2023高考数学复习专项训练《空间向量在立体几何中的应用》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间向量在立体几何中的应用》，共22页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）在正方形BCDF中，A，E分别为边BF与DF上一点，且AF=EF=1，AB=2，将三角形AFE沿AE折起，使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，则线段BM的长为( )
A. 195B. 4C. 185D. 175
2.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=AA1=2,AE=12BC=1，则异面直线AE与A1C所成的角是( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
3.（5分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱都相等，侧棱AA1⊥底面ABC，则直线BC1与AC所成角的余弦值是()
A. -24B. 24C. 22D. -22
4.（5分）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为64πcm2和36πcm2的同心球(球壁的厚度忽略不计)，在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是( )
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 41cm
5.（5分） 平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2,-1,0)，则平面α与平面β的位置关系是 ( )
A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 不能确定
6.（5分）已知直线l的斜率为2，则直线l的法向量为( )
A. (1,2)B. (2,1)C. (1,-2)D. (2,-1)
7.（5分）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A到平面MBD的距离是( )
A. 63aB. 36aC. 34aD. 66a
8.（5分）ΔABC中，若A(2,4,3)，B(4,1,9)，C(10,-1,6)，则该三角形的形状是( )
A. 锐角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
9.（5分）在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面的射影为△ABC的垂心O(O在△ABC内部)，且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面α，过B.M作平行于AC的截面β，记a，β与底面ABC所成的锐二面角分别为θ1，θ2，若∠PAM=∠PBM=θ，则A.若θ1=θ2，则ACBC的值为()
A. 12B. 1C. 14D. 13
10.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A'B'C中，AC=BC=AA' ，∠ACB=90∘，D，E分别在AB，BB'的中点，则异面直线CE与AC'所成角的余弦值为( )
A. 55B. -55C. 1010D. 33
11.（5分）正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点(包含边界)，且FE→·FD→=-34，当三棱锥F-AED的体积最大时，EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为()
A. 23B. 53C. 255D. 52
12.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=BB1=2，点P是底面ABCD内的动点，且满足AP⊥DP，则线段B1P长度的最小值为()
A. 5B. 22C. 23D. 3
13.（5分）给出下列命题：
①直线l的方向向量为a→=(1,-1,2)，直线m的方向向量为b→=(2,1,-12)，则l⊥m；
②直线l的方向向量为a→=(0,1,-1)，平面α的法向量为n→=(1,-1,-1)，则l//α；
③平面α，β的法向量分别为n1→=(-2,1,3)，n2→=(1,-1,1)，则α//β；
④平面α经过三个点A(1,0,-1)，B(0,-1,0)，C(-1,2,0)，向量n→=(1,s,t)是平面α的法向量，则t=4s.
其中正确命题的个数为()
A. 1B. 2C. 3D. 4
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知ΔABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α异侧，且AB=2，AC=3，若AB，AC与α所成的角分别为π3,π6，则线段BC长度的取值范围为 ______ ．
15.（5分）如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________.
16.（5分）已知平面α的一个法向量n→=(0,-12,-2)，A∈α，P∉α，且PA→=(-32,12,2)，则直线PA与平面α所成的角为______．
17.（5分）如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，设α为二面角D1-AE-D的平面角，则csα=______．
18.（5分）已知在边长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为线段A1D和BD1上的动点，当D1ND1B=______时，线段MN取得最小值 ______.
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）一个多面体的三视图及直观图如图所示：
(Ⅰ)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值：
(Ⅱ)试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．
20.（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB=2，点C是AB⏜的中点，点D为AC中点．
(1)证明：AC⊥平面POD；
(2)求二面角A-PC-B的正弦值．
21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面，AB = 1，AP = AD = 2.

(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(2)若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．
22.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
(Ⅰ)证明：BE⊥DC；
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(Ⅲ)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．
23.（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，M为BB1上一点，且BM=1.
(1)求点C1到平面A1MC的距离；
(2)求二面角C1-A1M-C的余弦值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查利用空间向量求点、线、面的距离，属中档题目.

