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第1章《整式的乘除》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（北师大版）
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这是一份第1章《整式的乘除》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（北师大版），文件包含第1章整式的乘除教师版docx、第1章整式的乘除学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
知识点01：单项式
1、都是数字与字母乘积代数式叫做单项式。
2、单项式数字因数叫做单项式系数。
3、单项式中所有字母指数和叫做单项式次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式单项式系数是1或―1。
6、单独一个数字是单项式，它系数是它本身。
7、单独一个非零常数次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而能含有加、减等其他运算。
9、单项式系数包括它前面符号。
10、单项式系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式次数仅与字母有关，与单项式系数无关。
知识点02：多项式
1、几个单项式和叫做多项式。
2、多项式中每一个单项式叫做多项式项。
3、多项式中含字母项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式每一项都包括项前面符号。
6、多项式没有系数概念，但有次数概念。
7、多项式中次数最高项次数，叫做这个多项式次数。
知识点03：整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式一定是单项式。
4、整式一定是多项式。
5、分母中含有字母代数式是整式；而是今后将要学习分式。
知识点04：整式加减
1、整式加减理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减一般步骤：
（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值一般步骤：
（1）代数式化简。
（2）代入计算
（3）对于某些特殊代数式，可采用“整体代入”进行计算。
知识点05：同底数幂乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作an次方（幂），其中a为底数，n为指数，an结果叫做幂。
2、底数相同幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法运算法则：同底数幂相乘，底数变，指数相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数相同幂乘法，如果可以化成底数相同幂乘法，先化成同底数幂再运用法则。
知识点06：幂乘方
1、幂乘方是指几个相同幂相乘。（am）n表示n个am相乘。
2、幂乘方运算法则：幂乘方，底数变，指数相乘。（am）n =amn。
3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。
知识点07：积乘方
1、积乘方是指底数是乘积形式乘方。
2、积乘方运算法则：积乘方，等于把积中每个因式分别乘方，然后把所得幂相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。
知识点08：三种“幂运算法则”异同点
1、共同点：
（1）法则中底数变，只对指数做运算。
（2）法则中底数（为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
（3）对于含有3个或3个以上运算，法则仍然成立。
2、同点：
（1）同底数幂相乘是指数相加。
（2）幂乘方是指数相乘。
（3）积乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
知识点09：同底数幂除法
1、同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
知识点10：零指数幂
1、零指数幂意义：任何等于0数0次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
知识点11：负指数幂
1、任何等于零数―p次幂，等于这个数p次幂倒数，即：
注：在同底数幂除法、零指数幂、负指数幂中底数为0。
知识点12：整式乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们系数、相同字母幂分别相乘，其余字母连同它指数变，作为积因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母幂相乘时，底数变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有字母，连同它指数一起写在积里，作为积因式。
5、单项式乘以单项式结果仍是单项式。
6、单项式乘法法则对于三个或三个以上单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中每一项，再把所得积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积符号，多项式每一项都包括它前面符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再把所得积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到重漏。相乘时，要按一定顺序进行，即一个多项式每一项乘以另一个多项式每一项。在未合并同类项之前，积项数等于两个多项式项数积。
3、多项式每一项都包含它前面符号，确定积中每一项符号时应用“同号得正，异号得负”。
4、运算结果中有同类项要合并同类项。
5、对于含有同一个字母一次项系数是1两个一次二项式相乘时，可以运用下面公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
知识点13：平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差积，等于它们平方之差。
2、平方差公式中a、b可以是单项式，也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（a+b）•(a-b)形式，然后看a2与b2是否容易计算。
知识点14：完全平方公式
1、即：两数和（或差）平方，等于它们平方和，加上（或
减去）它们积2倍。
2、公式中a，b可以是单项式，也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式变形公式：
