江西省湖口中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份江西省湖口中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列中，若，则n的值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
3．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A．28B．20C．18D．12
4．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法
A．B．C．D．
6．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
7．斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写《算盘全书》(LiberAbacci)一书中研究的一个著名数列，，，，，，，，，，该数列是数学史中非常重要的一个数列．它与生活中许多现象息息相关，如松果、凤梨、树叶的排列符合该数列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切．已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为，其前项和为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球的个数为，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加B．减小C．增加D．减小
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数满足则函数在处切线斜率为
B．函数在区间上存在增区间，则
C．函数在区间上有极值点，则
D．若任意，都有，则有实数的最大值为
11．已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
12．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在区间上有两个不同的平均值点，则m的取值不可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（共20分）
13．函数，则__________．
14．已知，，则的通项公式为______．
15．已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则__________．
16．已知，且，则的最小值为__________.
四、解答题（共70分）
17．数列的前项和满足，且．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
18．某调查机构为了解人们对某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了份进行统计，得到如下列联表：
（1）请根据调查结果分析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；
（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人参加某项活动，记被抽中参加该项活动的女性人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
19．如图，正方体中，分别为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值：
(2)若，讨论函数的零点个数．
21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆左焦点为，求的面积.
22．已知函数.
(1)在当时，分别求和过点的切线方程；
(2)若，求的取值范围.
答案
1．D
由，得，令，则，解得，所以，.
故选：D.
2．B
由等差数列下标和性质知：，，
因为，故，
又，
故，所以.
故选：B.
3．A
根据题意得，，解得或（舍），
则.
故选：A.
4．B
函数的定义域为，
，
令，得，解得，
故函数的单调递增区间为．
故选：B．
5．D
若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有种，
物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，
与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的排法.
故选：D.
6．C
由得，.
令，
则，
令，解得，
所以当时，，则在内单调递增；
当时，，则在内单调递减；
所以在处取得极大值，即最大值为，
则的图象如下图所示：
由有且仅有一个不动点，可得得或，
解得或.
故选：C
7．D
由已知，斐波那契数列的递推公式为，∴，
∴，，，，，
上式累加，得，
∴，
∴.
故选：D.
8．D
令，，
因为为奇函数，所以，
则函数是定义在上的奇函数，则，
因为当时，，所以，
则函数在上单调递减，则函数在上是奇函数且单调递减，
又因为等价于，即，
所以，且，所以.
故选：D.
9．BC
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，其中红球的个数服从超几何分布，，，则．
故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球的个数为，
易知随机变量服从两点分布，故，
所以，随着的增加，减小；
，
随着的增加，增加．
故选：BC
10．ABD
对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；
对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，
所以，故B正确；
对于C，由，可得，
则在区间上有变号零点，即在区间上有解，
又，当时，，函数没有极值，
故，故C错误；
对于D，令，则，
所以，函数单调递增，，函数单调递减，
又任意，都有，即，
故，即实数的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11．AD
因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B不正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：AD.
12．AD
因为函数在区间上有两个不同的平均值点，
则有两个不同的根，
整理得，
构建，则原题意等价于与有两个不同的交点，
因为，令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，
因为，
所以m的取值不可能是.
故选：AD.
13．
因为函数，所以，故.
故答案为：.
14．
，①．②
由得．
又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即．
故答案为：
15．2
由题意可知：,解得.
所以，
所以，
所以.
故答案为：2.
16．1
因为，，所以，所以，且，
所以，
设，，
则，因为，所以，在上为增函数，
因为，所以，则，所以，
所以，
令，则，
令，则，则在上为增函数，
令得，即，
则存在唯一实数，使得，即，
所以当时，，，当时，，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
（1）因为，当时，又可得，
当时，作差得，即，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，
所以，，
所以，
所以
.
18．（1）有把握认为使用该产品与性别有关（2）详见解析
（1）由题中数据可得,
，
由于，所以有把握认为使用该产品与性别有关．
（2）由列联表知，不使用该产品的人数为，其中男性人，女性人，按性别用分层抽样抽取人则男性应抽取人，女性应抽取人，再从中随机抽取人参加某项活动，记女生的人数为，则的所有可能取值为：，，，
且，，，
所以的概率分布列为
数学期望为：．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，
则，，，，，，.
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，则由
令，可得，所以，
因为，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）解：由（1）得，，
设直线与平面所成的角为，
则.

20．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值
(2)答案见解析
（1）∵定义域为，，
又恒成立，
∴当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
所以极小值为，无极大值．
（2）当时，，当时，，结合（1）中结论作出函数图象如图：
的零点个数等价于与的交点个数；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与有两个不同交点；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与无交点；
综上所述：当时，有唯一零点；
当时，有两个不同零点；
当时，无零点．
21．(1)
(2)
（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.
（2） 消去，整理得，解得，，
如图

则，，则，
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为.
22．(1)
(2){1}
（1）设过点的切线与的切点为.
由，则切线方程为，
把代入得，，故切线方程为.
当时，，因在的图象上，故为切点，
故，则切线方程为.
（2）由，得.
则，令
则，
①当时，，
所以在R上为增函数.
∵，
∴，使，故，
当时，，单调递减，
当时，，不符合题意.
②当时，，，
∵恒成立，∴在R上恒增，且
故，当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
∴，恒成立，∴.
③当时，，
在上单调递增，
且，故在上单调递增，
又，，
则，使，故，
当时，，单调递增，
当时，，不符合题意.
④当时，由，不符合题意
综上，a的取值范围{1}.
0
1
2
P
a
男性
女性
合计
使用
15
5
20
不使用
10
20
30
合计
25
25
50
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828