2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知等差数列{an}前15项和为45，若a3=−10，则a13=( )
A. 16B. 55C. −16D. 35
2. 设f(x)在x=x0处可导，则Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)2Δx=( )
A. 12f′(x0)B. 2f′(−x0)C. f′(x0)D. 2f′(x0)
3. 已知等比数列{an}，且a1=1，a5=5，则a3的值为( )
A. 3B. 5C. ± 5D. 52
4. 已知数列{an}满足a1=0，an+1=an− 3 3an+1(n∈N*)，则a20=( )
A. 0B. − 3C. 3D. 32
5. 设函数f(x)=x2−12，f′(x)是f(x)的导数，则函数g(x)=f′(x)csx的部分图象可以为( )
A. B.
C. D.
6. 5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有( )
A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种
7. 定义np1+p2+⋯+pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数{an}的前n项的“均倒数”为13n+1，又bn=an+26，则1b1b2+1b2b3+…+1b9b10=( )
A. 111B. 1011C. 1112D. 910
8. 已知函数f(x)=x2+4x+2,x≤0elnxx,x>0，若函数g(x)=f(x)−3m有4个不同的零点，则m的取值范围是( )
A. (0,23)B. (−23,23)C. (0,13)D. (−23,13)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列选项正确的是( )
A. y=ln2，则y′=12B. f(x)=1x2，则f′(3)=−227
C. (x3ex)′=3x2ex+x3exD. (2sinxx2)′=2csx2x
10. 关于(1x−2x)7的二项展开式，下列说法正确的是( )
A. 二项式系数和为128B. 各项系数和为−7
C. x−1项的系数为−280D. 第三项和第四项的系数相等
11. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3=12，S12>0，a7<0，则( )
A. a6>0B. −247C. Sn<0时，n的最小值为14D. 数列{Snan}中最小项为第7项
12. 已知函数f(x)满足xf′(x)+f(x)=lnx+1，f(1)=2，则当x>0时，下列说法正确的是( )
A. f(2)=ln2+1B. x=2是函数f(x)的极大值点
C. 函数y=f(x)−x有且只有一个零点D. 存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=ln(x+1)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为______ ．
14. 二项式(1+3x)(1−2x)5的展开式中的x4项的系数为______ ．
15. 如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为______ ．
16. 已知数列{an}满足an=1,n=1lgn(n+1),n≥2,n∈N*，定义使a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1,2022]内所有“幸福数”的和为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7=1，S4=−32．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
18. (本小题12.0分)
设x=−3是函数f(x)=ax3+bx2−3x+c的一个极值点，曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为8．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在闭区间[−1,1]上的最大值为10，求c的值．
19. (本小题12.0分)
(1)高二(10)班元旦晚会有2个唱歌节目a和b；2个相声节目c和d.要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列．
(2)甲乙丙丁戊已庚7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少种不同排法？(结果用数字表示)
(3)从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训，要求有男有女且至少有2名男教师参加，有多少种不同的选法？(结果用数字表示)
20. (本小题12.0分)
如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B300km的A处有一批药品要尽快送达海岛.现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h.(参考数据： 3≈1.7)
(1)写出运输时间t(x)关于x的函数；
(2)当C选在何处时运输时间最短？
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，当n∈N*时，Sn+2=2an；数列{bn}中，b1=1.直线x−y+1=0经过点P(bn,bn+1).