（1）
（2）
（3）
4、完全平方式：我们把形如:二次三项式称作完全平方式。
5、当计算较大数平方时，利用完全平方公式可以简化数运算。
6、完全平方公式可以逆用，即：
知识点15：整式除法
（一）单项式除以单项式法则
1、单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商因式；对于只在被除式里含有字母，则连同它指数一起作为商一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式法则
1、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加。用字母表示为：
2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面符号。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•中原区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（2x3y）3＝6x6y3
C．（x3）3＝x6D．b6÷b3＝b3
解：A．a3•a2＝a5≠a6，故选项A计算错误；
B．（2x3y）3＝8x9y3≠6x6y3，故选项B计算错误；
C．（x3）3＝x9≠x6，故选项C计算错误；
D．b6÷b3＝b6﹣3＝b3，故选项D计算正确．
故选：D．
2．（2分）（2023春•碑林区校级期中）如图，为将一个小正方形放入一个大正方形中形成的图形，两个正方形的边长相差3，阴影部分的面积为39，则较小正方形的面积是（ ）
A．49B．37C．36D．25
解：设较小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x+3，
∴（x+3）2﹣x2＝39，
∴6x+9＝39，
∴x＝5，
∴较小正方形的面积是52＝25．
故选：D．
3．（2分）（2023春•北仑区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A．B．C．D．
解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，
S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2，
l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d，
∴bc+c2＝（）2，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为．
故选：B．
4．（2分）（2023春•福田区校级期中）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2023﹣1的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣1D．0或﹣2
解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12023﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12023﹣1＝﹣2．
故选：D．
5．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）若x满足（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，则（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．﹣0.25
解：∵（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，
∴2023x﹣x2﹣2022×2023+2022x＝0.25．
∴﹣x2+4045x﹣2022×2023＝0.25．
∴﹣x2+4045x＝2022×2023+0.25．
∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2
＝x2+20222﹣4044x+20232+x2﹣4046x
＝2x2﹣8090x+20222+20232
＝﹣2（﹣x2+4045x）+20222+20232
＝﹣2×2022×2023﹣0.5+20222+20232
＝（2022﹣2023）2﹣0.5
＝1﹣0.5
＝0.5．
故选：B．
6．（2分）（2023春•蜀山区校级期中）已知（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，若a，b均为整数，则c的值不可能为（ ）
A．4B．﹣2C．﹣7D．7
解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
∴若（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，则a+b＝c，ab＝﹣8．
∵a和b均为整数，
∴当a＝1时，b＝﹣8，此时c＝a+b＝﹣7；
当a＝﹣1时，b＝8，此时c＝a+b＝﹣1+8＝7；
当a＝2时，b＝﹣4，此时c＝a+b＝﹣2；
当a＝﹣2时，b＝4，此时c＝a+b＝2；
当a＝4时，b＝﹣2，此时c＝a+b＝2．
综上：c＝±7或±2．
∴c的值不可能为4．
故选：A．
7．（2分）（2023春•新城区校级期中）若（am+4）（m2﹣m）运算结果中不含m2项，则a的值为（ ）
A．4B．0C．﹣4D．2
解：（am+4）（m2﹣m）
＝am3+4m2﹣am2﹣4m
＝am3+（4﹣a）m2﹣4m．
∵运算结果中不含m2项，
∴4﹣a＝0．
∴a＝4．
故选：A．
8．（2分）（2022春•拱墅区期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（ ）
A．若a＝2b+1，则S＝16B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3D．若S＝16，则a＝2b+4
解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，
ab＝2，a＞b＞0，
若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，
即2b2+b﹣2＝0，
解得：b＝（负值不合题意，舍去），
∴b＝，
∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，
∴选项A不正确；
若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，
即b2+b﹣1＝0，
解得：（负值不合题意，舍去），
∴b＝，
∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，
