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第26章《反比例函数》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版）
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这是一份第26章《反比例函数》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版），文件包含第26章《反比例函数》解析版docx、第26章《反比例函数》原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。
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知识点1：反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
细节剖析：
在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
知识点2：反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
知识点3：反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
细节剖析：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
知识点4：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
考点提优练
考点01：反比例函数系数k的几何意义
1．（2022春•济阳区月考）已知反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．若图象上点的坐标分别是 M（﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则 y1＞y2
C．y随x的增大而减小
D．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
解：∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＜0，选项A错误．
∵x＜0时，y随x增大而增大，
∴y2＞y1，选项B，C错误．
由反比例函数系数k的几何意义可得矩形OABC面积为|k|＝2，
∴k＝﹣2，选项D正确．
故选：D．
2．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 9 ．
解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°
设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，
∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），
∵∠M＝60°，AB⊥OM，
∴AM＝2BM＝20﹣4b，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，
∵∠AND＝60°，
∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，
∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，
∴A（15﹣2b，2b﹣5），
∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，
解得b＝3或5，
当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b＝3，
∴k＝b•b＝9，
故答案为：9．
3．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
4．（2020秋•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交BC，OB于点D，E，且＝，若S△AOE＝15，则k的值为 20 ．
解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0），
∴BD＝a﹣，BC＝a，CD＝，AB＝b，
∵＝，
∴4×（a﹣）＝5×，
∴ab＝k，
设点E坐标为（m，n），
∵S△AOE＝15，即an＝15，
∴n＝，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，），
∵S△AOE＝S矩形OABC﹣S△OBC﹣S△ABE＝ab﹣ab﹣b（a﹣）＝15，
∴abk＝900，
把abk＝900代入ab＝k得，
k2＝900，即k2＝400，
解得k＝±20，
由图象可知，k＞0，
∴k＝20．
故答案为：20．
5．（2017秋•秦都区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
解：（1）∵A（2，m），
∴OB＝2，AB＝m，
∴S△AOB＝•OB•AB＝×2×m＝5，
∴m＝5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y＝，得k＝10；
（2）∵当x＝8时，y＝，
又∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
6．（2018•田东县模拟）已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
（1）求m的取值范围．
（2）如图，O为坐标原点，点A在反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，
∴m﹣7＞0，则m＞7；
（2）设AB与x轴交于点C．
∵点B与点A关于x轴对称，
∴AB⊥x轴，
∵△OAB的面积为6，
∴△OAC的面积为3，
∴（m﹣7）＝3，
解得m＝13．
考点02：待定系数法求反比例函数解析式
7．（2022•游仙区校级二模）如图，菱形ABOC在平面直角坐标系中，边OB在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若AB＝2，∠A＝60°，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
解：连接BC，过C作CD⊥OB于D，则∠CDO＝90°，
∵四边形ABOC是菱形，AB＝2，∠A＝60°，
∴OC＝AB＝2，∠COB＝∠A＝60°，
∴∠DCO＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴点C的坐标是（﹣1，），
∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣1）×＝﹣，
即反比例函数的解析式是y＝﹣，
故选：D．
8．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．
（1）反比例函数的解析式是 y＝ ；
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是 ．
解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2，），
∵点C，D在双曲线y＝上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
故答案为：y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
如图，设点E（n，﹣n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，
∴F（n，），
∴EF＝﹣n+3﹣，
∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，
