2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={y|y= x−x2+6}，B={x|−1≤x≤3}，则( )
A. A=BB. A⊇BC. A⊆BD. A∩B=⌀
2. 已知函数y=f(x)的定义域为[−8,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域( )
A. [−92,−2)∪(−2,0]B. [−8,−2)∪(−2,1]
C. (−∞,−2)∪(−2,3]D. [−92,−2]
3. 设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)是奇函数，则f(x)图像( )
A. 关于点(2,0)中心对称B. 关于点(−2,0)中心对称
C. 关于直线x=2对称D. 关于直线x=−2对称
4. 如果ξ是离散型随机变量，η=2ξ+3，则下列结论中正确的是( )
A. E(ξ)=E(η)−32，D(ξ)=D(η)−32
B. E(ξ)=E(η)2，D(ξ)=D(η)−32
C. E(ξ)=E(η)−32，D(ξ)=D(η)−94
D. E(ξ)=E(η)−32，D(ξ)=D(η)4
5. 关于“函数f(x)=x− 13x− 14，x∈(−∞, 14)∪( 14,+∞)的最大、最小值与函数g(x)=x− 13x− 14，x∈Z的最大、最小值”，下列说法中正确的是( )
A. f(x)有最大、最小值，g(x)有最大、最小值
B. f(x)有最大、最小值，g(x)无最大、最小值
C. f(x)无最大、最小值，g(x)有最大、最小值
D. f(x)无最大、最小值，g(x)无最大、最小值
6. 如图是下列某个函数在区间[−2,2]的大致图象，则该函数是( )
A. f(x)=x3+3x2−3xx2+1csx2
B. f(x)=x3+3x2−3xx2+1
C. f(x)=x3−x2+xx2+1sinx
D. f(x)=x2−5xx2+1csx
7. “a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0同解”的条件．( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
8. 设a=3(2−ln3)e2,b=1e,c=ln44，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中，能用二分法求函数零点的有( )
A. f(x)=5x+2B. f(x)=lg5x
C. f(x)=x2+2x+1D. f(x)=3x−2
10. 下列选项中，正确的是( )
A. 对于任何两个集合，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立
B. “对于∀x>2，x2−3x+2>0”的否定是“∃x>2，x2−3x+2<0”
C. 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D. 已知实数x，y，z满足x>y>0>z，则xx−z11. 下列命题中，正确的命题是( )
A. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7
B. 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c−1)=P(XC. 若事件A，B满足P(AB−)=P(A)⋅[1−P(B)]，则A与B独立
D. 在独立性检验中，已知6.635=χ0.01，若计算出χ2=6.65，由此推断出犯错误的概率不大于0.0112
12. 2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则( )
A. P(X<2)=1315B. P(X=0)=13C. E(X)=35D. D(X)=3275
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若“函数f(x)=3x+a3x+1是奇函数”是真命题，则a的值是______ ．
14. 设f(x)为R上的可导函数，且Δx→0limf(1)−f(1+2Δx)Δx=12，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为______ ．
15. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是_______．
16. 已知函数y=ax2+bx+c(0<2a四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y=920vv2+3v+1600(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
18. (本小题12.0分)
已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a,x<1−x−2a,x≥a．
(1)当a=1时，求f(f(2))；
(2)当a≥1时，若关于a的方程f(f(a))=f(a2)+m有解，求实数m的范围．
19. (本小题12.0分)
某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y=bx+a和②y=edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；(注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数)
(2)根据下表中数据，用相关指数R2(不必计算，只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