∴选项B不正确；
若S＝25，则（a+2b）2＝25，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝5，
∴a＝5﹣2b，
∴b（5﹣2b）＝2，
即2b2﹣5b+2＝0，
解得：b1＝，b2＝2，
当b＝时，a＝5﹣2b＝4，
2b+3＝4，
此时，a＝2b+3；
当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，
∴选项C正确；
若S＝16，则（a+2b）2＝16，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝4，
∴a＝4﹣2b，
∴b（4﹣2b）＝2，
即b2﹣2b+1＝0，
解得：b1＝b2＝1，
当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，
∴a≠2b+4，
∴选项D不正确；
故选：C．
9．（2分）（2023春•济南期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3B．19C．21D．28
解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y2﹣×4•x﹣×4•y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
10．（2分）（2022春•姜堰区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①
S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2•20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023春•潍城区期中）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为50，小正方形的面积为2，则矩形的宽AB为 2 ．
解：∵大正方形的面积为50，小正方形的面积为2，
∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为，
由图可得：矩形的长为（AB+），
∴AB+＝5，
解得：AB＝2．
故答案为：2．
12．（2分）（2023•思明区二模）计算：π0+（）﹣1＝ 3 ．
解：π0+（）﹣1＝1+2＝3，
故答案为：3．
13．（2分）（2023春•萧山区期中）有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为 6 ．
解：设A的边长为a，B的边长为b，
根据题意得：，
整理得：，
解得：b2＝6，
∴正方形B的面积为6．
故答案为：6．
14．（2分）（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最小值为 0 ．
解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0，
∴a2+b2≥2ab．
∴4≥2ab．
∴ab≤2．
∴﹣ab≥﹣2．
∴﹣2ab≥﹣4．a2+b2≥2ab
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4﹣2ab≥0．
∴（a﹣b）2的最小值为0．
故答案为：0．
15．（2分）（2023春•余姚市期中）已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b﹣9，则（ab）c＝ 1 ．
解：∵a+b＝5，
∴a＝5﹣b，
∴c2＝（5﹣b）•b+b﹣9，
∴c2+b2+4b+9＝0，
∴c2+b2﹣6b+9＝0，
∴c2+（b﹣3）2＝0，
∴c＝0，b﹣3＝0，
∴b＝3，
∴a＝2，
∴（ab）c
＝（2×3）0
＝1．
故答案为：1．
16．（2分）（2023春•赣榆区校级期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2﹣S1＝96，则长方形ABCD的周长为 24 ．
解：设FK＝a，FL＝b，
由题意得：四边形BHKE、四边形KFLI、四边形DGLJ都为长方形，
∴EK＝BH＝LJ＝GD＝4﹣a，KH＝EB＝GL＝DJ＝4﹣b，
∴S1＝2（4﹣a）（4﹣b）+ab＝（32﹣8a﹣8b+3ab），S2＝（4+4﹣b）（4+4﹣a）＝（64﹣8a﹣8b+ab），
∵3S2﹣S1＝96，
∴3（64﹣8a﹣8b+ab）﹣（32﹣8a﹣8b+3ab）＝96，
整理得：a+b＝4，
∴长方形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+4﹣b+4+4﹣a）＝2×（16﹣4）＝24，
故答案为：24．
17．（2分）（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化简结果是 2x2+5x+2 ；若（a，b）乘以（b，a）的结果为9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，则a+b的值为 ±2 ．
解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，
故答案为：2x2+5x+2．
（2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）；
∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2，
∴a2b2＝9，ab＝±3，
2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60，
∴ab＝﹣3，
∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60，
a2+b2＝10，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4，
∴a+b＝±2．
故答案为：±2．
18．（2分）（2022春•薛城区期中）有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 1021 立方厘米．
解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm），
故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3），
故答案为：1021．
19．（2分）（2022春•武陵区校级期中）如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A＝160，B＝172，C＝215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是 747 平方厘米．
解：如图，设出a，b，c，d，