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式an和bn；
(2)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn，并求Tn<2022的最大整数n．
22. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ex−ax−2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a=1且当x>0时(x−k)f′(x)+x+1>0，求整数k的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：依题意152(a1+a15)=45，
所以a1+a15=6，
根据等差数列的性质可得，a3+a13=6，
所以a13=16．
故选：A．
结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的简单应用，属．于基础试题
2.【答案】A
【解析】解：f(x)在x=x0处可导，则Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)2Δx=12△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=12f′(x0)．
故选：A．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：等比数列{an}，且a1=1，a5=5，
则a32=a1a5=5，解得a3= 5(负值舍去)．
故选：B．
根据已知条件，结合等比中项的性质，即可求解．
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解；由题意知：
∵an+1=an− 3 3an+1(n∈N*)
∴a1=0,a2=− 3,a3= 3,a4=0,a5=− 3,a6= 3…
故此数列的周期为3．
所以a20=a2=− 3．
故选B
经过不完全归纳，得出a1=0,a2=− 3,a3= 3,a4=0,a5=− 3,a6= 3，…发现此数列以3为周期的周期数列，根据周期可以求出a20的值．
本题主要考查学生的应变能力和不完全归纳法，可能大部分人都想直接求数列的通项公式，然后求解，但是此方法不通，很难入手．属于易错题型．
5.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=x2−12，
∴f′(x)=2x，
则g(x)=2xcsx，
由g(−x)=−2xcs(−x)=−2xcsx=−g(x)，
得g(x)是奇函数，
故选项B，C排除，
由x∈(0,π2)时，g(x)>0，
故选：A．
求出f(x)的导数，求出g(x)的解析式，根据函数的奇偶性排除B，C，取x∈(0,π2)时，得g(x)>0，求出答案即可．
本题考查了函数的奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意正确的分组，属于基础题．
根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，②将分好的三组安排到3个小区，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1、2、2的三组，有C52C32C11A22=15种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有C53=10种分组方法，
则有10+15=25种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有A33=6种情况，
则有25×6=150种不同的安排方法，
故选：C．

7.【答案】D
【解析】解：由题意知，na1+a2+⋅⋅⋅+an=13n+1，
所以a1+a2+…+an=n(3n+1)，
当n≥2时，a1+a2+…+an−1=(n−1)(3n−2)，
两式相减得，an=6n−2(n≥2)，
当n=1时，a1=1⋅(3+1)=4，满足上式，
所以an=6n−2(n∈N*)，
所以bn=an+26=6n+2−26=n，
所以1b1b2+1b2b3+…+1b9b10=11×2+12×3+…+19×10=(1−12)+(12−13)+…+(19−110)=1−110=910．
故选：D．
根据“均倒数”的含义，利用an=Sn−Sn−1(n≥2)，可求得an，从而知bn，再由裂项求和法，得解．
本题考查数列的求和，熟练掌握利用an=Sn−Sn−1(n≥2)求通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：若g(x)=f(x)−3m有4个不同零点，则y=f(x)与y=3m有4个不同交点，
当x>0时，f(x)=elnxx，则f′(x)=e(1−lnx)x2，
.当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)在(0,e)上单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0；f(x)在(e,+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(e)=1，
又当x>1时，f(x)>0恒成立，f(1)=0，
由此可得y=f(x)与y=3m大致图象如下图所示，

由图象可知：当0<3m<1，即0∴实数m的取值范围为(0,13).
故选：C．
将问题转化为y=f(x)与y=3m图象有4个不同交点，利用导数可求得x>0时f(x)的单调性和最值，由此可得f(x)的图象，采用数形结合方式可求得m的取值范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=ln2，则y′=0，A错误；
对于B，f(x)=1x2=x−2，其导数f′(x)=−2x3，则f′(3)=−227，B正确；
对于C，(x3ex)′=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex，C正确；
对于D，(2sinxx2)′=2(sinxx2)′=2×x2⋅csx−2x⋅sinxx4=2xcsx−4sinxx3，D错误．
故选：BC．
根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由题知，(1x−2x)7中二项式系数和为27=128，故A正确；
将x=1代入二项式中可得各项系数和为(−1)7=−1，故B错误；
在(1x−2x)7中，第r+1项Tr+1=C7r(1x)7−r⋅(−2x)r=C7r⋅(−2)r⋅x2r−7，
取2r−7=−1，即r=3，
所以T4=C73⋅(−2)3⋅x−1=−280x−1，
所以x−1项的系数为−280，故C正确．
在(1x−2x)7中，根据Tr+1=C7r(1x)7−r⋅(−2x)r=C7r⋅(−2)r⋅x2r−7，
得第三项的系数为C72⋅(−2)2=84，第四项的系数为C73⋅(−2)3=−280，
