2022-2023学年浙江省杭州十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 3− 2=1C. 8− 2= 2D. (−4)2=−4
3. 若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，那么数据a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均数为( )
A. 3B. 4C. 5.D. 6
4. 若xm2−2+x−3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )
A. 2B. −2C. 0D. 2或−2
5. 用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设( )
A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
6. 若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
7. 为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为( )
A. 40%B. 50%C. 60%D. 70%
8. 若x1，x2是方程x2+x−2=0的两实数根，则x12−x2+2的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
9. 如图，在平行四边形ABCD中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，且B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为( )
A. aB. 4a3C. 5a3D. 2a
10. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连结OE，2AB=BC=AC，S△AOE=4 15，则AB的长为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若二次根式 3a−6有意义，则a的取值范围是______ ．
12. 已知一组数据1，2，4，5，x的平均数为4，则这组数据的方差为______ ．
13. 若a为方程x2−3x−6=0的一个根，则代数式−3a2+9a−5的值为______ ．
14. 如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，交BC于点F，折痕为BD，若∠CBD=∠CBE，∠E=120°，则∠DFC的度数为______ ．
15. 对于实数m，n，定义新运算m*n为：m*n=(m+n)(m+2n)+1.如果关于x的方程x*a=x有两个相等的实数根，则a= ______ ．
16. 如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，且点D与点H不重合，则下列结论正确的为______ ．
①图中有4个平行四边形；
②△DEF与△HFE全等；
③∠BFH−∠CEH=2∠DFH；
④当∠B=45°时，四边形DHEF的面积为18AB2．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(1)( 2)2− 9+ (−5)2；
(2)(2 6− 48)÷(2 3)．
18. (本小题8.0分)
解下列方程：
(1)x2−x−6=0；
(2)2(x−1)2−18=0．
19. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点且AF=CE．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)若AB=CE，∠BAC=82°，∠ABE=25°，求∠EDF的度数．
20. (本小题10.0分)
某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩(百分制)，进行整理，描述和分析如下：成绩得分用x表示(x为整数)，共分成四组：
A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x<100．
七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中______ 年级成绩更平衡，更稳定；
(2)直接写出图表中a，b的值：a= ______ ，b= ______ ；
(3)该校八年级共50人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀(x≥90)的学生人数？
21. (本小题10.0分)
“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______ 元/件；
(2)直接写出日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
22. (本小题12.0分)
已知关于x的方程x2−(k+3)x+2k+2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为x1，x2，若x1=3x2，求k值；
(3)若M=x12+x22+x1x2，证明：M≥3．
23. (本小题12.0分)
已知平行四边形ABCD，E为BC边上的中点．
(1)如图1，若BC=2CD，求证：DE平分∠ADC；
(2)若F为AB边上一点，连结DF，EF；
①如图2，若S△EFB=1，S△CDE=4，求S△DEF；
②如图3，若∠EFB+∠CDE=90°，请你写出线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 3与 2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、 3与− 2不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、 8− 2=2 2− 2= 2，故C符合题意；
D、 (−4)2=4，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：∵数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，
∴15(a1+a2+a3+a4+5)=3，
∴15(a1+1+a2+1+a3+1+a4+1+a5+1)=15(a1+a2+a3+a4+a5)=3+1=4，
∴数据a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均数为4．
故选：B．
根据数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为可知15(a1+a2+a3+a4+a5)=3，据此可得出15(a1+1+a2+1+a3+1+a4+1+a5+1)的值．
此题主要考查了平均数，熟记平均数是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵xm2−2+x−3=0是关于x的一元二次方程，
∴m2−2=2，
∴m=2或m=−2，
故选：D．
根据一元二次方程的定义可得m2−2=2，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角．
故选：C．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n−2)×180°，
依题意得：(n−2)×180°=360°×4，
解得：n=10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：D．
设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程(n−2)×180°=360°×4．
7.【答案】B
【解析】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，