所以A的面积为ac＝160，B的面积为bc＝172，C的面积为bd＝215，
三式相乘得：ac•bc•bd＝160×172×215，
即ad•（bc）2＝160×172×215，
把bc＝172代入得：ad＝＝200，
所以D的面积为ad＝200，
则原大长方形的面积为：160+172+215+200＝747．
故答案为：747．
20．（2分）（2021春•宝安区校级月考）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 112 ．
解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023春•江都区期中）求值：
（1）已知2x+5y+3＝0，求4x•32y的值；
（2）已知3x+1﹣3x＝54，求x的值．
解：（1）∵2x+5y+3＝0，
∴2x+5y＝﹣3，
∴4x•32y
＝（22）x•（25）y
＝22x•25y
＝22x+5y
＝2﹣3
＝；
（2）∵3x+1﹣3x＝54，
∴3•3x﹣3x＝54，
∴2•3x＝54，
∴3x＝27，
∴x＝3．
22．（6分）（2023春•嵩县期中）如图1所示的是一块水稻实验田，它是由边长为（2a+3）米的正方形去掉一个边长为（a+1）米的正方形蓄水池后余下的部分，其面积记为S1（阴影部分），如图2所示的水稻实验田是边长为（a+2）米的正方形，其面积记为S2．
（1）化简分式，并求当a＝10米时，该分式的值．
（2）当时，a的值是多少？
解：（1），
当a＝10时，．
（2）∵，
∴，
由（1）得：
∴，
即7（a+2）＝3（3a+4），
∴7a+14＝9a+12，
解得a＝1
经检验，a＝1是原分式方程的解，
∴a的值为1．
23．（8分）（2023春•曲江区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ② （只填序号）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③a（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1 的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：②；
（2）①，是（1）得x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18，
∵x+2y＝4，
∴4（x﹣2y）＝18，
∴；
②原式＝
＝
＝
＝．
24．（8分）（2023春•虎丘区校级期中）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）填空：S1﹣S2＝ 2m﹣1 （用含m的代数式表示）；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
（3）若另一个正方形的边长为正整数n，并且满足条件1≤n＜S1﹣S2的n有且只有1个，求m的值．
解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）
＝2m﹣1．
故答案为：2m﹣1；
（2）S3与2（S1+S2）的差是常数，
∵S1+S2＝2m2+14m+15，
S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）
＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30
＝19．
答：S3与2（S1+S2）的差是常数：19；
（3）∵1≤n＜2m﹣1，
由题意，得1≤2m﹣1＜2，
解得1≤m＜．
∵m是整数，
∴m＝1．
答：m的值为1．
25．（8分）（2023春•睢宁县期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
（1）＝ ﹣4 ；
（2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k 2或﹣2 ；
（3）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22．
①求的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
解：（1）原式＝12+（﹣1）2﹣2×3＝﹣4．
故答案为：﹣4；
（2）原式＝x2+y2﹣kxy，
∵是完全平方公式，
∴k＝2或﹣2．
故答案为：2或﹣2；
（3）①原式＝（2x﹣y）2+y2﹣（3x﹣y）（x﹣y）
＝4x2﹣4xy+y2+y2﹣（3x2﹣3xy﹣xy+y2）
＝x2+y2，
∵x+y＝10，xy＝22，
∴（x+y）2＝100，2xy＝44，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣44＝56；
②由图知：S阴影＝S△DBC+S长方形ECGF﹣S△BGF，
∴，
化简得nx2+ny2﹣xy＝90，
∴n（x2+y2）﹣xy＝90，
由①得，x2+y2＝56，xy＝22，
∴56n﹣22＝90，
∴n＝2．
26．（8分）（2023春•平阴县期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的边长为 （b﹣a）2 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝4，则（x﹣y）2＝ 9 ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 （a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
解：①（b﹣a）2；
故答案为：（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y＝4时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×4
＝9；
故答案为：9；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
27．（8分）（2022秋•衡山县期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
28．（8分）（2023春•济南期中）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1．
这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）类比解决：
如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则①的阴影面积表示为 a2﹣b2 ．
则②的阴影面积表示为 （a+b）（a﹣b） ．
由此可以得到的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ [n（n+1）]2 .（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