解：取AE中点H，连接FH，因为AF=EF，所以FH⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，
所以FH⊥平面ABCDE，
如图，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(3,3,0)，F(12,52,22).

设EM=x(0因为翻折后D与F恰好重合，所以DM=FM.
则(x-2)2=(x+12)2+(12)2+12，
解得x=35，所以BM→=85,3,0.BM→=175.
故选D.
2.【答案】C;
【解析】

此题主要考查向量法解决异面直线所成的角，属于中档题.
建立坐标系，求得两条异面直线的方向向量，从而求出其夹角的余弦值，即可求出结果.
解：由题意，AC=AB=AA1=2,AE=12BC=1，
则三角形ABC是以A为直角顶点的直角三角形，E为BC的中点，
以点A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，以AC方向为y轴正方向，以AA1向上的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则A0,0,0,E22,22,0,
A10,0,2,C0,2,0，
所以AE→=22,22,0,
A1→C=0,2,-2，
设异面直线AE与A1C所成角为θ，
则csθ=AE→.A1→CAE→.A1→C=12，
所以异面直线AE和A1C所成角为60∘.
故选C.
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
以A为原点，在平面ABC中，过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与AC所成角的余弦值．
解：由题意，以A为原点，在平面ABC中，过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，如图：

设AB=2，则B(3,1,0)，C1(0,2,2)，A(0,0,0)，C(0,2,0)，
BC1→=(-3,1,2)，AC→=(0,2,0)，
cs=|BC1→⋅AC→|BC1→|⋅|AC→||=28·2=24.
∴直线BC1与AC所成角的余弦值是24.
故选：B.

4.【答案】A;
【解析】解：设外球和内球的半径分别为R和r，则4πR²=64π，4πr²=36π，
解得R=4，r=3，
当B在大球的过A的半径上时AB的长最小，
所以AB长度的最小值为R-r=1cm，
故选：A.
利用球的表面积公式分别求得外球和内球的半径，两半径之差即为所求．
此题主要考查球的表面积，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：由题意可得(1,2,0)⋅(2,-1,0)=1×2-2×1+0×0=0，
故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，
故选：C
由数量积的运算可得数量积为0，可得法向量垂直，故平面垂直
该题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，直线l的斜率为2，则直线l的方向向量为m→=(1,2)；
设直线l的法向量为n→，其坐标为(x,y)，
则有m→⋅n→=x+2y=0，
据此分析选项：D选项符合x+2y=0，A、B、C都不符合；
故选：D.
根据题意，求出直线l的方向向量，设直线l的法向量为n→，其坐标为(x,y)，分析可得m→⋅n→=x+2y=0，据此分析选项中向量是否符合x+2y=0，综合即可得答案．
此题主要考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
A(a,0,0)，B(a,a,0)，D(0,0,0)，M(a,0,a2)，
则DB→=(a,a,0)，DM→=(a,0,a2)，
设平面BDM的法向量为n→=(x,y,z)，
则n→.DB→=ax+ay=0n→.DM→=ax+a2z=0，
取x=1，得n→=(1,-1,-2)，
∵BA→=(0,a,0)，
∴点A到平面MBD的距离d=|BA→.n→||n→|=|a|6=66a.
故选：D.
以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出点A到平面MBD的距离．
此题主要考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
8.【答案】D;
【解析】解：∵A(2,4,3)，B(4,1,9)，C(10,-1,6)，
∴AB=(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=7，
BC=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7，
AC=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2=72，
∴AB2+BC2=AC2，且AB=BC，
∴ΔABC为等腰直角三角形．
故选：D．
利用空间中两点间距离公式及勾股定理得到AB2+BC2=AC2，且AB=BC，从而ΔABC为等腰直角三角形．
该题考查三角形形状地判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式及勾股定理的合理运用．
9.【答案】B;
【解析】解：对于A，∵BC//α，由线面平行的性质定理得平面α∩平面ABC=l，平面α∩平面PBC=DE，
如图，