∵2＜n＜3，
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
故答案为：．
9．（2021秋•太原期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．
从A，B两题中任选一题作答．
A．过点B的反比例函数的表达式是 y＝ ．
B．过点D的反比例函数的表达式是 y＝﹣ ．
解：若选择A题：
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，设AB与y轴交于点E，
∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵y轴平分AB边，AB＝5，
∴AE＝BE＝AB＝2.5，
∵BF∥y轴，
∴∠AOE＝∠AFB，∠AEO＝∠ABF，
∴△AOE∽△AFB，
∴＝＝，
∴AF＝2AO＝4，
∴OF＝AF﹣OA＝4﹣2＝2，
∴BF＝＝＝3，
∴B（2，3），
设过点B的反比例函数的表达式是y＝，
把B（2，3）代入y＝中得：
3＝，
∴k＝6，
∴过点B的反比例函数的表达式是：y＝，
故答案为：y＝；
若选择B题：
过点D作DG⊥x轴，垂足为G，
由（1）得：△AOE∽△AFB，
∴＝＝，
∴OE＝BF＝1.5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AOE＝90°，∠AEO＝∠CEB，
∴△AEO∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴AD＝BC＝，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAG+∠BAF＝90°，
∵∠DGA＝90°，
∴∠GDA+∠DAG＝90°，
∴∠BAF＝∠GDA，
∵∠DGA＝∠BFA＝90°，
∴△DGA∽△AFB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DG＝，GA＝2，
∴GO＝AG+OA＝4，
∴D（﹣4，），
设过点D的反比例函数的表达式是y＝，
把D（﹣4，）代入y＝中得：
＝，
∴m＝，
∴过点D的反比例函数的表达式是：y＝，
故答案为：y＝．
10．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
解：（1）
过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB＝90°，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴CO＝2，∠COE＝45°，
∴CE＝OE＝＝2，
即k＝﹣2×（﹣2）＝4，
所以反比例函数的解析式是y＝；
（2）把y＝﹣2代入y＝得：x＝﹣2，
所以当函数值y＞﹣2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0；
（3）设P点的纵坐标为a，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴由勾股定理得：OB＝＝4，
∵△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，
∴×4×|a|＝2，
解得：a＝±4，
即P点的纵坐标是4或﹣4，
代入y＝得：x＝1或﹣1，
即P点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．
11．（2021•咸宁一模）如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标．
解：（1）把A（，1）代入反比例函数y＝得：k＝1×＝，
所以反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵A（，1），OA⊥AB，AB⊥x轴于C，
∴OC＝，AC＝1，
OA＝＝＝2，
∵tanA＝＝，
∴∠A＝60°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴OB＝2OC＝2，
∴S△AOB＝＝＝2，
∵S△AOP＝S△AOB，
∴，
∵AC＝1，
∴OP＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
12．（2021•永定区模拟）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，E是线段AB上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
把（n，1）代入得：k＝n，
即y＝，
∵点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5，
∴，
解得：m＝1，n＝6，
即A（1，6），B（6，1）；
反比例函数的解析式为：y＝；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入得：，
解得：a＝﹣1，b＝7，
即直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣，
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝，
解得：m1＝2，m2＝3，
经检验都是原方程的解，
即E的坐标为（2，5）或（3，4）．
考点03：反比例函数与一次函数的交点问题
13．（2022•青秀区校级三模）如图，点A坐标为，直线与函数的图象交于点B，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，当AB+BC的值为最小时，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
解：在第一象限内作射线OM，使得OB平分∠AOM，过B作BD⊥OM于点D，连接AD，
则BC＝BD，
∴AB+BC＝AB+BD≥AD，
当点A、B、D三点依次在同一直线上，且AD⊥OM时，AB+BC＝AB+BD＝AD的值最小，
∵直线OB的解析式为：y＝x，
∴可设此时B（b，b），则BC＝BD＝，OC＝b，
∵A（，0），
∴AC＝﹣b，AB＝，
∵∠ACB＝∠ADO＝90°，∠BAC＝∠OAD，
∴△ABC∽△AOD，
∴，即，
整理得5，
解得b＝（舍）或b＝，
∴B（，），
把B（，代入y＝，得k＝．
故选：C．
14．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，km），B′（2﹣2m，2km）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
15．（2022•郫都区模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 ．
解：由消去y得到，x2﹣2ax+k＝0，
∵直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即4a2﹣4k＝0，
∴k＝a2，
解方程组得到，，
∴B（a，a），
令y＝0，得y＝﹣x+2a＝0．
解得x＝2a，
∴A（2a，0），
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．
由题意，B（a，a），A（2a，0），
∴OH＝BH＝AH＝a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，
∵∠OJH＝∠BJK，
∴∠HOJ＝∠HBP，
∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，
AP＝BJ，
∵∠AHB＝90°，HB＝HA，
∴∠PAM＝∠JBM＝45°，
∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，
∴∠BJM＝∠APM，