解：（1）∵左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．
故答案为：[n（n+1）]2
知识点01：单项式
1、都是数字与字母乘积代数式叫做单项式。
2、单项式数字因数叫做单项式系数。
3、单项式中所有字母指数和叫做单项式次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式单项式系数是1或―1。
6、单独一个数字是单项式，它系数是它本身。
7、单独一个非零常数次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而能含有加、减等其他运算。
9、单项式系数包括它前面符号。
10、单项式系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式次数仅与字母有关，与单项式系数无关。
知识点02：多项式
1、几个单项式和叫做多项式。
2、多项式中每一个单项式叫做多项式项。
3、多项式中含字母项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式每一项都包括项前面符号。
6、多项式没有系数概念，但有次数概念。
7、多项式中次数最高项次数，叫做这个多项式次数。
知识点03：整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式一定是单项式。
4、整式一定是多项式。
5、分母中含有字母代数式是整式；而是今后将要学习分式。
知识点04：整式加减
1、整式加减理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减一般步骤：
（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值一般步骤：
（1）代数式化简。
（2）代入计算
（3）对于某些特殊代数式，可采用“整体代入”进行计算。
知识点05：同底数幂乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作an次方（幂），其中a为底数，n为指数，an结果叫做幂。
2、底数相同幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法运算法则：同底数幂相乘，底数变，指数相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数相同幂乘法，如果可以化成底数相同幂乘法，先化成同底数幂再运用法则。
知识点06：幂乘方
1、幂乘方是指几个相同幂相乘。（am）n表示n个am相乘。
2、幂乘方运算法则：幂乘方，底数变，指数相乘。（am）n =amn。
3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。
知识点07：积乘方
1、积乘方是指底数是乘积形式乘方。
2、积乘方运算法则：积乘方，等于把积中每个因式分别乘方，然后把所得幂相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。
知识点08：三种“幂运算法则”异同点
1、共同点：
（1）法则中底数变，只对指数做运算。
（2）法则中底数（为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
（3）对于含有3个或3个以上运算，法则仍然成立。
2、同点：
（1）同底数幂相乘是指数相加。
（2）幂乘方是指数相乘。
（3）积乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
知识点09：同底数幂除法
1、同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
知识点10：零指数幂
1、零指数幂意义：任何等于0数0次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
知识点11：负指数幂
1、任何等于零数―p次幂，等于这个数p次幂倒数，即：
注：在同底数幂除法、零指数幂、负指数幂中底数为0。
知识点12：整式乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们系数、相同字母幂分别相乘，其余字母连同它指数变，作为积因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母幂相乘时，底数变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有字母，连同它指数一起写在积里，作为积因式。
5、单项式乘以单项式结果仍是单项式。
6、单项式乘法法则对于三个或三个以上单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中每一项，再把所得积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积符号，多项式每一项都包括它前面符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再把所得积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到重漏。相乘时，要按一定顺序进行，即一个多项式每一项乘以另一个多项式每一项。在未合并同类项之前，积项数等于两个多项式项数积。
3、多项式每一项都包含它前面符号，确定积中每一项符号时应用“同号得正，异号得负”。
4、运算结果中有同类项要合并同类项。
5、对于含有同一个字母一次项系数是1两个一次二项式相乘时，可以运用下面公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
知识点13：平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差积，等于它们平方之差。
2、平方差公式中a、b可以是单项式，也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（a+b）•(a-b)形式，然后看a2与b2是否容易计算。
知识点14：完全平方公式
1、即：两数和（或差）平方，等于它们平方和，加上（或
减去）它们积2倍。
2、公式中a，b可以是单项式，也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式变形公式：
（1）
（2）
（3）
4、完全平方式：我们把形如:二次三项式称作完全平方式。
5、当计算较大数平方时，利用完全平方公式可以简化数运算。
6、完全平方公式可以逆用，即：
知识点15：整式除法
（一）单项式除以单项式法则
