2022-2023学年福建省莆田华侨中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省莆田华侨中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列导数运算正确的是( )
A. (x−1)′=1x2B. (lnx+x)′=1+1x
C. (csx)′=sinxD. [(12)x]′=(12)xln2
2. 如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OA=a，OB=b，OC=c，则AG=( )
A. a−12b−12c
B. −a+12b+12c
C. −12a+b+c
D. 12a−b−c
3. 函数f(x)=x−2lnx的单调递增区间是( )
A. (−∞,0)和(0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,2)D. (0,2)
4. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.7、0.7，则系统正常工作概率为( )
A. 0.441B. 0.782C. 0.819D. 0.9
5. 已知向量a=(1,x,2)，b=(0,1,2)，c=(1,0,0)，若a，b，c共面，则x等于( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. 1或0
6. “a>5”是“函数f(x)=x3−ax在区间(1,2)上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，NB=2AN，CM=2MD，AB=2，BC=3，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A. 3 3010
B. 34
C. 35
D. 3 3020
8. 已知定义在(0,π2)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈(0,π2)，都有f′(x)sinx0kx2−x+1,x≤0，若f(x)恰有两个零点，则k的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知A(1,3,4)，B(−1,5,4)，C(−1,2,1)．
(1)求；
(2)求AC在BC上的投影向量．
18. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点．
(1)求D到平面APM的距离；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xsinx+csx，x∈(0,2π)．
(1)求函数f(x)在x=π处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
20. (本小题12.0分)
某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
(1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
21. (本小题12.0分)
在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1B1BA⊥平面ABC，侧面A1B1BA为菱形，∠ABB1=π3，AB1⊥AC，AB=AC=2，E是AC的中点．
(1)求证：A1B⊥平面AB1C；
(2)点P在线段A1E上(异于点A1，E)，AP与平面A1BE所成角为π4，求EPEA1的值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx−mx+1，g(x)=x(ex−2)．
(1)若f(x)的最大值是1，求m的值；
(2)若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，∵(x−1)′=−1x2，∴A错误，
B，∵(lnx+x)′=1x+1，∴B正确，
C，∵(csx)′=−sinx，∴C错误，
D，∵[(12)x]′=(12)xln12，∴D错误，
故选：B．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
【解答】
解：AC=OC−OA=c−a，AB=OB−OA=b−a，
则AG=12(AC+AB)=12(c−a+b−a)=−a+12b+12c．
故选：B．

3.【答案】B
【解析】解：f′(x)=1−2x=x−2x，f(x)的定义域为(0,+∞)，
由f′(x)>0，得x>2，
∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞)．
故选：B．
求出导函数f′(x)，由f′(x)>0确定增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，
∵A1、A2正常工作的概率依次是0.7，0.7，
∴A1、A2至少有一个正常工作的概率为1−(1−0.7)×(1−0.7)=0.91，
则系统正常工作的概率为P=0.9×0.91=0.819．
故选：C．
利用对立事件可得A1、A2至少有一个正常工作的概率，再利用积事件的概率计算公式即可得出结论，
本题考查了积事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵向量a=(1,x,2)，b=(0,1,2)，c=(1,0,0)，
a，b，c共面，
∴a=mb+nc，∴(1,x,2)=(n,m,2m)，
解得n=1，m=x，2=2m，∴x=1．
故选：B．
由a，b，c共面，得a=mb+nc，由此能求出x的值．
本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=x3−ax在区间(1,2)上单调递减，
∴f′(x)=3x2−a≤0在区间(1,2)上恒成立，
∴a≥(3x2)max，∴a≥12，
∵[12,+∞)⫋(5,+∞)，
∴a>5是函数f(x)=x3−ax在区间(1,2)上单调递减的必要不充分条件．
故选：C．
先得到f′(x)=3x2−a≤0在区间(1,2)上恒成立，再分离参数求最值即可．
本题考查了函数的单调性与导数关系的应用，不等式恒成立问题，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：在AB上取点E，使AE=2EB，连接AN，NB，BE，EA，
易知四边形ANBE为矩形，AN=1，NB= 3.连接MN，
由已知条件，得MN为圆柱的一条母线，
以N为坐标原点，分别以直线NB，NA，NM为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系N−xyz，

则N(0,0,0)，A(0,1,0)，M(0,0,3)，C( 3,0,3)，
所以AM=(0,−1,3)，NC=( 3,0,3)，
则cs〈AM,NC〉=9 10× 12=3 3020，
所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为3 3020．
故选：D．
在AB上取点E，使AE=2EB，连接AN，NB，BE，EA，以N为坐标原点，分别以直线NB，NA，NM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N−xyz，求出相应点的坐标，再利用异面直线夹角的空间向量公式求解．
本题主要考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数判断函数单调性的应用以及利用函数单调性判断函数值大小关系的应用，解题的关键是构造合适的函数，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
构造函数g(x)=f(x)sinx，利用导数判断函数的单调性，由单调性判断四个选项即可．
【解答】
解：构造函数g(x)=f(x)sinx，
则g′(x)=f′(x)sinx−f(x)csxsin2xg(π4)>g(1)>g(π3)，
所以f(π6)12>f(π4) 22>f(1)sin1>f(π3) 32，
则 2f(π6)>f(π4)， 3f(π6)>f(π3)， 3f(π4)> 2f(π3)，sinπ3f(1)>sin1f(π3)，
故无法比较f(π3)与f(1)的大小．
故选：D．