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM＝AM，∠BMJ＝∠PMP，
∴M（a，a），
∴BM＝，
设直线OM的解析式为：y＝kx，则，
∴，
∴直线OM的解析式为：y＝x，
∴J（a，a），
∴JH＝PH＝a，
∴BP＝OJ＝，
∵∠OHJ＝∠OKP＝90°，∠HOJ＝∠KOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
∴KP＝，
∴BK＝BP﹣KP＝，
∴sin∠AMP＝sin∠BMK＝＝．
故答案为：．
16．（2022秋•济南期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（n，4），B（2，2）两点．
（1）求反比例函数及一次函数表达式；
（2）若点P是直线AB左侧x轴上一点，若△ABP面积为1，求P点的坐标；
（3）过点A作直线AC，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长．
解：（1）∵反比例函数的图象过点B（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
又∵点A（n，4）在反比例函数的图象上，
∴n＝1，
∴点A（1，4），
把A（1，4），点B（2，2）代入一次函数y＝ax+b得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+6，
答：反比例函数的关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝﹣2x+6；
（2）当y＝0时，即﹣2x+6＝0，
解得x＝3，
∴直线AB与x轴的交点坐标为（3，0），
设点P（m，0），则m＜3，
∵△ABP面积为1，
∴（3﹣m）×4﹣（3﹣m）×2＝1，
解得m＝2，
∴点P（2，0）；
（2）①如图1，当AQ：QC＝1：2时，即AM：CN＝1：2，
∴CN＝2AM＝2，
把x＝﹣2代入反比例函数的关系式y＝得，y＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣2），
∵点B（2，2），
∴BC＝＝4；
②如图2，当QC：AQ＝1：2时，即CN：AM＝1：2，
∴CN＝AM＝，
把x＝﹣代入反比例函数的关系式y＝得，y＝﹣8，
∴C（﹣，﹣8），
∵点B（2，2），
∴BC＝＝；
答：BC的长为4或．
17．（2022秋•固镇县校级期中）如图，一次函数y＝kx+b图象与反比例函数图象交于A（﹣2，2）、B（n，﹣4）两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，不等式kx+b≥﹣的解集为 x≤﹣2或0＜x≤1 ．
解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式得：﹣4＝﹣，解得n＝1，
故点B的坐标为（1，﹣4），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故一次函数表达式为y＝﹣2x﹣2；
（2）令x＝0，则y＝﹣2x﹣2＝﹣2，即点D（0，﹣2），
则△AOB的面积＝S△ODB+S△ODA＝×OD×（xB﹣xA）＝×2×（1+2）＝3；
（3）从函数图象看，当x≤﹣2或0＜x≤1时，kx+b≥，
故答案为：x≤﹣2或0＜x≤1．
18．（2022•绵阳）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
解：（1）∵反比例函数y＝过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB＝＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8+）•（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2＝﹣（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y＝＝﹣4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
考点04：根据实际问题列反比例函数关系式
19．（2018秋•自贡期末）今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
解：由题意得y＝，即y＝，
故选：D．
20．（2021秋•长安区期末）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 y＝ （不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 1.2≤x≤3 ；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 1.6 m．
解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y＝．
故答案为：y＝．
（2）∵4≤y≤10，
即4≤≤10，
∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．
（3）当x＝7.5时，y＝＝1.6；
当y＝7.5时，＝7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．
故答案为：1.6．
21．（2019春•常州期末）某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是
解：由题意可得此函数解析式为反比例函数解析式，其为解析式为y＝．
当x＝2.5时，y＝7.2，
可得：7.2＝，
解得k＝18
∴反比例函数是y＝．
故答案为：y＝．
22．（2017春•灌云县月考）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
则y关于x的函数关系式是 y＝ ．
解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y＝，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400＝，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y＝．
故答案为：y＝．
23．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
考点05：反比例函数的应用
24．物理学有这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数，可以表示成P＝．如图，放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上底面积是下底面积的，此时圆台对桌面的压强为100Pa，若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是（ ）
A．200PaB．PaC．400PaD．Pa
解：依题意，得F＝PS，
设上底面积为V，则下底面积为4V，
当下底向下时，F＝100×4V＝400V，压力不变，
故上底向下时，压强P＝＝＝400pa．
故选：C．
25．（2022•东西湖区模拟）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
D、由题意得＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
26．（2022春•钱塘区期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 20≤R≤60 ．
解：由题意得：
I＝，
∵当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A，
∴U＝IR＝0.3×40＝12（V），
∴I＝，
当0.2≤I≤0.6时，
∴0.2≤≤0.6，
∴20≤R≤60，
故答案为：20≤R≤60．