参考公式及数据：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−，R2=1−i=1n(yi−yi)2i=1n(yi−y−)2=i=1n(yi−yi)2i=1nyi2−ny−2，i=16xizi=−1×0.7+2×0+3×0.4+4×1.1+5×1.8+6×2.5=28.9，e3.4=30．
20. (本小题12.0分)
某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．
(Ⅰ)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(Ⅱ)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
(i)若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；
(ii)若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．
21. (本小题12.0分)
若函数f(x)在x∈[a,b]时，函数值y的取值区间恰为[1b,1a]，则称[a,b]为f(x)的一个“倒域区间”.定义在[−2,2]上的奇函数g(x)，当x∈[0,2]时，g(x)=−x2+2x．
(1)求g(x)在[−2,0)上的解析式；
(2)求g(x)的“倒域区间”．
22. (本小题12.0分)
已知h(x)=sinx，x∈R．
(1)求方程h(x)=ln(x+1)的根的个数；
(2)证明：h(2)+h(4)+h(6)+…+h(2n)> 36−cs(2n+1)2sin1(n∈N*).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：y= x−x2+6= −(x−12)2+254∈[0,52]，即A=[0,52]，
因为B=[−1,3]，所以A⊆B，即有A≠B，A∩B≠⌀．
故选：C．
解出集合A中函数的值域，得到集合A，再判断集合A与集合B的关系．
本题考查函数的值域，集合的关系与运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为函数y=f(x)的定义域为[−8,1]，对于函数g(x)=f(2x+1)x+2，
则有−8≤2x+1≤1x+2≠0，解得−92≤x<−2或−2因此，函数g(x)的定义域为[−92,−2)∪(−2,0]．
故选：A．
根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，f(x+2)是奇函数，即将函数f(x)的图象向左平移2个单位后，其图象关于原点对称，
则函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．
故选：A．
根据题意，由函数图象平移的规律，将函数f(x)的图象向左平移2个单位后，其图象关于原点对称，由此分析可得答案．
本题考查函数的对称性，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为η=2ξ+3，
根据数学期望与方差的性质，E(η)=2E(ξ)+3，D(η)=22D(ξ)=4D(ξ)，
所以E(ξ)=E(η)−32，D(ξ)=D(η)4．
故选：D．
根据随机变量的线性关系η=2ξ+3，结合数学期望与方差的性质即可得E(η)=2E(ξ)+3，D(η)=4D(ξ)，故可得答案．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：f(x)=x− 13x− 14=x− 14+ 14− 13x− 14=1+ 14− 13x− 14，x∈(−∞, 14)∪( 14,+∞)，
画出函数图象如下：

函数f(x)=x− 13x− 14，x∈(−∞, 14)∪( 14,+∞)无最大值，也无最小值；
当x∈Z时，此时函数的图象为f(x)=x− 13x− 14上一些点，
当x≤3且x∈Z时，g(x)=x− 13x− 14∈(0,1)，当x≥4且x∈N时，f(x)=x− 13x− 14>1，
且函数在x≤3且x∈Z上单调递减，在当x≥4且x∈N上时单调递减，
故x=3时，g(x)=x− 13x− 14取得最小值，当x=4时，g(x)=x− 13x− 14取得最大值．
故选：C．
画出f(x)=x− 13x− 14=1+ 14− 13x− 14，x∈(−∞, 14)∪( 14,+∞)的图象，数形结合得到其最值情况，在f(x)=x− 13x− 14，x∈(−∞, 14)∪( 14,+∞)的基础上，得到g(x)=x− 13x− 14，x∈Z的最值情况．
本题考查函数的性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：对B，由f(x)=x3+3x2−3xx2+1，知f(2)=145>2，但由图象知f(2)<2，故可排除B，
对C，因为f(x)=x3−x2+xx2+1sinx=x(x2−x+1)x2+1sinx在x∈(0,1)上f(x)>0，而由函数图象知函数一个零点在(0,1)上，而排除C；
对D，由f(x)=x2−5xx2+1csx知f(1)<0，而由函数图象可知f(1)>0，故可排除D．
故选：A．
用特殊值结合排除法求解．由f(1)正负、f(2)的大小及函数的零点排除三个选项得正确结论．
本题主要考查函数解析式的判断，排除法的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：①由a1a2=b1b2=c1c2，当a1，a2异号时，则一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集不同，∴充分性不成立，
②当a1=1，b1=1，c1=1时，a1x2+b1x+c1>0⇔x2+x+1>0的解集为R，
当a2=1，b2=1，c2=5时，a2x2+b2x+c2>0⇔x2+x+5>0的解集为R，
满足不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0同解，但a1a2=b1b2=c1c2不成立，∴必要性不成立，
