种礼盒的成本为每盒10b元，乙种礼盒每盒20b元，丙种礼盒每盒y元，售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为5m盒、4m盒、3m盒，
则＝30%，
整理得，y＝40b，
设售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为10n盒、5n盒、n盒，
则＝25%，
故答案为：25%．
【题后反思】本题考查了整式的计算，一元一次方程的实际应用，根据给出的已知条件设出未知数得到方程是解题的关键．
18．（2分）（2021秋•渝北区期末）某地区有序推进疫苗接种工作，构筑新冠免疫“防护墙”．12月某天，某地区甲、乙、丙三个新冠疫苗接种点均配备了A，B，C三类疫苗，A，B，C三类疫苗每件盒数是定值．甲接种点配备A类、B类、C类疫苗分别为10件、30件、40件，乙接种点配备A类、B类、C类疫苗分别为20件、30件、20件，且甲接种点和乙接种点配备疫苗的总盒数相同．若三类疫苗每件盒数之和为95盒，且各类疫苗每件盒数均是不大于50盒的整数，C与B两类疫苗每件盒数之差大于4盒．则丙接种点分别配备A类、B类、C类疫苗分别为20件、10件、40件的总盒数为 2200 盒．
【易错点拨】设A类疫苗每件盒数x盒，B类疫苗每件盒数y盒，C类疫苗每件盒数z盒，由题意可得，，整理得，x＝2z，y+3z＝95，根据题意可得x≤50，y≤50，z≤50，z﹣y＞4，将z可能的取值代入解答即可．
【规范解答】解：设A类疫苗每件盒数x盒，B类疫苗每件盒数y盒，C类疫苗每件盒数z盒，
由题意可得，，
整理得，x＝2z，y+3z＝95①，
∵各类疫苗每件盒数均是不大于50盒的整数，C与B两类疫苗每件盒数之差大于4盒，
∴x≤50，y≤50，z≤50，z﹣y＞4②，
将①代入②中，得，z﹣（95﹣3z）＞4，
解得z＞24.75，
∵x＝2z≤50，
∴z≤25，
∴24.75＜z≤25，
∴z＝25，
此时y＝20，x＝50；
∴丙接种点分配的盒数为：20×50+10×20+40×25＝2200（盒）．
故答案为：2200．
【题后反思】本题主要考查三元一次方程的应用，此题数量关系较复杂，得出三元一次方程组，并根据题干中限制条件得出x，y，z的值是解题关键．
19．（2分）（2021春•沙坪坝区期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为9：15：2．为促进销售，将全部粽子包装成A、B、C三种礼盒．礼盒A有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒C有4个肉粽、2个豆沙粽．则礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比为 6：2：1 ．
【易错点拨】根据题干中肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比，将这三种粽子的数量分别设为9x个、15x个、2x个，礼盒B、礼盒C的盒数分别为a盒、b盒、c盒．抓住题干中将粽子包装成各种礼盒，但各类粽子的总数量是不变的这一等量关系，从而列出关系式，进而解决该题．
【规范解答】解：设该商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个、15x个、2x个，礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数分别为a盒、b盒、c盒．
由题意，可得：
解得：
∴a：b：c＝3x：x：＝6：2：1．
故答案为：6：2：1．
【题后反思】本题考查三元一次方程组的应用，运用方程的思想解决问题，关键找到题干中的等量关系并列出三元一次方程组，从而破解此题．
20．（2分）（2022春•北碚区校级期末）某文具店九月初进行开学大酬宾活动，将A、B、C三种学习文具以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，现甲，乙两种方式分别在成本价基础上提高20%，40%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲，乙两种方式的销售量之比为 16：15 ．
【易错点拨】根据甲、乙两种方式各种文具的个数配比，以及已知条件“每支C比每支A成本价低2元；甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，”可以得到乙种方式的成本为32元，再设两种方式销售量分别是未知数，列方程解方程即可．
【规范解答】解：∵两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，
∴乙种方式每袋成本价比甲种方式每袋成本高2元，
∵甲种方式（含包装袋）每袋成本为30元，
∴乙种方式（含包装袋）每袋成本为32元，
设甲、乙两种方式的销量分别为x袋、y袋．根据题意得，
30×0.2x+32×0.4y＝（30x+32y）×0.3，
化简整理得，16y＝15x，
∴x：y＝16：15．
故答案为：16：15．
【题后反思】考查商品销售问题，关键运用方程思想把销售问题转化成方程问题，列二元一次方程，灵活解出比值．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（4分）（2022春•密云区期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值．
【易错点拨】根据题意可以把原方程组的解代入原方程组，变成关于a、b的二元一次方程组，求解方程组，把得到的方程组的解代入代数式求值即可．
【规范解答】解：由题意可得，
①+②得4a＝6，
a＝，
代入①得2×﹣b＝4，
b＝﹣1，
∴2a﹣3b＝2×﹣3×（﹣1）＝6．
【题后反思】本题考查了解二元一次方程组，关键要掌握解二元一次方程组的解法并且运算要细心．
22．（6分）（2022春•思明区校级期末）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
（2）已知关于x，y的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x0，y0）是“巧妙点”？
【易错点拨】（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【规范解答】解：（1）由题意得：2a﹣b＝8，
解得：a＝b+4，
∵a＞2，
∴b+4＞2，
解得b＞﹣4；
（2）∵，
∴，
∴B（2t+1，1﹣t）．
∵B是“巧妙点”，B（2t﹣1+2，1﹣t）
∴2（2t﹣1）﹣（1﹣t）＝8，
∴t＝．
∴当t＝时，B是“巧妙点”．
【题后反思】此题考查了二元一次方程组的解，利用“巧妙点”定义找到字母间的关系是求解本题的关键．
23．（6分）（2022秋•九龙坡区校级期末）某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元．
（1）若书店恰好用了2300元购进这100本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？
（2）在（1）的结论下，在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利460元，请问乙图书应打几折出售？
【易错点拨】（1）设购进甲图书x本，乙图书y本，根据总价＝单价×数量结合用2300元购进甲、乙两种图书共100本，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙图书应打a折出售，根据题意可得，（15×0.8﹣10）×35+（40×﹣30）×65＝460，解之即可．
【规范解答】解：（1）设购进甲图书x本，乙图书y本，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲图书35本，乙图书65本．
（2）设乙图书应打a折出售，
由题意可得，（15×0.8﹣10）×35+（40×﹣30）×65＝460，
解得a＝9；
答：乙图书应打9折出售．