27．（2021秋•开江县期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是 0.4 厘米．
解：设y与x之间的函数表达式为y＝，
∴7＝，
∴k＝14，
∴y与x之间的函数表达式为y＝；
当y≥35时，即≥35，
∴x≤0.4，
∴此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
故答案为：0.4．
28．（2022秋•市中区校级月考）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）．
（1）分别求出0＜x＜8和8＜x＜t时的函数关系式，并求出t的值．
（2）两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得 ，
解得：，
∴y＝10x+20（0≤x≤8）；
当8＜x＜t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
解得m＝800，
∴y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：x＝40，即t＝40，
∴y＝（8＜x＜40）；
（2）在y＝10x+20中，令y＝40得x＝2，
在y＝中，令y＝40得x＝20，
∵20﹣2＝18，
∴两次加热之间，水温保持不低于40℃有18分钟；
（3）∵50﹣40＝10＞8，
∴当x＝10时，y＝＝80，
答：开机后50分钟时，水的温度是80℃．
29．（2022春•鄞州区期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．燃尽后y与x成反比例（1）求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量．
（2）画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为y＝k1x（k1≠0），由题意得：8＝10k1，
∴k1＝，
∴此阶段函数解析式为y＝x（0≤x≤10），
当x＝5时，y＝4，
故第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量为4毫克．
（2）设药物燃烧结束后函数解析式为y＝（k2≠0），由题意得：，
∴k2＝80，
∴此阶段函数解析式（x≥10），
其图象如下：
（3）当y＞1.6时，得，
解得x＜2，
当y＞1.6时，得，
∵x＞0，
∴1.6x＜80，
解得x＜50．
即从消毒开始2分钟到50分钟之间时学生不能停留在教室里．
30．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
31．（2020秋•河东区期末）如图，取一根长1米长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
结果老师发现其中有一个数据明显有错误，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当L＝ 1 cm时的数据是错了；
（2）被墨水涂黑了的数据你认为大概是 6.1 ；
（3）你能求出F与L的函数关系式吗？
（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．
解：根据杠杆原理知 F•L＝25×9.8．
（1）当L＝1cm时，F＝245牛顿．所以表格中数据错了；
（2）当L＝40cm时，F＝245÷40≈6.1（牛顿 ）．故答案为 6.1；
（3）F＝，（0＜L≤50）．
（4）函数图象如图：
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
年度
2008
2009
2010
2011
投入技术改进资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元∕件）
7.2
6
4.5
4
y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
L/cm
1
10
15
20
25
30
35
40
45
F/牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4
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知识导航
知识点1：反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
细节剖析：
在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
知识点2：反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
知识点3：反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
细节剖析：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
知识点4：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
考点提优练
考点01：反比例函数系数k的几何意义
1．（2022春•济阳区月考）已知反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．若图象上点的坐标分别是 M（﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则 y1＞y2
C．y随x的增大而减小
D．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
解：∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＜0，选项A错误．
∵x＜0时，y随x增大而增大，
∴y2＞y1，选项B，C错误．
由反比例函数系数k的几何意义可得矩形OABC面积为|k|＝2，
∴k＝﹣2，选项D正确．
故选：D．
2．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 9 ．
解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°
设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，
∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），
∵∠M＝60°，AB⊥OM，
∴AM＝2BM＝20﹣4b，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，
∵∠AND＝60°，
∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，
∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，
∴A（15﹣2b，2b﹣5），
∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，
解得b＝3或5，
当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b＝3，
∴k＝b•b＝9，
故答案为：9．
3．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
4．（2020秋•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交BC，OB于点D，E，且＝，若S△AOE＝15，则k的值为 20 ．
解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0），
∴BD＝a﹣，BC＝a，CD＝，AB＝b，
∵＝，
∴4×（a﹣）＝5×，
∴ab＝k，
设点E坐标为（m，n），