∵BC//平面α，BC⊂平面ABC，则BC//l，∵O是△ABC的重心，则AO⊥BC，∴AO⊥l，
又PO⊥平面ABC，l⊂平面ABC，则PO⊥l，而AO∩PO=O，AO，PO⊂平面AOM，
于是得l⊥平面AOM，又AM⊂平面AOM，即有AM⊥l，因此∠MAO是平面α与底面ABC所成的锐二面角，
即∠MAO=θ1，同理得∠MBO是平面β与底面ABC所成的锐角，θ2=∠MBO，
∵θ1=θ2，∴∠MAO=∠MBO，即Rt△MAO与Rt△MBO中，AO=BO，
令CO∩AB=F，显然OF⊥AB，则F是AB的中点，直线CF是线段AB的中垂线，
∴AC=BC，∴ACBC=1.
故选：B.
令平面α∩面ABC=l，证明∠MAO是平面α与底面ABC所成的锐角，同理可得∠MBO是平面β与底面ABC所成的锐角，由此证明OA=OB，即可得结论．
此题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】C;
【解析】
此题主要考查利用空间向量的夹角求异面直线所成角，难度不大.
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC'为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与AC'所成角的余弦值

解：根据题目条件建立空间直角坐标系C-xyz，
则C(0,0,0)A(1,0,0)，E(0,1,12)，C'(0,0,1)，
所以CE→=(0,1,12)，AC→'=(-1,0,1)，
向量CE→与向量AC→'所成角即为异面直线CE与AC'所成交，设为θ，
csθ=|CE→.AC→'||CE→|AC→'=|-1×0+0×1+1×12|(-1)2+02+12.02+12+(12)2=1010.
故选C.
11.【答案】A;
【解析】解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，E(1,0,0)，D(0,2,0)，
设F(0,m,n)，m∈[0,2]，n∈[0,2]，
∴FE→·FD→=m2-2m+n2=-34，
∴S△ADE为定值，要想三棱锥F-AED的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，
其中n2=-34-m2+2m=-(m-1)2+14，
∴当m=1时，n2取得最大值为14，
∵n∈[0,2]，∴n的最大值为12，∴F(0,1,12)，EF→=(-1,1,12)，
平面ABB1A1的法向量n→=(0,1,0)，
∴当三棱锥F-AED的体积最大时，EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为：
|cs|=|EF→·n→||EF→|·|n→|=11+1+14=23.
故选：A.
建立空间直角坐标系，设F(0,m,n)，利用向量的数量积及体积最大值求得F(0,1,12)，从而得到EF与平面ABB1A1所成角的正弦值．
此题主要考查线面角的正弦值、三棱锥体积、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】A;
【解析】解：设AD的中点为E，
因为AP⊥DP，所以点P在以AD为直径的圆E上，
因为BB1⊥平面ABCD，BP⊂平面ABCD，
所以BB1⊥BP，
所以B1P2=BB12+BP2，又BB1是定值，
所以欲使线段B1P的长度最小，只需使BP最小即可，
又BP⩾BE-PE，当且仅当B，P，E三点共线，且P位于B，E之间时等号成立，
因为BE=AB2+AE2=3+1=2,EP=1，
所以BP的最小值为1，
所以线段B1P长度的最小值为5.

