2023高考数学复习专项训练《等差数列》

这是一份2023高考数学复习专项训练《等差数列》，共13页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知函数f(x)=3x(x⩽0)lg2x(x>0)，那么f[f(18)]的值为( )
A. 27B. 127C. -27D. -127
2.（5分）下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为()
A. f(x)=tanxB. f(x)=-1x
C. f(x)=x-csxD. f(x)=ex-e-x
3.（5分）已知集合A={(x,y)|y=x}，B={(x,y)||x|+|y|=1}，则A∩B中元素的个数为()
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.（5分）函数f(x)=-x+1x+3的定义域为( )

A. (-3,0] B. (-3,1]
C. (-∞,-3)∪(-3,0] D. (-∞,-3)∪(-3,1]
5.（5分）函数f(x)=x-4|x|-5的定义域为（ ）
A. [4，+∞）B. （5，+∞）
C. [4，5）D. [4，5）∪（5，+∞）
6.（5分）函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为T，若2π5A. 1B. 2C. 3D. 4
7.（5分）设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5=12，则a1+a2+…+a7=( )
A. 14B. 21C. 28D. 35
8.（5分）若直线a⊥b，且直线a//平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A. b⊂αB. b//α
C. b⊂α或b//αD. b与α相交或b⊂α或b//α
9.（5分）已知奇函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π，将f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象()
A. 关于点(-5π3,0)对称B. 关于点(π2,0)对称
C. 关于直线x=-π3对称D. 关于直线x=π2对称
10.（5分）设a=30.5，b=lg32，c=cs2，则( )
A. c11.（5分）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为()
A. 110B. 150C. 1100D. 15000
12.（5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为24，则四棱锥A1-ABC1D1的体积为( )
A. 43B. 823C. 83D. 163
13.（5分）从一批产品中取出三件产品，设事件A:“三件产品全不是次品”，事件B:“三件产品全是次品”，事件C:“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的( )
A. 事件A与C互斥B. 事件B与C互斥
C. 任何两个事件均互斥D. 任何两个事件均不互斥
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图是一个算法流程图，若输出y 的值为-2 ，则输入x 的值是___________．

15.（5分）方程4x-2x+1-3=0的解是 ______ ．
16.（5分）记F(x)=max{f(x),g(x)}，若f(x)=|x-3|，g(x)=lg2x，则F(x)的值域为 ______.
17.（5分）已知向量a=(1，2)，b=(-3，2)，则a+b=____________________，a-b=____________________.
18.（5分）若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5，则k的取值范围是______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA=acs(B-π6).
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求sin2A+sin2B+sin2C的取值范围．
20.（12分）等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}的前10项的和S10．
21.（12分）在锐角ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinB+sin(A-C)=csC.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)当c=23时，求a2+b2的取值范围．
22.（12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数(单位：百步)，绘制出如下频率分布直方图：
(1)求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；
(2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；
(3)在(2)的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150,170]的概率．
23.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，AB=1，CD=3，AP=2，DP=23，∠PAD=60°，AB⊥平面PAD，点M是棱PC上的动点．
(1)证明：AP⊥DM；
(2)设PMPC=λ，求当AP//平面BDM时λ的值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
该题考查分段函数求值，是基础题．
利用分段函数先求f(18)的值，然后再求出f[f(18)]的值．

解：由题意，函数f(x)=3x(x⩽0)lg2x(x>0)，
可知f(18)=lg218=lg22-3=-3<0，
所以f[f(18)]=f(-3)=3-3=127．
故选B．

2.【答案】D;
【解析】解：A项中，f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)，
则 f(x)=tanx是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
B项中，f(-x)=-f(x)，是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
C项中，f(-x)=(-x)-cs(-x)=-x-csx≠±f(x)，则f(x)为非奇非偶函数，不符合；
D项中，f(-x)=-f(x))，是奇函数，
又y=ex在x∈R上单调递增，y=e-x在x∈R上单调递减，则f(x)在x∈R上单调递增，符合．
故选：D.
根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．
此题主要考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】此题主要考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，属于基础题．
联立{y=x|x|+|y|=1，即可判断元素的个数.解：∵A={(x,y)|y=x}，B={(x,y)||x|+|y|=1}，
联立{y=x|x|+|y|=1，
当y>0时，可得|x|+x=1，即|x|+x=1，
当x>0时，x=y=12；当x<0时，不成立；
同理，x<0时，x=y=-12；
即y=x，与|x|+|y|=1有两个交点，
故选C.
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查求函数的定义域，属于基础题目.
列出函数有意义应满足的关系式求出即可.