∵S△AOE＝15，即an＝15，
∴n＝，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，），
∵S△AOE＝S矩形OABC﹣S△OBC﹣S△ABE＝ab﹣ab﹣b（a﹣）＝15，
∴abk＝900，
把abk＝900代入ab＝k得，
k2＝900，即k2＝400，
解得k＝±20，
由图象可知，k＞0，
∴k＝20．
故答案为：20．
5．（2017秋•秦都区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
解：（1）∵A（2，m），
∴OB＝2，AB＝m，
∴S△AOB＝•OB•AB＝×2×m＝5，
∴m＝5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y＝，得k＝10；
（2）∵当x＝8时，y＝，
又∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
6．（2018•田东县模拟）已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
（1）求m的取值范围．
（2）如图，O为坐标原点，点A在反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，
∴m﹣7＞0，则m＞7；
（2）设AB与x轴交于点C．
∵点B与点A关于x轴对称，
∴AB⊥x轴，
∵△OAB的面积为6，
∴△OAC的面积为3，
∴（m﹣7）＝3，
解得m＝13．
考点02：待定系数法求反比例函数解析式
7．（2022•游仙区校级二模）如图，菱形ABOC在平面直角坐标系中，边OB在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若AB＝2，∠A＝60°，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
解：连接BC，过C作CD⊥OB于D，则∠CDO＝90°，
∵四边形ABOC是菱形，AB＝2，∠A＝60°，
∴OC＝AB＝2，∠COB＝∠A＝60°，
∴∠DCO＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴点C的坐标是（﹣1，），
∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣1）×＝﹣，
即反比例函数的解析式是y＝﹣，
故选：D．
8．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．
（1）反比例函数的解析式是 y＝ ；
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是 ．
解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2，），
∵点C，D在双曲线y＝上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
故答案为：y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
如图，设点E（n，﹣n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，
∴F（n，），
∴EF＝﹣n+3﹣，
∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，
∵2＜n＜3，
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
故答案为：．
9．（2021秋•太原期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．
从A，B两题中任选一题作答．
A．过点B的反比例函数的表达式是 y＝ ．
B．过点D的反比例函数的表达式是 y＝﹣ ．
解：若选择A题：
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，设AB与y轴交于点E，
∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵y轴平分AB边，AB＝5，
∴AE＝BE＝AB＝2.5，
∵BF∥y轴，
∴∠AOE＝∠AFB，∠AEO＝∠ABF，
∴△AOE∽△AFB，
∴＝＝，
∴AF＝2AO＝4，
∴OF＝AF﹣OA＝4﹣2＝2，
∴BF＝＝＝3，
∴B（2，3），
设过点B的反比例函数的表达式是y＝，
把B（2，3）代入y＝中得：
3＝，
∴k＝6，
∴过点B的反比例函数的表达式是：y＝，
故答案为：y＝；
若选择B题：
过点D作DG⊥x轴，垂足为G，
由（1）得：△AOE∽△AFB，
∴＝＝，
∴OE＝BF＝1.5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AOE＝90°，∠AEO＝∠CEB，
∴△AEO∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴AD＝BC＝，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAG+∠BAF＝90°，
∵∠DGA＝90°，
∴∠GDA+∠DAG＝90°，
∴∠BAF＝∠GDA，
∵∠DGA＝∠BFA＝90°，
∴△DGA∽△AFB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DG＝，GA＝2，
∴GO＝AG+OA＝4，
∴D（﹣4，），
设过点D的反比例函数的表达式是y＝，
把D（﹣4，）代入y＝中得：
＝，
∴m＝，
∴过点D的反比例函数的表达式是：y＝，
故答案为：y＝．
10．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
解：（1）
过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB＝90°，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴CO＝2，∠COE＝45°，
∴CE＝OE＝＝2，
即k＝﹣2×（﹣2）＝4，
所以反比例函数的解析式是y＝；
（2）把y＝﹣2代入y＝得：x＝﹣2，
所以当函数值y＞﹣2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0；
（3）设P点的纵坐标为a，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴由勾股定理得：OB＝＝4，
∵△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，
∴×4×|a|＝2，
解得：a＝±4，
即P点的纵坐标是4或﹣4，
代入y＝得：x＝1或﹣1，
即P点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．
11．（2021•咸宁一模）如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标．
解：（1）把A（，1）代入反比例函数y＝得：k＝1×＝，
所以反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵A（，1），OA⊥AB，AB⊥x轴于C，
∴OC＝，AC＝1，
OA＝＝＝2，
∵tanA＝＝，
∴∠A＝60°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴OB＝2OC＝2，
∴S△AOB＝＝＝2，
∵S△AOP＝S△AOB，
∴，
∵AC＝1，
∴OP＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
12．（2021•永定区模拟）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，E是线段AB上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