“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0同解”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
利用一元二次不等式的解法判断充分性不成立，再利用举实例判断必要性不成立即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=lnxx，x>0，
则a=f(e23)=lne23e23=3(2−ln3)e2，b=f(e)=lnee=1e，c=f(2)=ln22=ln44，
而f′(x)=1−lnxx2，当00，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
又2故选：B．
构造函数f(x)=lnxx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：选项A：由f(−1)f(1)=−3×7<0，可得f(x)=5x+2在(−1,1)上存在零点；
选项B：由f(15)f(5)=−1×1<0，可得f(x)=lg5x在(15,5)上存在零点；
选项C：f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，则其零点为−1，
但不存在实数a，b满足f(a)f(b)<0，因而不能用二分法求此函数零点；
选项D：由f(0)f(1)=−1×1<0，可得f(x)=3x−2在(0,1)上存在零点．
故选：ABD．
利用二分法零点判断规则即可得到正确选项．
本题主要考查了二分法的定义，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：A，∵(A∩B)⊆A⊆(A∪B)，故A正确，
B，∵对于∀x>2，x2−3x+2>0的否定是∃x>2，x2−3x+2≤0，故B错误，
C，对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故C错误，
D，∵x>y>0>z，∴xx−z−yy−z=x(y−z)−y(x−z)(x−z)(y−z)=(y−x)z(x−z)(y−z)<0，则xx−z故选：AD．
根据集合间的关系，含有量词的命题的否定，相关系数的概念和不等式的性质，判断即可．
本题考查集合的关系，含一个量词命题否定的结论，相关系数的定义，不等式的性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是12×(7+8)=7.5，选项A错误；
对于B，随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c−1)=P(X所以(2c−1)+(c+3)=2×3，解得c=43，选项B正确；
对于C，因为P(AB−)=P(A)⋅[1−P(B)]=P(A)P(B−)，所以A与B−相互独立，所以A与B也独立，选项C正确；
对于D，独立性检验中，6.635=χ0.01，若计算出χ2=6.65，则由此推断出犯错误的概率不大于0.01，选项D错误．
故选：BC．
根据百分位数、正态分布N和事件的相互独立性，以及独立性检验，判断即可．
本题考查了概率与统计的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，X的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，
所以，P(X=0)=C40C62C102=13,P(X=1)=C41C61C102=2445=815,P(X=2)=C42C60C102=645=215，
所以X的分布列为
所以，P(X<2)=1−215=1315，故A、B正确；
E(X)=8+415=1215=45,D(X)=(0−45)2×13+(1−45)2×815+(2−45)2×215=3275，所以，C错误，D正确；
故选：ABD．
由题知X的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，逐一对选项进行计算可得结果．
本题考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差的计算，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：根据题意，若“函数f(x)=3x+a3x+1是奇函数”是真命题，则函数f(x)=3x+a3x+1是奇函数，
f(x)的定义域为R，则有f(0)=1+a1+1=0，解可得a=−1，
当a=−1时，f(x)=3x−13x+1，定义域为R，f(−x)=3−x−13−x+1=−3x−13x+1=−f(x)，
f(x)为奇函数，符合题意；
故a=−1．
故答案为：−1．
根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=1+a1+1=0，解可得a=−1，验证即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及命题真假的判断，属于基础题．
14.【答案】−14
【解析】解：Δx→0limf(1)−f(1+2Δx)Δx=12，
则−2△x→0limf(1+2△x)−f(1)2△x=12，即−2f′(1)=12，解得f′(1)=−14，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为−14．
故答案为：−14．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
15.【答案】(0,12)
【解析】解：由已知条件可得P(X=1)=p，
P(X=2)=(1−p)p，
P(X=3)=(1−p)2p+(1−p)3=(1−p)2，
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1−p)p+3(1−p)2=p2−3p+3>1.75，
解得p>52或p<12，又由p∈(0,1)，得p∈(0,12).