1、单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商因式；对于只在被除式里含有字母，则连同它指数一起作为商一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式法则
1、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加。用字母表示为：
2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面符号。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•中原区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（2x3y）3＝6x6y3
C．（x3）3＝x6D．b6÷b3＝b3
解：A．a3•a2＝a5≠a6，故选项A计算错误；
B．（2x3y）3＝8x9y3≠6x6y3，故选项B计算错误；
C．（x3）3＝x9≠x6，故选项C计算错误；
D．b6÷b3＝b6﹣3＝b3，故选项D计算正确．
故选：D．
2．（2分）（2023春•碑林区校级期中）如图，为将一个小正方形放入一个大正方形中形成的图形，两个正方形的边长相差3，阴影部分的面积为39，则较小正方形的面积是（ ）
A．49B．37C．36D．25
解：设较小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x+3，
∴（x+3）2﹣x2＝39，
∴6x+9＝39，
∴x＝5，
∴较小正方形的面积是52＝25．
故选：D．
3．（2分）（2023春•北仑区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A．B．C．D．
解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，
S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2，
l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d，
∴bc+c2＝（）2，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为．
故选：B．
4．（2分）（2023春•福田区校级期中）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2023﹣1的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣1D．0或﹣2
解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12023﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12023﹣1＝﹣2．
故选：D．
5．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）若x满足（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，则（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．﹣0.25
解：∵（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，
∴2023x﹣x2﹣2022×2023+2022x＝0.25．
∴﹣x2+4045x﹣2022×2023＝0.25．
∴﹣x2+4045x＝2022×2023+0.25．
∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2
＝x2+20222﹣4044x+20232+x2﹣4046x
＝2x2﹣8090x+20222+20232
＝﹣2（﹣x2+4045x）+20222+20232
＝﹣2×2022×2023﹣0.5+20222+20232
＝（2022﹣2023）2﹣0.5
＝1﹣0.5
＝0.5．
故选：B．
6．（2分）（2023春•蜀山区校级期中）已知（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，若a，b均为整数，则c的值不可能为（ ）
A．4B．﹣2C．﹣7D．7
解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
∴若（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，则a+b＝c，ab＝﹣8．
∵a和b均为整数，
∴当a＝1时，b＝﹣8，此时c＝a+b＝﹣7；
当a＝﹣1时，b＝8，此时c＝a+b＝﹣1+8＝7；
当a＝2时，b＝﹣4，此时c＝a+b＝﹣2；
当a＝﹣2时，b＝4，此时c＝a+b＝2；
当a＝4时，b＝﹣2，此时c＝a+b＝2．
综上：c＝±7或±2．
∴c的值不可能为4．
故选：A．
7．（2分）（2023春•新城区校级期中）若（am+4）（m2﹣m）运算结果中不含m2项，则a的值为（ ）
A．4B．0C．﹣4D．2
解：（am+4）（m2﹣m）
＝am3+4m2﹣am2﹣4m
＝am3+（4﹣a）m2﹣4m．
∵运算结果中不含m2项，
∴4﹣a＝0．
∴a＝4．
故选：A．
8．（2分）（2022春•拱墅区期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（ ）
A．若a＝2b+1，则S＝16B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3D．若S＝16，则a＝2b+4
解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，
ab＝2，a＞b＞0，
若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，
即2b2+b﹣2＝0，
解得：b＝（负值不合题意，舍去），
∴b＝，
∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，
∴选项A不正确；
若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，
即b2+b﹣1＝0，
解得：（负值不合题意，舍去），
∴b＝，
∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，
∴选项B不正确；
若S＝25，则（a+2b）2＝25，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝5，
∴a＝5﹣2b，
∴b（5﹣2b）＝2，
即2b2﹣5b+2＝0，
解得：b1＝，b2＝2，
当b＝时，a＝5﹣2b＝4，
2b+3＝4，
此时，a＝2b+3；