把（n，1）代入得：k＝n，
即y＝，
∵点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5，
∴，
解得：m＝1，n＝6，
即A（1，6），B（6，1）；
反比例函数的解析式为：y＝；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入得：，
解得：a＝﹣1，b＝7，
即直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣，
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝，
解得：m1＝2，m2＝3，
经检验都是原方程的解，
即E的坐标为（2，5）或（3，4）．
考点03：反比例函数与一次函数的交点问题
13．（2022•青秀区校级三模）如图，点A坐标为，直线与函数的图象交于点B，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，当AB+BC的值为最小时，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
解：在第一象限内作射线OM，使得OB平分∠AOM，过B作BD⊥OM于点D，连接AD，
则BC＝BD，
∴AB+BC＝AB+BD≥AD，
当点A、B、D三点依次在同一直线上，且AD⊥OM时，AB+BC＝AB+BD＝AD的值最小，
∵直线OB的解析式为：y＝x，
∴可设此时B（b，b），则BC＝BD＝，OC＝b，
∵A（，0），
∴AC＝﹣b，AB＝，
∵∠ACB＝∠ADO＝90°，∠BAC＝∠OAD，
∴△ABC∽△AOD，
∴，即，
整理得5，
解得b＝（舍）或b＝，
∴B（，），
把B（，代入y＝，得k＝．
故选：C．
14．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，km），B′（2﹣2m，2km）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
15．（2022•郫都区模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 ．
解：由消去y得到，x2﹣2ax+k＝0，
∵直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即4a2﹣4k＝0，
∴k＝a2，
解方程组得到，，
∴B（a，a），
令y＝0，得y＝﹣x+2a＝0．
解得x＝2a，
∴A（2a，0），
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．
由题意，B（a，a），A（2a，0），
∴OH＝BH＝AH＝a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，
∵∠OJH＝∠BJK，
∴∠HOJ＝∠HBP，
∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，
AP＝BJ，
∵∠AHB＝90°，HB＝HA，
∴∠PAM＝∠JBM＝45°，
∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，
∴∠BJM＝∠APM，
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM＝AM，∠BMJ＝∠PMP，
∴M（a，a），
∴BM＝，
设直线OM的解析式为：y＝kx，则，
∴，
∴直线OM的解析式为：y＝x，
∴J（a，a），
∴JH＝PH＝a，
∴BP＝OJ＝，
∵∠OHJ＝∠OKP＝90°，∠HOJ＝∠KOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
∴KP＝，
∴BK＝BP﹣KP＝，
∴sin∠AMP＝sin∠BMK＝＝．
故答案为：．
16．（2022秋•济南期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（n，4），B（2，2）两点．
（1）求反比例函数及一次函数表达式；
（2）若点P是直线AB左侧x轴上一点，若△ABP面积为1，求P点的坐标；
（3）过点A作直线AC，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长．
解：（1）∵反比例函数的图象过点B（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
又∵点A（n，4）在反比例函数的图象上，
∴n＝1，
∴点A（1，4），
把A（1，4），点B（2，2）代入一次函数y＝ax+b得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+6，
答：反比例函数的关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝﹣2x+6；
（2）当y＝0时，即﹣2x+6＝0，
解得x＝3，
∴直线AB与x轴的交点坐标为（3，0），
设点P（m，0），则m＜3，
∵△ABP面积为1，
∴（3﹣m）×4﹣（3﹣m）×2＝1，
解得m＝2，
∴点P（2，0）；
（2）①如图1，当AQ：QC＝1：2时，即AM：CN＝1：2，
∴CN＝2AM＝2，
把x＝﹣2代入反比例函数的关系式y＝得，y＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣2），
∵点B（2，2），
∴BC＝＝4；
②如图2，当QC：AQ＝1：2时，即CN：AM＝1：2，
∴CN＝AM＝，
把x＝﹣代入反比例函数的关系式y＝得，y＝﹣8，
∴C（﹣，﹣8），
∵点B（2，2），
∴BC＝＝；
答：BC的长为4或．
17．（2022秋•固镇县校级期中）如图，一次函数y＝kx+b图象与反比例函数图象交于A（﹣2，2）、B（n，﹣4）两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，不等式kx+b≥﹣的解集为 x≤﹣2或0＜x≤1 ．
解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式得：﹣4＝﹣，解得n＝1，
故点B的坐标为（1，﹣4），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故一次函数表达式为y＝﹣2x﹣2；
（2）令x＝0，则y＝﹣2x﹣2＝﹣2，即点D（0，﹣2），
则△AOB的面积＝S△ODB+S△ODA＝×OD×（xB﹣xA）＝×2×（1+2）＝3；
（3）从函数图象看，当x≤﹣2或0＜x≤1时，kx+b≥，
故答案为：x≤﹣2或0＜x≤1．
18．（2022•绵阳）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
解：（1）∵反比例函数y＝过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB＝＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8+）•（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2＝﹣（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y＝＝﹣4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
考点04：根据实际问题列反比例函数关系式
19．（2018秋•自贡期末）今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
解：由题意得y＝，即y＝，
故选：D．