因为84≠−280，所以D错误；
故选：AC．
对于A，根据二项式系数和为2n即可判断；对于B，赋值法即可判断；对于C，根据通项为Tr+1=C7r⋅(−2)r⋅x2r−7，取2r−7=−1计算即可判断；对于D，根据第三项的系数为84，第四项的系数为−280，即可判断．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d．
由S12>0，可得12(a1+a12)2=6(a6+a7)>0，则a6+a7>0，
又a7<0，则a6>0，则选项A判断正确；
由a3=12，S12>0，a7<0，可得a1+2d=1212a1+66d>0a1+6d<0，
解之得−247Sn=na1+n(n−1)2d=n(12−2d)+n(n−1)2d=d2n2+(12−52d)n，
由d2n2+(12−52d)n<0可得n>5−24d或n<0(舍)，
由−247则Sn<0时，n的最小值为13.则选项C判断错误；
由n∈[1,6]时，an>0，n≥7时，an<0，n∈[1,12]时，Sn>0，n≥13时，Sn<0，
可得n∈[7,12]时，an<0，Sn>0，Snan<0，n∉[7,12]时，Snan>0，
二次函数y=d2x2+(12−52d)x开口向下，过原点，对称轴x=52−12d∈(6,132)，
则在n∈[7,12]时，Sn=d2n2+(12−52d)n单调递减，且Sn>0，
又n∈[7,12]时，{an}为递减数列，{|an|}为递增数列，{|1an|}为递减数列，
则在n∈[7,12]时，数列{Snan}为递增数列，则n=7时Snan取得最小值，
则数列{Snan}中最小项为第7项，则选项D判断正确．
故选：ABD．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验合选项即可判断．
本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：∵(xf(x))′=xf′(x)+f(x)，且(xlnx)′=lnx+1，
∴xf(x)=xlnx+c，则f(x)=lnx+cx，
又∵f(1)=c=2，
故f(x)=lnx+2x，且定义域为(0,+∞)，
对A：f(2)=ln2+1，A正确；
对B：f′(x)=1x−2x2=x−2x2，
令f′(x)>0，则x>2；令f′(x)<0，则0则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
故x=2是函数f(x)的极小值点，B错误；
对C：构建g(x)=f(x)−x=lnx+2x−x，则g′(x)=1x−2x2−1=−2(1x−14)2−78<0，
则g(x)在定义域(0,+∞)内单调递减，且g(1)=1>0，g(2)=ln2−1<0，
∴函数y=f(x)−x有且只有一个零点，C正确；
对D：若f(x)>kx，即lnx+2x>kx，且x>0，可得xlnx+2x2>k，
构建F(x)=xlnx+2x2(x>0)，则F′(x)=x−xlnx−4x3，
构建φ(x)=x−xlnx−4，x>0，则φ′(x)=−lnx，
令φ′(x)<0，则x>1；令φ′(x)>0，则0则φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，可得φ(x)≤φ(1)=−3<0，
故F′(x)<0在定义域内恒成立，故F(x)在定义域内单调递减，
且当x趋近正无穷大时，F(x)趋近于0，且大于0，
所以k≤0．
故不存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立，D错误；
故选：AC．
根据题意结合导数运算可得：f(x)=lnx+2x.对A：代入运算即可；对B：求导，利用导数求极值点；对C：构建g(x)=f(x)−x，利用导数判断单调性，并结合零点存在性定理分析判断；对D：根据题意分析可得：xlnx+2x2>k，构建F(x)=xlnx+2x2，利用导数结合恒成立问题分析运算．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数的性质及零点判定定理，属于中档题．
13.【答案】x−2y+2ln2−1=0
【解析】解：∵函数f(x)=ln(x+1)，f(1)=ln2，
∴f′(x)=1x+1，
∴x=1时，f′(1)=12，
∴函数f(x)=ln(x+1)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=12(x−1)，即x−2y+2ln2−1=0．
故答案为：x−2y+2ln2−1=0．
求导函数，可得切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
14.【答案】−160
【解析】解：(1−2x)5的通项公式为Tr+1=C5r(−2x)r=C5r(−2)rxr，
故二项式(1+3x)(1−2x)5的展开式中的x4项的系数为1×C54×(−2)4+3×C53×(−2)3=−160．
故答案为：−160．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】84
【解析】解：按照使用了多少种颜色分三类计数：
第一类：使用4种颜色，有A44=24种；
第二类：使用3种颜色，必有2块区域同色，有C43C31C21A22=48种；
第三类：使用2种颜色，必然是A与C同色，且B与D同色，有C42A22=12种，
所以不同的信号总数为24+48+12=84种．
故答案为：84．
按照使用了多少种颜色分类计数，再根据分类加法计数原理可得结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
16.【答案】2036
【解析】
【分析】
用换底公式化简an之后，将a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak表示出来，找出满足条件的“幸福数”，再利用等比数列的前n项和公式，即可得解．
本题考查数列的求和，熟练掌握等比数列的前n项和公式，对数的换底公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【解答】
解：当n≥2时，an=lgn(n+1)=lg(n+1)lgn，
所以a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak=1×lg3lg2×lg4lg3×…×lg(k+1)lgk=lg(k+1)lg2=lg2(k+1)，
若满足a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak为正整数，则k+1=2n，即k=2n−1，
要使“幸福数”在[1,2022]内，则k=2n−1≤2022，解得n≤10，
所以区间[1,2022]内所有“幸福数”的和为(21−1)+(22−1)+…+(210−1)=2(1−210)1−2−10=2036．
故答案为：2036．

17.【答案】解：(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a7=1，S4=−32．