故选：A.
由条件确定点P的轨迹，结合图形确定线段B1P最短时点P的位置，再求线段B1P长度的最小值．
此题主要考查了空间中两点间的长度计算，属于中档题．
13.【答案】B;
【解析】解：对于①，因为a→=(1,-1,2)，b→=(2,1,-12)，且a→⋅b→=1×2-1×1-2×(-12)=0，所以a→⊥b→，所以l⊥m，命题①正确；
对于②，因为a→=(0,1,-1)，n→=(1,-1,-1)，且a→⋅n→=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0，所以a→⊥n→，所以l//α或l⊂α，命题②错误；
对于③，因为n1→=(-2,1,3)，n2→=(1,-1,1)，且n1→⋅n2→=(-2)×1+1×(-1)+3×1=0，所以n1→⊥n2→，所以α⊥β，命题③错误；
对于④，因为A(1,0,-1)，B(0,-1,0)，C(-1,2,0)，所以AB→=(-1,-1,1)，BC→=(-1,3,0)，
设平面法向量为n→=(x,y,z)，则{n→·AB→=-x-y+z=0n→·BC→=-x+3y=0，令x=1，则y=13，z=43，所以n→=(1,s,t)=(1,13,43)，所以t=4s，命题④正确．
综上知，正确命题的序号是①④．
故选：B.
根据题意，利用空间向量的数量积判断直线与直线以及直线与平面、平面与平面的位置关系即可．
此题主要考查了空间向量的应用问题，也考查了直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，是基础题．
14.【答案】[7，13];
【解析】解：分别过B，C作底面的垂线，垂足分别为B1，C1．
由已知可得，BB1=3，CC1=32，AB1=1，AC1=32．
如图，当AB，AC所在平面与α垂直，且B，C在底面上的射影B1，C1在A点同侧时BC长度最小，
当AB，AC所在平面与α垂直，且B，C在底面上的射影B1，C1在A点两侧时BC长度最大．

过C作CD⊥BB1的延长线，垂足为D，则BD=332，CD=12，
则BC的最小值为(332)2+14=7，最大值为(332)2+254=13．
∴线段BC长度的取值范围为[7,13]，
故答案为：[7,13].
由题意画出图形，分类求出BC的最小值与最大值即可．
此题主要考查直线与平面所成的角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.【答案】33a;
【解析】
此题主要考查点到直线的距离，属于中档题.
建立空间直角坐标系，进行点坐标表示，即可求出结果.