故答案为：(0,12).
根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意E(X)>1.75，可得p2−3p+3>1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，可得答案．
本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
16.【答案】3
【解析】解：根据题意，函数y=ax2+bx+c(0<2a2；
故a+b+cb−a=a2+ab+acab−a2≥a2+ab+b24ab−a2=4a2+4ab+b24ab−4a2=4+4ba+(ba)24×ba−4，
设t=ba，则有t>2，
则a+b+cb−a=4+4t+t24t−4=4+4(t−1)+4+[(t−1)+1]2t−1=14[(t−1)+9t−1+6]，
又由t−1+9t−1≥2 (t−1)×9t−1=6，当且仅当t=4时等号成立，
故有a+b+cb−a=14[(t−1)+9t−1+6]≥14(6+6)=3，当且仅当t=ba=4时等号成立，
故答案为：3．
根据题意，由二次函数的性质可得b2−4ac≤00<2a2；又由a+b+cb−a=a2+ab+acab−a2≥a2+ab+b24ab−a2=4a2+4ab+b24ab−4a2=4+4ba+(ba)24×ba−4，设t=ba，利用换元法可得原式=14[(t−1)+9t−1+6]，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及基本不等式的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)依题意，y=920vv2+3v+1600=920v+1600v+3≤92083，当且仅当v=1600v，即v=40时，等号成立，
∴ymax=92083(千辆/时)，
当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时．
(2)由条件得920vv2+3v+1600>10，整理得v2−89v+1600<0，即(v−25)(v−64)<0，解得25所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．
【解析】(1)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
(2)令920vv2+3v+1600>10，解出v的取值范围，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，函数f(x)=2x+1,x<1−x−2,x≥1，
∴f(f(2))=f(−4)=−7；
(2)当a≥1时，f(a)=−a2=−2a=−3a≤−3，
∴f(f(a))=2f(a)+a=−6a+a=−5a，
f(a2)=−a2−2a，
∵f(f(a))=f(a2)+m有解，
∴−5a=−a2−2a+m，即m=a2−3a(a≥1)有解，
解得m≥−94．
∴实数m的范围为[−94,+∞)．
【解析】(1)当a=1时，直接计算可求值；
(2)当a≥1时，f(a)=−3a≤−3，f(f(a))=2f(a)+a=−5a，进而可得m=a2−3a(a≥1)有解，进而可求实数m的范围．
本题考查函数值的计算，考查方程有解的问题，属中档题．
19.【答案】解：(1)由题可得x−=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，y−=16(0.5+1+1.5+3+6+12)=4，i=16xiyi=1×0.5+2×1+3×1.5+4×3+5×6+6×12=121，i=16xi2=1+4+9+16+25+36=91，
所以b=i=16xiyi−6x−y−i=16xi2−6x−2=121−5×4×3.591−6×3.52≈2.11，a=y−−bx−=4−2.11×3.5≈−3.4，
方案①回归方程y=2.1x−3.4，
对y=edx+c两边取对数得：lny=dx+c，令z=lny，z=dx+c是一元线性回归方程，z−=16(−0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5)=0.85，d=i=16xiyi−6x−y−i=16xi2−6x−2=28.9−6×3.5×0.8591−6×3.52≈0.63，c=z−−dx−=0.85−0.63×3.5≈−1.4，
方案②回归方程y=e0.6x−1.4；
(2)方案①相关指数R12=1−18.29i=1nyi2−ny−2，
方案②相关指数R22=1−0.65i=1nyi2−ny−2，R12故模型②的拟合效果更好，精度更高，
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量y=e4.8−1.4=e3.4=30(千件)．
【解析】(1)求出x−,y−，根据公式计算出b ,a 得线性回归方程；求出z−，再求得系数a，b，代入得非线性回归方程；