9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即A与B相互独立，
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与B不互斥，故A正确；
对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与D不相互独立，
第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确；
对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与D不相互独立，
若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互斥，故C错误；
对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即A与C相互独立，
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确．
故选：ABD．
根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可．
本题考查事件之间的关系，注意互斥事件、独立事件的定义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为直线l的方向向量a=(1,−1,2)，直线m的方向向量b=(1,2,1)，
所以a⋅b=1×1+(−1)×2+2×1=1≠0，所以a与b不垂直，故直线l与直线m不垂直，故A错误；
对于B，因为直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，
所以a⋅n=0×1+1×(−1)+(−1)+(−1)=0，所以a⊥n，故l//α或l⊂α，故B正确；
对于C，因为两个不同平面α，β的法向量分别为n1=(2,−1,0),n2=(−4,2,0)，
所以n2=−2n1，即n1//n2，所以α//β，故C错误；
对于D，因为A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(−1,2,0)，所以AB=(−1,1,1),BC=(−1,1,0)，
又向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则n⋅AB=0n⋅BC=0，即−1+u+t=0−1+u=0，解得u=1，t=0，故D正确．
故选：BD．
对于A，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；
对于B，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；
对于C，利用平面的法向量是否平行即可求解；
对于D，根据法向量得到方程组，求出u和t的关系即可求解．
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，若存在点H，使得EH//BD，则BE//DH，四边形BDHE是平行四边形，所以BE=DH，所以H在圆弧DF外，所以选项A错误；
对于B，当H与点D重合时，BG⊥平面EDF，所以BG⊥ED，即BG⊥EH，选项B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图所示：设BC=2，则B(0,0,2)，D(2,0,0)，G( 2, 2,2)，E(0,2,2)，设H(m,n,0)，m2+n2=4；
由BG=( 2, 2,0)，BD=(2,0,−2)，EH=(m,n−2,−2)，
设平面BDG的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BD=0n⋅BG=0，即2x−2z=0 2x+ 2y=0，
令x=1，则y=−1，z=1，所以n=(1,−1,1)；
若EH//平面BDG，则EH⋅n=m−n+2−2=m−n=0，解得m=n= 2，所以H是圆弧DF的中点，即存在点H，使EH//平面BDG，选项C正确；
对于D，当H与点F重合时，EH与平面BDG的夹角最大，因为EF=BA=(0,0,−2)，
所以cs=n⋅EF|n||EF|=−2 3×2=− 33，
所以EF与平面BDG所成角的正弦值为 33；
由 33< 22，所以直线EH与平面BDG的夹角小于45°，选项D错误．
故选：BC．
根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据向量的数量积求直线与平面平行和直线与平面所成的角应用问题，由此判断选项中的命题是否正确．
本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：切线与两曲线y=x2−1与y=alnx−1的切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=x2−1，得y′=2x，由y=alnx−1，得y′=ax，
则两切线方程分别为y−(x12−1)=2x1(x−x1)与y−(alnx2−1)=ax2(x−x2)，
化简得y=2x1x−1−x12，y=ax2x+alnx2−a−1，
又两条切线为同一条，可得2x1=ax2alnx2−a=−x12，得a=−4x22(lnx2−1)．
令g(x)=−4x2(lnx−1)(x>0)，得g′(x)=4x(1−2lnx)，
当x∈(0, e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈( e,+∞)时，g′(x)0)，再由导数求最值得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】1
【解析】解：由f(x)=lnx−ax可得f′(x)=1x−a，
又f(x)在x=1处有极值，所以可得f′(1)=0，
即f′(1)=11−a=0，所以a=1.经检验满足题意，
故答案为：1．
根据极值定义可得f′(1)=0，求导并将x=1代入计算即可求得a=1．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．
14.【答案】67
【解析】解：若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，
所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)，
而P(AB)=C21C31C52=35，P(A)=1−C32C52=710，
故P(B|A)=67．
故答案为：67．
首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】4 125
【解析】解：∵PA⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC，又∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，过Ax//BC，如图建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，
设BC=a，∴B(a,8,0)，则D(a2,4,0)，
①当E在AC上时，设E(0,c,0)，∵PC⊥DE，
∴PC⋅DE=(0,8,−6)⋅(−a2,c−4,0)=0+8c−32+0=0，
故c=4，则E(0,4,0)，
∴AE=4；
②E为△PAC内的动点(含边界)时，如图，取AC中点F，过F作FG⊥PC，垂足为G，

由①可得PC⊥DF，又FG⊥PC，DF∩FG=F，DF，FG⊂平面DFG，
∴PC⊥平面DFG，∵FG⊂平面PAC，∴PC⊥FG，
即E在线段FG上运动时，PC⊥DE，∴点E的轨迹为线段FG，
则FG=FC⋅sin∠PCA=4×PAPC=2×6 62+82=125．
故答案为：4；125．
由题意建立空间直角坐标系可得当E在AC上时，满足PC⊥DE，求得AE的长；当E为△PAC内的动点(含边界)时，再取AC中点F，再过F作FG⊥PC，可证PC⊥平面DFG，得到E的轨迹，求解三角形可得点E的轨迹的长度．
本题主要考查轨迹方程，空间点、线、面位置关系与距离，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】(−∞,0)∪(0,1e)
【解析】解：当x>0时，令f(x)=lnx−kx=0，则k=lnxx，
令h(x)=lnxx，x>0，h′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
令h′(x)>0，即1−lnx>0，解得0