解：由题中已知条件，
以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，D1(0,0,a)，C1(0,a,a)，
所以A→D1=(-a,0,a)，D→C1=(0,a,a)，
因为M是线段DC1上的动点，
所以DM→=møverrightarrwDC1(0⩽m⩽1)，
所以M(0,ma,ma)，设N是线段AD1上的动点，且MN→⊥A→D1，
所以|MN→|即为M到直线AD1的距离，
设AN→=nøverrightarrwAD1(0⩽n⩽1)，
则N(a-na,0,na)，
因为MN→.A→D1=0，
所以(a-na,-ma,na-ma).(-a,0,a)=0，
化简得m=2n-1，
所以MN→=(a-na)2+m2a2+(na-ma)2
=a2m2+2n2-2mn-2n+1，
将m=2n-1代入上式，
可得到|MN→|=a6n2-8n+3=a6(n-23)2+13，
所以当n=23时，|MN→|min=33a，
所以M到直线AD1的距离最小值为33a.
故答案为33a.
16.【答案】π3;
【解析】解：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|csα|=|n→.PA→||- n||PA→|=|0-1 4-2| 0+1 4+23 4+1 4+2=3 2，
∴直线PA与平面α所成的角为π 3．
故答案为：π 3．
设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|csα|=|n→.PA→| |- n||PA→|，即可得出．
该题考查了线面角的计算公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】23;
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,2,0)，
AE→=(-1,2,0)，A→D1=(-2,0,2)，
设平面AED1的法向量n→=(x,y,z)，
则AE→.n→=-x+2y=0AD1.n→=-2x+2z=0，取y=1，得n→=(2,1,2)，
平面ADE的法向量m→=(0,0,1)，
则csθ=|m→.n→||m→|.|n→|=23．
故答案为：23．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
该题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】13 6;略;
【解析】解：以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，D→D1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，如图所示，
则A1(6,0,6)，D1(0,0,6)，B(6,6,0)，
设M(x,0,x)(0⩽x⩽6)，
设D1ND1B=λ，λ∈[0,1]，
线段MN取得最小值，此时满足MN⊥A1D，MN⊥BD1，
所以D→A1=(6,0,6)，B→D1=(-6,-6,6)，
MN→=M→D1+D1→N=M→D1+λøverrightarrwD1B=(-x,0,6-x)+λ(6,6,-6)=(6λ-x,6λ,6-x-6λ)，
又因为MN→.D→A1=0，MN→.B→D1=0，
所以36-12x=0，解得λ=13，
此时MN→=(-1,2,1)，
所以当D1ND1B=13时，线段MN取得最小值，最小值为|MN→|=6，
故答案为：13，6.
以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，D→D1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，设D1ND1B=λ，λ∈[0,1]，线段MN取得最小值，此时满足MN⊥A1D，MN⊥BD1，再根据空间向量的坐标运算求解即可．
此题主要考查了异面直线的公垂线的求法，考查了空间向量的基本运算，同时考查了学生的运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解；依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D1D⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a…（2分）
以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）…（4分）
（Ⅰ）∵A→B1=（-a，a，a），D→D1=（0，0，a）
∴cs＜A→B1，D→D1＞=A→B1.D→D1|A→B1||D→D1|=33
即直线AB1与DD1所成角的余弦值为33…（6分）
（II）设F（x，0，z），∵B→B1=（-a，a，a），BC→=（-2a，0，0），F→B1=（a-x，a，a-z）
由FB1⊥平面BCC1B1得
即-a(a-x)-a2+a(a-z)=0-2a(a-x)得x=az=0
∴F（a，0，0）即F为DA的中点…（9分）
（III）由（II）知F→B1为平面BCC1B1的法向量．
设n→=（x1，y1，z，）为平面FCC1的法向量．
∵C→C1=（0，-a，a），FC→=）-a，2a，0）
∴-ay1+az1=0-ax1+2ay1=0
令y1=1得x1=2，z1=1
∴n→=（2，1，1）
∴cs＜n→，F→B1＞=n→.F→B1n→||F→B1|=33
即二面角F-CC1-B的余弦值为33…（12分）;
【解析】
(I)建立空间直角坐标系，设AB=2A1B1=2DD1=2a，求出A→B1=(-a,a,a)，D→D1=(0,0,a)，利用向量的夹角公式，可得结论；
(II)由FB1⊥平面BCC1B1，利用向量的数量积公式，即可得出结论；
(III)确定F→B1为平面BCC1B1的法向量，求出平面FCC1的法向量，利用向量的夹角公式，可得结论．
该题考查线面垂直，考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：连接OC，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD．
又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO．因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，
（2）解：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）.AP→=(1，0，2)，CP→=(0，-1，2)，BC→=(-1，1，0)．
设平面APC的一个法向量为n1→=(x，y，z)，则有{n1→·AP→=0n1→·CP→=0即{x+2z=0-y+2z=0，
令z=1，则x=-2，y=2所以n1→=(-2，2，1)，
设平面BPC的一个法向量为n2→=(x，y，z)，则有{n2→·BC→=0n2→·CP→=0即{-x+y=0-y+2z=0，
令y=2，则x=2，z=1所以n2→=(2，2，1)，
所以cs＜n1→，n2→＞=n1→·n2→|n1→|·|n2→|=14+4+1×4+4+1=19，
所以sin＜＜n1→，n2→＞=1-(19)2=459，
故二面角A-PC-B的正弦值为459．;
【解析】
(1)由PO⊥AC，OD⊥AC，即可证得AC⊥平面POD；
(2)以O为坐标原点，OB，OC，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求两平面PAC，平面PBC的一个法向量，利用向量法可求二面角A-PC-B的正弦值．
此题主要考查线面垂直的判定以及二面角正弦值的求法，考查推理论证能力及运算求解能力，属中档题．
21.【答案】【解】(1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直.以\left{ AB,AD,AP}为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则B1,0,0,C1,2,0,D0,2,0,P0,0,2,从而PB→=1,0,-2,PC→=1,2,-2,PD→=0,2,-2,
设平面PCD的法向量n=x,y,z,则n.PC→=0,n.PD→=0,
即x+2y-2z=0,2y-2z=0,不妨取y=1,
则x=0,z=1,所以平面PCD的一个法向量为n=0,1,1.
设直线PB与平面PCD所成角为θ,所以sinθ=csPB→,n=PB→.nPB→.n=105,
即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105 .
(2)设Ma,0,0,则MA→=-a,0,0,设PN→=λøverrightarrwPC,则PN→=λ,2λ,-2λ,而AP→=0,0,2,所以MN→=MA→+AP→+PN→=λ-a,2λ,2-2λ.
由(1)知，平面PCD的一个法向量为n=0,1,1,
因为MN⊥平面PCD，所以MN→//n.所以λ-a=0,2λ=2-2λ,
解得，λ=12,a=12.所以M为AB的中点，N为PC的中点.