解：要使函数有意义应满足{-x⩾0x+3≠0，
解得x⩽0且x≠-3.
故函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,0] .
故选C.
5.【答案】D;
【解析】略
6.【答案】D;
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为T=2πω，
又2π5因为y=f(x)的图象关于直线x=π3对称，
所以π3ω+π6=kπ+π2,k∈Z，解得ω=3k+1，k∈Z，
所以ω=4.
故选：D.
由函数f(x)的最小正周期满足2π5此题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
7.【答案】C;
【解析】解：∵数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5=12，∴3a4=12，a4=4．
∴a1+a2+…+a7=7a4=28．
故选：C．
由a3+a4+a5=12，可得a4=4，故有a1+a2+…+a7=7a4，运算求得结果．
这道题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：若直线a⊥b，且直线a//平面α，则直线b与平面α的位置关系是：通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b//α
可用常见的空间几何体模型来判断．
这道题主要考查空间直线与平面的位置关系及常见结论模型及定理的应用．
9.【答案】A;
【解析】解：∵f(x)是奇函数，∴φ=π2，
则f(x)=2cs(ωx+φ)=2cs(ωx+π2)=-2sinωx，
∵f(x)的最小正周期为4π，
∴2πω=4π，得ω=12，
则f(x)=-2sin12x，
将f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，
即g(x)=-2sin12(x-π3)=-2sin(12x-π6)，
当x=-5π3时，g(x)=-2sin(-5π6-π6)=-2sin(-π)=0，即g(x)关于点(-5π3,0)对称，故A正确，
当x=π2时，g(x)=-2sin(π4-π6)=-2sinπ12≠0，即g(x)关于点(π2,0)不对称，故B错误，
当x=-π3时，g(x)=-2sin(-π6-π6)=2sinπ3≠1，即g(x)关于x=-π3不对称，故C错误，
当x=π2时，g(x)=-2sin(π4-π6)=-2sinπ12≠1，即g(x)关于点x=π2不对称，故D错误，
故选：A.
根据条件求出函数的f(x)和g(x)的解析式，利用三角函数的对称性进行判断即可．
此题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数奇偶性和周期性求出f(x)的解析式，利用三角函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
10.【答案】A;
【解析】解：∵30.5=3>1，
0=lg31又∵π2<2<π，∴cs2<0，
所以c故选：A．
有指数函数的性质得到a>1，由对数函数的性质得到b大于0小于1，由余弦函数象限符号得到c小于0，则答案可求
该题考查了不等式的大小比较，考查了指数函数和对数函数的性质，考查了余弦函数的性质，属基础题型．
11.【答案】B;
【解析】解：该小区每位居民被抽到的可能性为1005000=150，
故选：B.
根据随机抽样的概率性质即可求解．
此题主要考查了随机抽样的概率的求解，属于基础题．
12.【答案】C;
【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为24，
∴正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，
AB→=(0,2,0)，A→D1=(-2,0,2)，A→A1=(0,0,2)，
设平面ABC1D1的法向量n→=(x,y,z)，
则n→.AB→=2y=0n→.AD1=-2x+2z=0，取x=1，得n→=(1,0,1)，
点A1到平面ABC1D1的距离d=|A→A1.n→||n→|=2，
S四边形ABC1D1=AB×AD1=2×4+4=42，
∴四棱锥A1-ABC1D1的体积为：
V=13×S四边形ABC1D1×d=13×42×2=83．
故选：C．
推导出正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出点A1到平面ABC1D1的距离d=2，由此能求出四棱锥A1-ABC1D1的体积．
该题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
13.【答案】B;
【解析】
此题主要考查互斥事件的概念，属于基础题.
根据互斥事件的概念，逐项分析，即可得到答案.

