2022-2023学年天津市经开一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市经开一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )
A. x220−y24=1B. x24−y212=1C. x216−y248=1D. x264−y216=1
2. 已知( x−1x)n展开式的二项式系数和为64，则该展开式中常数项为( )
A. 15B. 20C. −15D. −20
3. 等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3=4，a2a6=64，则S5=( )
A. 32B. 31C. 64D. 63
4. 函数y=(3−x2)ex的单调递增区间是( )
A. (−∞,0)B. (0,+∞)
C. (−∞,−3)和(1,+∞)D. (−3,1)
5. 已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2，则n=( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
6. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率( )
A. 115B. 215C. 415D. 1415
7. 甲、乙、丙三人报考A，B，C三所大学，每人限报一所，设事件A为“三人报考的大学均不相同“，事件B为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则概率P(A|B)=( )
A. 29B. 49C. 14D. 12
8. 有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有( )
A. 96种B. 108种C. 114种D. 118种
9. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有( )
A. 72种B. 54种C. 36种D. 27种
10. 函数f(x)=lnx+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (52,3]B. [52,103)C. (52,103]D. [2,103]
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知随机变量X的分布列为
则E(3X+2)= ______ ．
12. 已知随机变量X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0)，若P(x>3)=0.8，则P(30)的右顶点为A，直线x=a2与椭圆C交于M，N两点，若AM⋅AN=0，则椭圆C的离心率为 ．
16. 已知数列{an}中，a1=1，an>0，前n项和为Sn.若an= Sn+ Sn−1(n∈N*,n≥2)，则数列{1anan+1}的前15项和为______．
三、解答题（本大题共4小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为35，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
18. (本小题10.0分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S6=48，数列{bn}满足2bn+1=bn+2，b1=3．
(1)证明：数列{bn−2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式；
(2)若cn=an(bn−2)，求数列{cn}的前n项和Tn．
19. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 55，短半轴的长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，与直线FA平行的直线l与椭圆C相切，切点为M，且切点M在第二象限．
(ⅰ)求直线l的方程；
(ⅱ)求三角形AFM的面积．
20. (本小题12.0分)
已知f(x)=xlnx，g(x)=x3+ax2−x+2．
(1)若a=1，求函数y=g(x)的图象在x=0处的切线方程；
(2)讨论函数y=f(x)在(0,m)(m>0)上的单调性；
(3)对一切实数x∈(0,+∞)，不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1，
因为双曲线的焦距为8，则2c=8，所以c=4，
又双曲线的离心率为ca=2，所以a=2，则b2=c2−a2=16−4=12，
所以双曲线的标准方程为x24−y212=1，
故选：B．
先设出双曲线的标准方程，然后根据双曲线的焦距和离心率以及a，b，c的关系式即可求解．
本题考查了双曲线的方程和几何性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
根据二项式系数和公式即可求出n的值，再求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
【解答】
解：由题意可得2n=64，解得n=6，
所以二项式( x−1x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r( x)6−r(−1x)r=C6r(−1)rx3−3r2，r=0，1，...，6，
令3−3r2=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅(−1)2=15，
故选A．

3.【答案】B
【解析】解法一：设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，
由条件得a1⋅q2=4a1q⋅a1q5=64，解得a1=1q=2，
所以S5=31，
故选：B．
解法二：设首项为a1，公比为q，由a2a6=a42=64，又a3=4，
∴q=2，
又因为，所以a1=1，所以S5=31，
故选：B．
解法一：设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，由条件得a1⋅q2=4a1q⋅a1q5=64，解出即可得出．
解法二：设首项为a1，公比为q，由a2a6=a42=64，又a3=4，可得q=2，再利用通项公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：求导函数得：y′=(−x2−2x+3)ex
令y′=(−x2−2x+3)ex>0，可得x2+2x−3