MN⊥;
【解析】
此题主要考查空间向量的问题，求线面角.探索性问题求点位置，
熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题.
(1)由题意知AB，AD，AP两两垂直，以\left{ AB,AD,AP}为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，求平面PCD的一个法向量为n，
由空间向量的线面角公式求解即可.
(2)设Ma,0,0,PN→=λøverrightarrwPC,利用MN⊥平面PCD，所以MN→//n，
得到λ,a的方程，求解即可确定M，N的位置.
22.【答案】证明：(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴PA，AD，AB两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)，E(1,1,1)
∴BE→=(0,1,1)，DC→=(2,0,0)
∵BE→⋅DC→=0，
∴BE⊥DC；
(Ⅱ)∵BD→=(-1，2，0)，PB→=(1,0,-2)，
设平面PBD的法向量m→=(x,y,z)，
由m→.BD→=0m→.PB→=0，得{-x+2y=0x-2z=0
令y=1，则m→=(2,1,1)，
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ=m→⋅BE→|m→|⋅|BE→|=26×2=33，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33．
(Ⅲ)∵BC→=(1，2，0)，CP→=(-2,-2,2)，AC→=(2,2,0)，
由F点在棱PC上，设CF→=λCP→=(-2λ,-2λ,2λ)(0⩽λ⩽1)，
故BF→=BC→+CF→=(1-2λ,2-2λ,2λ)(0⩽λ⩽1)，
由BF⊥AC，得BF→⋅AC→=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0，
解得λ=34，
即BF→=(-12,12,32)，
设平面FBA的法向量为n→=(a,b,c)，
由n→.AB→=0n→.BF→=0，得a=0-12a+12b+32c=0
令c=1，则n→=(0,-3,1)，
取平面ABP的法向量i→=(0,1,0)，
则二面角F-AB-P的平面角α满足：
csα=|i→⋅n→||i→|⋅|n→|=310=31010，
由图易知，二面角F-AB-P为锐角，
故二面角F-AB-P的余弦值为：31010;
【解析】该题考查直线于平面所成的角，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．属于中档题．
(Ⅰ)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据BE→⋅DC→=0，可得BE⊥DC；
(Ⅱ)求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(Ⅲ)根据BF⊥AC，求出向量BF→的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值．

23.【答案】解：（1）以A为原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由BM=1，CD=2，AD=3，AA1=4，
所以M（2，0，1），C（2，3，0），C1（2，3，4），A1（0，0，4），
因此MC→=(0，3，-1)，MA1→=(-2，0，3)，CC1→=(0，0，4)，
设平面A1MC的法向量n1→=(x，y，z)，则n1→⊥MC→，n1→⊥MA1→，
所以{n1→⋅MC→=3y-z=0n1→⋅MA1→=-2x+3z=0，
取x=9，则y=2，z=6，于是n1→=(9，2，6)，
所以点C1到平面A1MC的距离d=|CC1→⋅n1→|n1→||=2411．
（2）由A1C1→=(2，3，0)，MA1→=(-2，0，3)，设平面A1MC1的法向量n2→=(x，y，x)，
则n2→⊥A1C1→，n2→⊥MA1→，
所以{n2→⋅A1C1→=2x+3y=0n2→⋅MA1→=-2x+3z=0，
取x=3，则y=-2，z=2，于是n2→=(3，-2，2)，
由（1）知平面A1MC的法向量为n1→=(9，2，6)，
记二面角C1-A1M-C的平面角为α，则csα=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=351117=357187，
由图可知二面角C1-A1M-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为357187．;
【解析】
(1)以A为原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，
(2)求出A1MC和A1MC1的法向量，利用空间向量求解．
此题主要考查点面距离的计算，二面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．