20．（2021秋•长安区期末）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 y＝ （不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 1.2≤x≤3 ；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 1.6 m．
解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y＝．
故答案为：y＝．
（2）∵4≤y≤10，
即4≤≤10，
∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．
（3）当x＝7.5时，y＝＝1.6；
当y＝7.5时，＝7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．
故答案为：1.6．
21．（2019春•常州期末）某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是
解：由题意可得此函数解析式为反比例函数解析式，其为解析式为y＝．
当x＝2.5时，y＝7.2，
可得：7.2＝，
解得k＝18
∴反比例函数是y＝．
故答案为：y＝．
22．（2017春•灌云县月考）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
则y关于x的函数关系式是 y＝ ．
解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y＝，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400＝，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y＝．
故答案为：y＝．
23．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
考点05：反比例函数的应用
24．物理学有这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数，可以表示成P＝．如图，放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上底面积是下底面积的，此时圆台对桌面的压强为100Pa，若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是（ ）
A．200PaB．PaC．400PaD．Pa
解：依题意，得F＝PS，
设上底面积为V，则下底面积为4V，
当下底向下时，F＝100×4V＝400V，压力不变，
故上底向下时，压强P＝＝＝400pa．
故选：C．
25．（2022•东西湖区模拟）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
D、由题意得＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
26．（2022春•钱塘区期末）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I＝．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是 20≤R≤60 ．
解：由题意得：
I＝，
∵当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A，
∴U＝IR＝0.3×40＝12（V），
∴I＝，
当0.2≤I≤0.6时，
∴0.2≤≤0.6，
∴20≤R≤60，
故答案为：20≤R≤60．
27．（2021秋•开江县期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是 0.4 厘米．
解：设y与x之间的函数表达式为y＝，
∴7＝，
∴k＝14，
∴y与x之间的函数表达式为y＝；
当y≥35时，即≥35，
∴x≤0.4，
∴此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
故答案为：0.4．
28．（2022秋•市中区校级月考）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）．
（1）分别求出0＜x＜8和8＜x＜t时的函数关系式，并求出t的值．
（2）两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得 ，
解得：，
∴y＝10x+20（0≤x≤8）；
当8＜x＜t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
解得m＝800，
∴y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：x＝40，即t＝40，
∴y＝（8＜x＜40）；
（2）在y＝10x+20中，令y＝40得x＝2，
在y＝中，令y＝40得x＝20，
∵20﹣2＝18，
∴两次加热之间，水温保持不低于40℃有18分钟；
（3）∵50﹣40＝10＞8，
∴当x＝10时，y＝＝80，
答：开机后50分钟时，水的温度是80℃．
29．（2022春•鄞州区期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．燃尽后y与x成反比例（1）求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量．
（2）画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为y＝k1x（k1≠0），由题意得：8＝10k1，
∴k1＝，
∴此阶段函数解析式为y＝x（0≤x≤10），
当x＝5时，y＝4，
故第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量为4毫克．
（2）设药物燃烧结束后函数解析式为y＝（k2≠0），由题意得：，
∴k2＝80，
∴此阶段函数解析式（x≥10），
其图象如下：
（3）当y＞1.6时，得，
解得x＜2，
当y＞1.6时，得，
∵x＞0，
∴1.6x＜80，
解得x＜50．
即从消毒开始2分钟到50分钟之间时学生不能停留在教室里．
30．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
31．（2020秋•河东区期末）如图，取一根长1米长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
结果老师发现其中有一个数据明显有错误，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当L＝ 1 cm时的数据是错了；
（2）被墨水涂黑了的数据你认为大概是 6.1 ；
（3）你能求出F与L的函数关系式吗？
（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．
解：根据杠杆原理知 F•L＝25×9.8．
（1）当L＝1cm时，F＝245牛顿．所以表格中数据错了；
（2）当L＝40cm时，F＝245÷40≈6.1（牛顿 ）．故答案为 6.1；
（3）F＝，（0＜L≤50）．
（4）函数图象如图：
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
年度
2008
2009
2010
2011
投入技术改进资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元∕件）
7.2
6
4.5
4
y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
L/cm
1
10
15
20
25
30
35
40
45
F/牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4
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