根据题意得：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不符合题意，舍去)，
∴这两年该市绿化投资额的年平均增长率为50%．
故选：B．
设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，利用2023年该市的绿化投资额=2021年该市的绿化投资额×(1+这两年该市绿化投资额的年平均增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵x1是方程x2+x−2=0的根，
∴x12+x1−2=0，
∴x12=−x1+2，
∴x12−x2+2=−x1+2−x2+2
=−(x1+x2)+4，
∵x1，x2是方程x2+x−2=0的两实数根，
∴x1+x2=−1，
∴x12−x2+2=1+4=5．
故选：A．
先根据一元二次方程根的定义得到x12=−x1+2，则x12−x2+2化为−(x1+x2)+4，再利用根与系数的关系得到x1+x2=−1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
9.【答案】C
【解析】解：设平行四边形ABCD的面积是s，设AB=5m，BC=3n，AB边上的高是3x，BC边上的高是5y，
则s=5m⋅3x=3n⋅5y，
即mx=ny=s15，

由题意可知：△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=13BC=n，B2C边上的高是45×5y=4y，
则△AA4D2与△B2CC4全等的面积是12×n⋅4y=2ny=2s15，
同理△DD2C4与△A4BB2的面积是12×2n⋅y=ny=s15，
则四边形A4B2C4D2的面积是s−2s15−2s15−s15−s15=3s5，
∴3s5=a，
解得s=5a3，
∴平行四边形ABCD的面积为5a3．
故选：C．
可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
本题考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
设AB=BE=a，
∵2AB=BC=AC，BC=BE+EC，
∵E是BC的中点，
在平行四边形ABCD中，OA=OC，
∴S△COE=S△AOE=12S△ACE，
∴S△ACE=2S△AOE=8 15，
又∵E是BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC，
∴S△ABC=2S△ACE=16 15，
如图作AF⊥CB于F，
∴AF⋅BC=32 15，
∵AB2−BF2=AC2−CF2，
∴a2−BF2=(2a)2−(2a−BF)2，
∴BF=a4，
∴AF= a2−(a4)2= 15a4，
∴2a⋅ 15a4=32 15，
∴a=8(负值舍去)，
∴AB=8，
故选：A．
根据AE平分∠BAD交BC于点E，得∠BAE=∠DAE，再根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11.【答案】a≥2
【解析】解：二次根式 3a−6有意义，
则3a−6≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
直接利用二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵数据1，2，4，5，x的平均数是4，
∴(1+2+4+5+x)÷5=4，
∴x=8，
∴这组数据的方差15[(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(8−4)2]=6，
故答案为：6．
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13.【答案】−23
【解析】解：∵a为方程x2−3x−6=0的一个根，
∴a2−3a−6=0，
∴a2−3a=6，
∴−3a2+9a−5=−3(a2−3a)−5=−3×6−5=−23．
故答案为：−23．
先根据一元二次方程根的定义得到a2−3a=6，则−3a2+9a−5=−3(a2−3a)−5，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.【答案】140°
【解析】解：∵将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，
∴∠E=∠A=120°，∠ABD=∠DBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABC=180°−∠A=60°，
∵∠CBD=∠CBE，
∴∠CBD=12∠DBE=12∠ABD，
∴∠DBC=13∠ABC=13×60°=20°，
∴∠CBE=∠CBD=20°，
∴∠DFC=∠E+∠CBE=140°，
故答案为：140°．
根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】3±2 3
【解析】解：∵x*a=x，
∴(x+a)(x+2a)+1=x，
即：x2+(3a−1)x+2a2+1=0．
∵关于x的方程x*a=x有两个相等的实数根，
∴Δ=(3a−1)2−4(2a2+1)=0，
解得：a=3±2 3．
故答案为：3±2 3．
利用新运算的规定将原方程变形，再利用Δ=0列出关于a的方程解答即可．
本题主要考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，本题是新定义型，理解新定义的规定并正确应用是解题的关键．
16.【答案】②③④
【解析】解：①∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴EF=12BC=BD，EF//BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
同理得：四边形CDFE是平行四边形，四边形AFDE是平行四边形，
即图中有3个平行四边形；
故①不正确；
②∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴HE=12AC，DF=12AC，
∴DF=HE，
同理得：DE=FH，
∵FE=EF，
∴△DEF≌△HFE(SSS)，
故②正确；
(2)∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DF//AC，DE//AB，
∴∠BAC=∠BFD，∠BAC=∠CED，
∵DF=EH，FH=DE，DH=HD，
∴△FDH≌△EHD(SSS)，
∴∠DFH=∠DEH，
∴∠BFH−∠CEH=∠BFD+∠DFH−(∠CED−∠DEH)=2∠DFH；
故③正确；
④∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=BH，AH2+BH2=AB2，
∴AH2=12AB2，
∵EF//DH，
∴四边形DHEF的面积=12⋅12AH⋅(FE+DH)=14⋅BH⋅AH=18AB2．
故④正确；
本题正确的结论有：②③④
故答案为：②③④．
①根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定可作判断；
②根据垂直的定义得到∠AHB=∠AHC=90°，根据三角形中位线定理和直角三角形的斜边中线的性质即可得到：DF=HE，DE=FH，可得△DEF≌△HFE，作判断；
③根据三角形的中位线定理和平行线的性质得：∠BAC=∠BFD，∠BAC=∠CED，根据SSS证明△FDH≌△EHD(SSS)，再根据角的和与差可作判断；
④根据等腰直角三角形的性质，勾股定理和梯形的面积公式可作判断．
本题考查了平行四边形的判定，梯形的面积公式，三角形的中位线定理，三角形全等的性质和判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)( 2)2− 9+ (−5)2
=2−3+5
=4；
(2)(2 6− 48)÷(2 3)
=2 6÷2 3−4 3÷2 3
= 2−2．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
(2)根据二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−x−6=0，