∴a1+6d=14a1+4×32d=−32，
解得a1=−11，d=2，
∴数列{an}的通项公式an=−11+(n−1)×2=2n−13．
(2)Sn=−11n+n(n−1)2×2=n2−12n=(n−6)2−36．
∴n=6时，Sn的最小值为−36．
【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)由等差数列{an}的通项公式和前n项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
(2)求出Sn=n2−12n=(n−6)2−36.从而n=6时，Sn的最小值为−36．
18.【答案】解：(1)f′(x)=3ax2+2bx−3，由已知得f′(−3)=0f′(1)=8，
得27a−6b−3=03a+2b−3=8，解得a=1，b=4．
于是f′(x)=3x2+8x−3=(x+3)(3x−1)，
由f′(x)>0，得x<−3或x>13，由f′(x)<0，得−3可知x=−3是函数的极大值点，a=1，b=4符合题意，
所以f(x)的单调递增区间是(−∞,−3)和(13,+∞)，单调递减区间是(−3,13)．
(2)由(1)知f(x)=x3+4x2−3x+c，
因为f(x)在区间[−1,13)上是单调递减函数，在(13,1]上是单调递增函数，
又f(1)=2+c所以f(x)的最大值为f(−1)=6+c=10，解得c=4．
【解析】(1)求导后，根据f′(−3)=0f′(1)=8求出a，b，再利用导数可求出单调区间；
(2)根据(1)中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)歌唱节目记为a，b，相声节目记为c，d，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：
acdb，adcb，bcda，bdca，共4种．
(2)甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，
再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有A33A33A42=432种．
(3)选2名男教师与2名女教师，共有C42C52=60种，
选3名男教师与1名女教师，共有C43C51=20种，
所以共有60+20=80种．
【解析】(1)利用排列的定义即得；
(2)利用捆绑法，插空法即得；
(3)由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意知|OC|= 1202+x2,|AC|=300−x，
∴t(x)= 1202+x250+300−x100(0≤x≤300)；
(2)t′(x)=12(1202+x2)−12×2x50−1100=x50 1202+x2−1100，
令t′(x)=0，得x=40 3，
当00，
所以x=40 3≈68时，t(x)取最小值，
所以当点C选在距B点68km时运输时间最短．
【解析】(1)根据题意先求出OC和AC，然后利用勾股定理以及时间=距离÷速度，即可得到答案；
(2)对f(x)进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵Sn+2=2an，即Sn=2an−2，
∴Sn−1=2an−1−2(n≥2)，
两式相减得，an=2an−2an−1，即an=2an−1，得anan−1=2(n≥2)，
又a1=S1，∴a1=2a1−2，即a1=2，
故数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an=2n，
∵点P(bn,bn+1)在直线x−y+1=0上，
∴bn−bn+1+1=0，
∴bn+1−bn=1，即数列{bn}是等差数列，
又b1=1，∴bn=1+1⋅(n−1)=n．
(2)∵cn=anbn，∴cn=n⋅2n，
∴Tn=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn=1×2+2×22+3×23+⋅⋅⋅+n⋅2n，
∴2Tn=1×22+2×23+…+(n−1)×2n+n×2n+1，
两式相减得，−Tn=21+22+23+⋅⋅⋅+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
∴Tn=(n−1)⋅2n+1+2，
当n∈N*时，Tn=(n−1)⋅2n+1+2单调递增，
当n=7时，Tn=1538；当n=8时，Tn=3586，
故满足Tn<2022的最大整数n=7．
【解析】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的概念、通项公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)结合an=Sn−Sn−1(n≥2)与等比数列的概念、通项公式，可求得数列{an}的通项公式；根据等差数列的概念、通项公式，可求得数列{bn}的通项公式；
(2)利用错位相减法求出Tn，再结合指数函数的单调性，并分别计算T7和T8的值后，即可得解．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=ex−a，
若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在R上单调递增；
若a>0，由f′(x)=0，解得x=lna．
当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表：
所以f(x)的单调减区间是：(−∞,lna)，增区间是：(lna,+∞)．
(2)由于a=1，所以(x−k)f′(x)+x+1=(x−k)(ex−1)+x+1，
故当x>0时，(x−k)f′(x)+x+1>0等价于k0)①，
令g(x)=x+1ex−1+x，则g′(x)=ex(ex−x−2)(ex−1)2，
而函数f(x)=ex−x−2在(0,+∞)上单调递增，f(1)<0，f(2)>0，
所以f(x)在(0,+∞)存在唯一的零点，
故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零点，
设此零点为a，则a∈(1,2)，
当x∈(0,a)时，g′(x)<0；当x∈(a,+∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(a)，
又由g′(a)=0，可得ea=a+2，所以g(a)=a+1∈(2,3)，
由于①式等价于k【解析】(1)分类讨论，利用导数的正负，可求f(x)的单调区间；
(2)当x>0时，(x−k)f′(x)+x+1>0等价于k0)，令g(x)=x+1ex−1+x，求最值，即可求k的最大值．
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导、确定函数的单调性是关键．
x
(−∞,lna)
lna
(lna,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
减
极小值
增