【题后反思】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（6分）（2022春•蓝山县期末）据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【易错点拨】（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，根据“用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次可运货物的重量＝每辆车的承载量×租车辆数结合一次要运15吨枇杷，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案；根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出2种租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，6辆乙型车．
方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【题后反思】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据各数量之间的关系，分别求出2种租车方案所需总费用．
25．（8分）（2022春•滨江区期末）列方程解应用题：某商店将甲、乙、丙三种糖果混合而成什锦糖，并以糖的平均价格作为什锦糖的单价，若购买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元．
（1）求甲、乙两种糖果的单价；
（2）设丙种糖果单价为15元/千克，且甲、乙、丙三种糖果的重量之比为1：2：a，若什锦糖的单价为20元/千克，求a的值．
【易错点拨】（1）设甲、乙两种糖的单价为未知数，列二元一次方程组，解出结果即可．
（2）根据题意列关于字母a的分式方程，解方程即可．
【规范解答】解：（1）设甲、乙两种糖果的单价分别是x元/千克、y元/千克，根据题意列方程组：
，
解方程组得，
答：甲、乙两种糖果的单价分别是25元/千克、20元/千克，
（2）根据题意可得分式方程：
＝20，
解分式方程得a＝1，
经检验a＝1是分式方程的解．
答：若什锦糖的单价为20元/千克，a的值为1．
【题后反思】考查三元一次方程组、分式方程的应用，关键要掌握选择适当的未知数，列方程组和分式方程，解方程组、解分式方程．
26．（6分）（2021春•长春期末）【数学问题】解方程组．
【思路分析】榕榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得：
【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组．
【易错点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．
【规范解答】解：【完成解答】把①代入②，得5x﹣3×3＝1，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝3，
∴y＝1，
∴原方程组的解为；
【迁移运用】把①代入③得：5﹣c＝1，
解得：c＝4，
把c＝4代入②得：2a+12＝16，解得a＝2，
把a＝2代入①得：2+b＝5，
∴b＝3，
∴原方程组的解为．
【题后反思】此题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，并运用类比的方法，运用整体代入的思想是本题的关键．
27．（8分）（2021春•江源区期末）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售 同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．
（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）
（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．
【易错点拨】（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元，根据买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元，列出方程组，求解即可．
（2）根据题意先分别计算出在“重百”超市购买所需费用和在“沃尔玛”超市购买所需费用，然后进行比较即可得出答案．
【规范解答】解：（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元．
由题意，得：．
解得：．
答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元．
（2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算．
理由：在“重百”超市购买所需费用为：0.9（50×4+15×10）＝315（元），
在“沃尔玛”超市购买所需费用为：50×4+（15﹣4）×10＝310（元），
∵310＜315，
∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算．
【题后反思】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
28．（8分）（2022秋•垣曲县期末）高台县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对A、B两类村庄进行了全面改建．根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；巷道镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入资金1140万元．
（1）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元？
（2）骆驼城镇改建3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄共需资金多少万元？
【易错点拨】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元；
（2）根据（1）中的答案可以求得改建3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄共需资金多少万元，本题得以解决．
【规范解答】解：（1）设建设一个A类美丽村庄所需的资金为x万元，建设一个B类美丽村庄所需的资金为y万元，
，
解得，，
答：建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是120万元、180万元；
（2）由题意可得，
3×120+6×180＝1440（万元），
答：骆驼城镇改建3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄共需资金1440万元．
【题后反思】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，运用方程的思想解答．
29．（8分）（2021秋•蚌埠期末）合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入4500元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入5000元．
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？
【易错点拨】（1）根据“月销售件数200件，月总收入4500元，月销售件数300件，月总收入5000元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需16200元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【规范解答】解：（1）根据题意得：，
，
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝780．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需780元．
【题后反思】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组