(2)根据(1)回归方程分别求得相关指数R12,R22，比较可得，然后估算销售量即可．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：
Eξ=100×(1−0.2)×100×0.5+100×(1−0.1)×100×0.5=8500>8400，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(Ⅱ)(i)X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C20×0．20×0．82=0.64，
P(X=1)=C21×0．21×0．81=0.32，
P(X=2)=C22×0．82×0．20=0.04，
∴X的分布列为：
E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4．
(ii)设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，
则P(A)=C21×0.2×0.8×0.5+C21×0.1×0.9×0.5=0.25，
一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η=8000，9000，
事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，则P(η=8000)=P(B1|A)=P(AB1)P(A)=C21×0.2×0.8×，
事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则P(η=900)=P(B2|A)=P(AB2)P(A)=C21×0.1×0.9×，
∴E(η)=8000×0.64+9000×0.36=8360<8400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
【解析】(Ⅰ)在不开箱检验的情况下，求出一箱产品中正品的价格期望值为8500>8400，从而在不开箱检验的情况下，可以购买．
(Ⅱ)(i)X的可能取值为0，1，2，分别法度出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
(ii)设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则P(A)=C21×0.2×0.8×0.5+C21×0.1×0.9×0.5=0.25，一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η=8000，9000，事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，则P(η=8000)=P(B1|A)=P(AB1)P(A)=0.64，事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则P(η=900)=P(B2|A)=P(AB2)P(A)=0.36，求出E(η)=8360<8400，从而已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
本题考查概率的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)定义在[−2,2]上的奇函数g(x)，当x∈[0,2]时，g(x)=−x2+2x，
∴当x∈[−2,0)时，−x∈(0,2]，
由奇函数的定义可得g(x)=−g(−x)=−[−(−x)2+2(−x)]=x2+2x，
∴g(x)在[−2,0)上的解析式为g(x)=x2+2x；
(2)由(1)得g(x)=−x2+2x,0≤x≤2x2+2x,−2≤x<0，
∵g(x)在[a,b]时，函数值g(x)的取值区间恰为[1b,1a]，
其中a≠b，且a≠0，b≠0，∴a0，
只考虑0①当0∴1≤a<2，∴1≤a∵g(x)在[1,2]上递减，且g(x)在[a,b]上的值域为[1b,1a]，
∴g(b)=−b2+2b=1bg(a)=−a2+2a=1a1≤a∴函数g(x)在[1,2]内的“递域区间”为[1,1+ 52]，
②当−2≤a∴当x∈[−2,0]时，g(x)min=g(−1)=−1，
∴1b≥−1，∴−2∴−2≤a∵g(x)在[−2,−1]上单调递减，则g(a)=a2+2a=1ag(b)=b2+2b=1b，
解得a=−1+ 52b=−1，
∴g(x)在[−2,−1]内的“倒域区间”为[−1− 52,−1]，
综上，函数g(x)在定义域内的“倒域区间”为[1,1+ 52]和[−1− 52,−1]．
【解析】(1)设x∈[−2,0)，利用奇函数的定义可求得函数g(x)在[−2,0)上的解析．
(2)求出函数g(x)在[−2,2]上的解析式，分析可知a0，只需讨论0本题考查函数新定义、函数的单调性、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可转化为求函数f(x)=sinx−ln(x+1)零点的个数．则f(x)定义域为(−1,+∞)，且f′(x)=csx−1x+1，
(ⅰ)令g(x)=csx−1x+1，x∈(−1,π2)，