当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，
∴选项C正确；
若S＝16，则（a+2b）2＝16，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝4，
∴a＝4﹣2b，
∴b（4﹣2b）＝2，
即b2﹣2b+1＝0，
解得：b1＝b2＝1，
当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，
∴a≠2b+4，
∴选项D不正确；
故选：C．
9．（2分）（2023春•济南期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3B．19C．21D．28
解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y2﹣×4•x﹣×4•y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
10．（2分）（2022春•姜堰区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①
S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2•20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023春•潍城区期中）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为50，小正方形的面积为2，则矩形的宽AB为 2 ．
解：∵大正方形的面积为50，小正方形的面积为2，
∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为，
由图可得：矩形的长为（AB+），
∴AB+＝5，
解得：AB＝2．
故答案为：2．
12．（2分）（2023•思明区二模）计算：π0+（）﹣1＝ 3 ．
解：π0+（）﹣1＝1+2＝3，
故答案为：3．
13．（2分）（2023春•萧山区期中）有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为 6 ．
解：设A的边长为a，B的边长为b，
根据题意得：，
整理得：，
解得：b2＝6，
∴正方形B的面积为6．
故答案为：6．
14．（2分）（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最小值为 0 ．
解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0，
∴a2+b2≥2ab．
∴4≥2ab．
∴ab≤2．
∴﹣ab≥﹣2．
∴﹣2ab≥﹣4．a2+b2≥2ab
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4﹣2ab≥0．
∴（a﹣b）2的最小值为0．
故答案为：0．
15．（2分）（2023春•余姚市期中）已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b﹣9，则（ab）c＝ 1 ．
解：∵a+b＝5，
∴a＝5﹣b，
∴c2＝（5﹣b）•b+b﹣9，
∴c2+b2+4b+9＝0，
∴c2+b2﹣6b+9＝0，
∴c2+（b﹣3）2＝0，
∴c＝0，b﹣3＝0，
∴b＝3，
∴a＝2，
∴（ab）c
＝（2×3）0
＝1．
故答案为：1．
16．（2分）（2023春•赣榆区校级期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2﹣S1＝96，则长方形ABCD的周长为 24 ．
解：设FK＝a，FL＝b，
由题意得：四边形BHKE、四边形KFLI、四边形DGLJ都为长方形，
∴EK＝BH＝LJ＝GD＝4﹣a，KH＝EB＝GL＝DJ＝4﹣b，
∴S1＝2（4﹣a）（4﹣b）+ab＝（32﹣8a﹣8b+3ab），S2＝（4+4﹣b）（4+4﹣a）＝（64﹣8a﹣8b+ab），
∵3S2﹣S1＝96，
∴3（64﹣8a﹣8b+ab）﹣（32﹣8a﹣8b+3ab）＝96，
整理得：a+b＝4，
∴长方形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+4﹣b+4+4﹣a）＝2×（16﹣4）＝24，
故答案为：24．
17．（2分）（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化简结果是 2x2+5x+2 ；若（a，b）乘以（b，a）的结果为9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，则a+b的值为 ±2 ．
解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，
故答案为：2x2+5x+2．
（2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）；
∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2，
∴a2b2＝9，ab＝±3，
2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60，
∴ab＝﹣3，
∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60，
a2+b2＝10，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4，
∴a+b＝±2．
故答案为：±2．
18．（2分）（2022春•薛城区期中）有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 1021 立方厘米．
解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm），
故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3），
故答案为：1021．
19．（2分）（2022春•武陵区校级期中）如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A＝160，B＝172，C＝215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是 747 平方厘米．
解：如图，设出a，b，c，d，
所以A的面积为ac＝160，B的面积为bc＝172，C的面积为bd＝215，
三式相乘得：ac•bc•bd＝160×172×215，
即ad•（bc）2＝160×172×215，
把bc＝172代入得：ad＝＝200，
所以D的面积为ad＝200，
则原大长方形的面积为：160+172+215+200＝747．
故答案为：747．