解：从一批产品中取出三件产品，
A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，
在A中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故A错误；
在B中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故B正确；
在C中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故C错误；
在D中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故D错误．
故选：B.
14.【答案】-3;
【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y=2x,x>;0x+1,x⩽0 ，
若输出y 值为-2 时，由于2x>;0 ，
所以解x+1=-2 ，
即x=-3 ，
故答案为：-3 ．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
该题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
15.【答案】x=lg23;
【解析】解：∵4x-2x+1-3=0
∴(2x)2-2×2x-3=0
∴(2x-3)(2x+1)=0
∵2x>0
∴2x-3=0
∴x=lg23
故答案为x=lg23
根据指数幂的运算性质可将方程4x-2x+1-3=0变形为(2x)2-2×2x-3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可．
本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解答该题的关键是要将方程4x-2x+1-3=0等价变形为(2x)2-2×2x-3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．
16.【答案】;
【解析】解：因为当x⩽3时，f(x)=3-x，
令3-x=lg2x，解得x=2，
当x>3时，f(x)=x-3，
因为f(5)=2，g(5)=lg25>2=f(5)，f(5.5)=2.5，g(5.5)=lg2112所以∃x0∈(5,5.5)，使得x0-3=lg2x0，
所以F(x)={3-x,x⩽2lg2x,2画出F(x)的图象如图，由图易知，F(x)的最小值为F(2)=1，
∴F(x)的值域为[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
作出F(x)的图象，结合图象即可得F(x)的值域．
此题主要考查了函数解析式的求解，还考查了基本初等函数的图象，属于基础题．
17.【答案】25;4;
【解析】略
18.【答案】-11≤k≤-1且k≠-6;
【解析】解：∵两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5，即两平行直线2x+y-4=0与2x+y+k+2=0的距离不大于5，
∴k+2≠-4，且|k+2+4|4+1⩽5，
求得-11⩽k⩽-1且k≠-6，
故答案为：-11⩽k⩽-1且k≠-6．
根据两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离公式，求得k的取值范围．
这道题主要考查两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
19.【答案】解：（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得bsinA=asinB，
又由bsinA=acs(B-π6)，
得asinB=acs(B-π6)，即sinB=cs(B-π6)，
进而有sinB=32csB+12sinB，即sinB=3csB
可得tanB=3，
又因为B∈（0，π），可得B=π3；
（2）sin2A+sin2B+sin2C=34+12(1-cs2A+1-cs2C)=74-12(cs2A+cs2C)=74-12[cs2A+cs2(2π3-A)]=74-12(12cs2A-32sin2A)=74+12sin(2A-π6)，
由题意得{0＜A＜π2，解得π6＜A＜π2，
所以π6＜2A-π6＜5π6，
所以12＜sin(2A-π6)≤1，2＜74+12sin(2A-π6)≤94．
故sin2A+sin2B+sin2C的取值范围为(2，94]．;
【解析】
(1)由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可；
(2)用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可．
此题主要考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则：
a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d．
∵a3，a6，a10成等比数列，
∴a62=a3•a10，即（10+2d）2=（10-d）（10+6d），
化简整理，得d2-d=0，
解得d=0，或d=1．
①当d=0时，an=10，n∈N*．
此时S10=10×10=100．
②当d=1时，an=a4+（n-4）•d=10+n-4=n+6，n∈N*．
此时a1=1+6=7，S10=10×7+10×92×1=115．
综上所述，可知：
当d=0时，S10=100；当d=1时，S10=115．;
【解析】
本题先设等差数列{an}的公差为d，然后根据等差数列的通项公式将a3，a6，a10表示成公差d的表达式，然后根据等比中项的性质列出关于d的方程，解出d的值，然后根据等差数列的求和公式即可计算出S10.注意本题当d=0是数列{an}是常数列，也是一种等差数列，故不能舍去d=0的情况．
这道题主要考查等差数列的求和问题．考查了方程思想，转化和化归思想，等差数列和等比数列的知识应用，以及分类讨论思想．本题属中档题．
21.【答案】;
【解析】此题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理得应用，属于中档题.
(Ⅰ)由sinB+sin(A-C)=csC得sin(A+C)+sin(A-C)=csC，即2sinAcsC=csC，得sinA=12，从而得出结果.
(Ⅱ)由正弦定理得b=c·sinBsinC=23sin(5π6-C)sinC=3tanC+3，得322.【答案】解：（1）由题意，得0.002×20+0.006×20+0.008×20+a×20+0.010×20+0.008×20+0.002×20+0.002×20=1，
解得a=0.012；
设中位数为110+x，则
0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012x=0.5，
解得x=15，
所以中位数是125；
（2）由200×（0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012×20）=112，
所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人；
（3）在区间（150，170]中有200×0.008×20=32人，
在区间（170，190]中有200×0.002×20=8人，
在区间（190，210]中有200×0.002×20=8人，
按分层抽样抽取6人，则从（150，170]中抽取4人，（170，190]中抽取1人，（190，210]中抽取1人；
设从（150，170]中抽取职工为a、b、c、d，从（170，190]中抽取职工为E，从（190，210]中抽取职工为F，
则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，
它们是等可能的，其中满足两人均来自区间（150，170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况，
所以P=615=25；
所以两人均来自区间（150，170]的概率为25．;
【解析】
(1)由频率和为1，列方程求出a的值，再利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；
(2)由频率×样本容量求出对应的频数即可；
(3)根据分层抽样原理抽取6人，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
该题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．
23.【答案】;
【解析】
(1)由AB⊥平面PAD，结合AB//CD⇒AP⊥CD，再在△APD中利用余弦定理、勾股定理得到AP⊥PD，结论即可证出；
(2)连接AC，BD交于点N，连MN，再利用线面平行得到线线平行，结合梯形ABCD的性质，即可求出λ.
此题主要考查线面平行、垂直的判定与性质，突出考查了转化思想在解题中的应用，属于中档题．