则g′(x)=−sinx+1(x+1)2，x∈(−1,π2)，
因为函数y=1(x+1)2在(−1,π2)上单调递减，函数y=−sinx在(−1,π2)上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知g′(x)在(−1,π2)上单调递减，
又g′(0)=−sin0+1=1>0，g′(π2)=−sinπ2+1(π2+1)2=4(π+2)2−1<0，
根据零点存在定理可知，∃x0∈(0,π2)，使得g′(x0)=0，
所以，当x∈(−1,x0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(−1,x0)上单调递增；
当x∈(x0,π2)时，g′(x)<0，所以g(x)在(x0,π2)上单调递减．
所以，x=x0为g(x)的极大值点，
即：f′(x)在区间(−1,π2)上存在唯一的极大值点x0，
①当x∈(−1,0]时，
由g(x)的单调性，可知f′(x)在(−1,0]上单调递增，
所以f′(x)≤f′(0)=0，
所以f(x)在(−1,0]上单调递减．
又f(0)=0，所以x=0为f(x)在(−1,0]上的唯一零点；
②当x∈(0,π2]时，
由g(x)的单调性，可知f′(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,π2)上单调递减，
又f′(0)=0，所以f′(x)>0在(0,x0)上恒成立，
所以f(x)在(0,x0)上单调递增，此时f(x)>f(0)=0，不存在零点，
又f′(π2)=csπ2−2π+2=−2π+2<0，f′(x0)>0，
根据零点存在定理可知，∃x1∈(x0,π2)，使得f′(x1)=0，
当x00，所以f(x)在(x0,x1)上单调递增；
当x1又f(x0)>f(0)=0，f(π2)=sinπ2−ln(1+π2)=ln(2eπ+2)>ln1=0，
所以f(x)>0在(x0,π2)上恒成立，此时不存在零点；
(ⅱ)当x∈[π2,π]时，函数y=sinx单调递减，函数y=−ln(x+1)单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)在[π2,π]上单调递减，
又f(π2)>0，f(π)=sinπ−ln(π+1)=−ln(π+1)<0，
所以f(π2)⋅f(π)<0，
根据零点存在定理可知，f(x)在[π2,π]上存在零点，
又f(x)在[π2,π]上单调递减，
所以，f(x)在[π2,π]上存在唯一零点；
(ⅲ)当x∈(π,+∞)时，sinx∈[−1,1]，ln(x+1)>ln(π+1)>lne=1，
所以sinx−ln(π+1)<0，
所以f(x)在(π,+∞)上不存在零点，
综上所述，f(x)有且仅有2个零点，
所以，方程h(x)=ln(x+1)的根的个数为2；
(2)证明：因为cs(2n−1)−cs(2n+1)=cs2ncs1+sin2nsin1−(cs2ncs1−sin2nsin1)=2sin2nsin1，
又由(1)知：h(2n)=sin2n，
所以，h(2n)=sin1⋅sin2nsin1=cs(2n−1)−cs(2n+1)2sin1，
所以，h(2)+h(4)+h(6)+…+h(2n)=12sin1[cs1−cs3+cs3−cs5+…+cs(2n−1)−cs(2n+1)]=cs1−cs(2n+1)2sin1=12tan1−cs(2n+1)2sin1，
又tan1所以h(2)+h(4)+h(6)+…+h(2n)> 36−cs(2n+1)2sin1(n∈N*).
【解析】(1)原问题可转化为求函数f(x)=sinx−ln(x+1)零点的个数，求出f′(x)=csx−1x+1，二次求导得出f′(x)的单调性以及极值情况，然后分x∈(−1,0]以及x∈(0,π2]，根据f′(x)的单调性，结合端点处的导数值，即可得出f(x)的单调性，从而得出该区间内零点的个数；进而研究x∈[π2,π]，根据复合函数的单调性，可得出f(x)的单调性，根据零点存在定理即可得出该区间内零点的个数，在(π,+∞)内，根据正弦函数的范围可得f(x)<0恒成立，即可得出答案；
(2)先推得cs(2n−1)−cs(2n+1)=2sin2nsin1，然后由已知可得出h(2n)=cs(2n−1)−cs(2n+1)2sin1，进而代入求和化简可得出h(2)+h(4)+h(6)+…+h(2n)=12tan1−cs(2n+1)2sin1，再由tan1本题考查了函数的零点、三角函数的性质、分类讨论思想、转化思想、导数的综合运用及用放缩法证明不等式，属于难题．
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z=lny
−0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
经验回归方程
残差平方和
y=bx+a
y=edx+c
i=15(yi−y i)2
18.29
0.65
X
0
1
2
P
13
815
215
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04