20．（2分）（2021春•宝安区校级月考）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 112 ．
解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023春•江都区期中）求值：
（1）已知2x+5y+3＝0，求4x•32y的值；
（2）已知3x+1﹣3x＝54，求x的值．
解：（1）∵2x+5y+3＝0，
∴2x+5y＝﹣3，
∴4x•32y
＝（22）x•（25）y
＝22x•25y
＝22x+5y
＝2﹣3
＝；
（2）∵3x+1﹣3x＝54，
∴3•3x﹣3x＝54，
∴2•3x＝54，
∴3x＝27，
∴x＝3．
22．（6分）（2023春•嵩县期中）如图1所示的是一块水稻实验田，它是由边长为（2a+3）米的正方形去掉一个边长为（a+1）米的正方形蓄水池后余下的部分，其面积记为S1（阴影部分），如图2所示的水稻实验田是边长为（a+2）米的正方形，其面积记为S2．
（1）化简分式，并求当a＝10米时，该分式的值．
（2）当时，a的值是多少？
解：（1），
当a＝10时，．
（2）∵，
∴，
由（1）得：
∴，
即7（a+2）＝3（3a+4），
∴7a+14＝9a+12，
解得a＝1
经检验，a＝1是原分式方程的解，
∴a的值为1．
23．（8分）（2023春•曲江区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ② （只填序号）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③a（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1 的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：②；
（2）①，是（1）得x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18，
∵x+2y＝4，
∴4（x﹣2y）＝18，
∴；
②原式＝
＝
＝
＝．
24．（8分）（2023春•虎丘区校级期中）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）填空：S1﹣S2＝ 2m﹣1 （用含m的代数式表示）；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
（3）若另一个正方形的边长为正整数n，并且满足条件1≤n＜S1﹣S2的n有且只有1个，求m的值．
解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）
＝2m﹣1．
故答案为：2m﹣1；
（2）S3与2（S1+S2）的差是常数，
∵S1+S2＝2m2+14m+15，
S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）
＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30
＝19．
答：S3与2（S1+S2）的差是常数：19；
（3）∵1≤n＜2m﹣1，
由题意，得1≤2m﹣1＜2，
解得1≤m＜．
∵m是整数，
∴m＝1．
答：m的值为1．
25．（8分）（2023春•睢宁县期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
（1）＝ ﹣4 ；
（2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k 2或﹣2 ；
（3）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22．
①求的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
解：（1）原式＝12+（﹣1）2﹣2×3＝﹣4．
故答案为：﹣4；
（2）原式＝x2+y2﹣kxy，
∵是完全平方公式，
∴k＝2或﹣2．
故答案为：2或﹣2；
（3）①原式＝（2x﹣y）2+y2﹣（3x﹣y）（x﹣y）
＝4x2﹣4xy+y2+y2﹣（3x2﹣3xy﹣xy+y2）
＝x2+y2，
∵x+y＝10，xy＝22，
∴（x+y）2＝100，2xy＝44，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣44＝56；
②由图知：S阴影＝S△DBC+S长方形ECGF﹣S△BGF，
∴，
化简得nx2+ny2﹣xy＝90，
∴n（x2+y2）﹣xy＝90，
由①得，x2+y2＝56，xy＝22，
∴56n﹣22＝90，
∴n＝2．
26．（8分）（2023春•平阴县期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的边长为 （b﹣a）2 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝4，则（x﹣y）2＝ 9 ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 （a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
解：①（b﹣a）2；
故答案为：（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y＝4时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×4
＝9；
故答案为：9；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
27．（8分）（2022秋•衡山县期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
28．（8分）（2023春•济南期中）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1．
这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）类比解决：
如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则①的阴影面积表示为 a2﹣b2 ．
则②的阴影面积表示为 （a+b）（a﹣b） ．
由此可以得到的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ [n（n+1）]2 .（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
解：（1）∵左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．
故答案为：[n（n+1）]2
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