2022-2023学年北京五十七中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京五十七中高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−12S2”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 函数f(x)=x，g(x)=x2−x+2.若存在x1,x2…,xn∈[0,92]，使得f(x1)+f(x2)+…+f(xn−1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+…+g(xn−1)+f(xn)，则n的最大值是( )
A. 8B. 11C. 14D. 18
10. n名学生参加某次测试，测试由m道题组成.若一道题至少有23n名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了23m道题，则该生本次测试成绩合格.如果这次测试至少有23n名学生成绩合格，且测试中至少有23m道题为难题，那么mn的最小值为( )
A. 6B. 9C. 18D. 27
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)在区间[0,m]上的最小值为g(0)，则m的最大值为______ ．
12. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是______．
13. 已知函数f(x)=2x+1x2,x0)，甲、乙声波合成后的数学模型为f(t)=f1(t)+f2(t).要使f(t)=0恒成立，则φ的最小值为；
(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为H(t)，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f(t)和g(t)，满足H(t)=f(t)+g(t).已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
①y=sinπ2t；②y=sin2πt；③y=sin3πt；④y=2sin3πt．
则S1，S2两种声波的数学模型分别是______ .(填写序号)
15. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠DAB=π3，PD=AD，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥OE；
②FC=PO；
③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为 55；
④△AEC面积的取值范围是[ 62, 15]．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题13.0分)
在△ABC中，csC=17，c=8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(Ⅰ)b的值；
(Ⅱ)角A的大小和△ABC的面积．
条件①：a=7；
条件②：csB=1114．
17. (本小题13.0分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= 5，AC=AA1=2．
(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；
(Ⅱ)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求点D到平面ABE的距离．
18. (本小题14.0分)
已知椭圆C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)，上下两个顶点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是边长为2 2的正方形，过P(0,n)(n>2)作直线l交椭圆于DE，两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：四边形DB1B2E对角线交点的纵坐标与D，E两点的位置无关．
19. (本小题15.0分)
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx．
(Ⅰ)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)试判断1是不是函数f(x)的极值点，并说明理由；
(Ⅲ)是否存在实数a，使得直线y=x−2与曲线y=f(x)相切？若存在，直接写出满足条件的实数a的个数；若不存在，请说明理由．
20. (本小题15.0分)
已知数列A：a1，a2，…，an(0≤a10，故0b>0)的离心率为12，
∴不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
∴△AF1F2为等边三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
∴kDE=tan30°= 33，
由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，
设直线DE方程为y= 33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，
将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，
由韦达定理可得，x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，
|DE|= k2+1|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 13+1⋅ (−8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，
由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8×138=13．
故答案为：13．
根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．
13.【答案】[−1,5]
【解析】解：当x0时，即−11，f′(x)=(x−1)(x−a)x>0，
故f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
故a的取值范围是(−∞,1]；
(Ⅱ)①当a≤0时，令f′(x)=0，解得：x=a(舍)或1，
故x，f′(x)，f(x)的变化如下：
②当01时，令f′(x)=0，解得：x=1或a，
x，f′(x)，f(x)的变化如下：
，
综上：a=1时，1不是极值点，
当a>1或a