(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
∴x1=3，x2=−2；
(2)2(x−1)2−18=0，
(x−1)2=9，
∴x−1=±3，
∴x1=4，x2=−2．
【解析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)利用直接开平方法求解即可．
本题考查的是利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
AD=BC∠DAF=∠BCEAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD=∠CEB，DF=BE，
∴DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=82°，
∴AB=CD=CE，AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC=82°，∠ABD=∠CDB，
∴∠CED=∠EDC=12(180°−∠DCE)=49°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EBD=∠FDB，
∴∠ABD−EBD=∠CDB−∠FBD，
∴∠CDF=∠ABE=25°，
∴∠EDF=EDC−∠CDF=24°．
【解析】(1)首先证明△ADF≌△CBE(SAS)，得出∠AFD=∠CEB，DF=BE，再由平行线的判定可得DF//BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AB=CD=CE，AB//CD，根据平行线的性质得到∠DCA=∠BAC=82°，∠ABD=∠CDB，求得∠CED=∠EDC=12(180°−∠DCE)=49°，根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】七 93 96
【解析】解：(1)因为两个年级的平均数相同，而七年级的方差比八年级小，
所以七年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：七；
(2)把七年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90，96，故中位数a=90+962=93；
在七年级10名学生的成绩中，96出现的次数最多，故众数b=96．
故答案为：93；96；
(3)因为八年级的中位数是93，八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94，
所以有5个学生的成绩比93大，所以被抽取的10名学生的成绩有7人成绩优秀，
50×710=35(人)．
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀(x≥90)的学生人数大约有35人．
(1)根据方差的意义解答即可；
(2)根据中位数和众数的定义解答即可；
(3)用50乘样本中成绩优秀(x≥90)的学生人数所占比例即可．
本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，掌握相关统计量是解决问题的关键．
21.【答案】105
【解析】解：(1)110−30−202
=110−102
=110−5
=105(元/件)，
∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件．
故答案为：105；
(2)根据题意得：y=20+2(110−x)=−2x+240，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
∴日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式为y=−2x+240(70≤x≤99)；
(3)根据题意得：(x−70)(−2x+240)=1200，
整理得：x2−190x+9000=0，
解得：x1=90，x2=100(不符合题意，舍去)．
答：该产品的售价每件应定为90元．
(1)利用售价=110−日销售量−202，即可求出结论；
(2)利用日销售量=20+2×(110−售价)，即可找出日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式；
(3)利用电商每天销售该产品获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】(1)证明：∵Δ=(k+3)2−4(2k+2)
=k2−2k+1
=(k−1)2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：x=k+3±(k−1)2，
解得x=k+1或x=2，
当k+1=3×2时，解得k=5，
当2=3(k+1)时，解得k=−13，
综上所述，k的值为5或−13；
(3)证明：根据根与系数的关系得x1+x2=k+3，x1x2=2k+2，
∴M=(x1+x2)2−x1x2
=(k+3)2−(2k+2)
=k2+4k+7
=(k+2)2+3，
∵(k+2)2≥0，
∴(k+2)2+3≥3，
即M≥3．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ=(k−1)2≥0，则根据一元二次方程根的判别式的意义得到结论；
(2)先利用求根公式法解方程得到x=k+1或x=2，所以k+1=3×2或2=3(k+1)，然后分别解一次方程即可；
(3)先根据根与系数的关系得x1+x2=k+3，x1x2=2k+2，则M=(k+2)2+3，然后利用非负数的性质可得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
23.【答案】(1)证明：∵E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2CD，
∴CD=CD，
∴∠CDE=∠CED，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
(2)①解：延长FE，交DC延长线于点G，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠FBE=∠GCE，∠BFE=∠CGE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEG中，
∠BFE=∠CGE∠FBE=∠GCEBE=CE，
∴△BEF≌△CEG(AAS)，
∴EF=EG，S△BEF=S△CEG，
∵S△EFB=1，S△CDE=4，
∴S△CEG=1，
S△DEG=S△CDE+S△CEG=4+1=5，
∵EF=EG，
∴S△DEF=S△DEG=5；
②DF=AF+2BF，证明如下：
延长FE，交DC延长线于点G，如图，

由①可知，△BEF≌△CEG，
∴EF=EG，BF=CG，∠EFB=∠EGC，
∵∠EFB+∠CDE=90°，
∴∠EGD+∠GDE=90°，即DE⊥FG，
∴△DFG为等腰三角形，DF=DG，
∴DF=DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF，
即DF=AF+2BF．
【解析】(1)根据线段中点的定义得BC=2BE=2CE，进而得CD=CD，由等边对等角得∠CDE=∠CED，再由平行线的性质得到∠ADE=∠CED，则∠ADE=∠CDE，据此即可证明；
(2)①延长FE，交DC延长线于点G，易通过AAS证明△BEF≌△CEG，得到EF=EG，S△BEF=S△CEG，于是S△DEF=S△DEG=S△CDE+S△CEG；
②延长FE，交DC延长线于点G，由①知△BEF≌△CEG，则EF=EG，BF=CG，∠EFB=∠EGC，于是得到∠EGD+∠GDE=90°，根据中线和高合一的三角形为等腰三角形可得△DFG为等腰三角形，DF=DG，以此即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据题意，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
a
b
34.6
八年级
92
93
100
41.4