2023高考数学复习专项训练《空间直角坐标系》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间直角坐标系》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）若点A(2,3,2)关于xOz平面的对称点为Aˈ，点B(-2,1,4)关于y轴对称点为Bˈ，点M为线段AˈBˈ的中点，则|MA|=()
A. 30B. 36C. 5D. 21
2.（5分）在空间直角坐标系O-xyz中，点（-2，0，4）关于y轴的对称点是（ ）
A. （-2，0，-4）B. （2，0，-4）
C. （4，0，-2）D. （2，0，4）
3.（5分）已知点A（-3，1，-4），则点A关于z轴对称的点的坐标为（ ）
A. （3，-1，4）B. （3，-1，-4）
C. （-3，-1，-4）D. （-3，1，4）
4.（5分）点P（1，3，-5）关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （-1，-3，-5）B. （-1，-3，5）
C. （5，-3，-1）D. （-3，1，5）
5.（5分）在空间直角坐标系中，已知定点A(1，-2，1),B(2，2，2).点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则P点的坐标为( )
A. (3，0，0)B. (0，3，0)
C. (0，0，3)D. (0，0，-3)
6.（5分）已知z轴上一点N到点A(1,0,3)与点B(-1,1,-2)的距离相等，则点N的坐标为()
A. (0,0,-12)B. (0,0,-25)
C. (0,0,12)D. (0,0,25)
7.（5分）空间直角坐标系中，点（－2，1，9）关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (-2，1，9)B. (-2，-1，-9)
C. (2，-1，9)D. (2，1，-9)
8.（5分）在空间直角坐标系中，若P（3，-2，1）则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为（ ）
A. （-3，-2，-1）B. （3，2，1）
C. （-3，2，-1）D. （3，-2，-1）
9.（5分）已知空间中△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,1)，B(0,3,2)，C(0,1,0)，则BC边上的中线的长度为()
A. 6B. 3C. 5D. 2
10.（5分）已知动点P的竖坐标恒为2，则动点P的轨迹是( )
A. 平面B. 直线
C. 不是平面也不是直线D. 以上都不对
11.（5分）若点P（2x，1-x，1）在点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）所确定的平面内，则实数x的值为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
12.（5分）在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为N，已知点A(1, 2，2)，则|AN|=( )
A. 70B. 32C. 62D. 46
13.（5分）在空间直角坐标系O-xyz中，在坐标平面xOy上到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离相等的点有（ ）
A. 1个B. 2个C. 不存在D. 无数个
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E是线段B1C的中点，分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，点E的坐标是____．
15.（5分）在空间直角坐标系-xyz中，已知点A（1，-2，1），B（2，1，3），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为____________．
16.（5分）在空间直角坐标系O-xyz中，点P（4，3，7）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为____________．
17.（5分）已知A（-4，2，3）关于xz平面的对称点为____．
18.（5分）已知球面上的点满足方程（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=9，点A（-3，2，5），则球面上的点与点A距离的最大值是____．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90∘，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求BN→的模；
(2)求cs的值；
(3)求BN与平面C1MN所成角.
20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD//BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，PB=3.
(Ⅰ)求证：BC⊥PB；
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的余弦值；
(Ⅲ)若点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求线段BE的长．
21.（12分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，部分顶点的坐标如下：A（-1，-1，-1），B（-1，3，-1），C（4，3，-1），A1（-1，-1，3），求C1，D1的坐标．
22.（12分）已知空间三点A(1,2,3)，B(2,-1,5)，C(3,2,-5)，求△ABC的面积及AB边上的高.
23.（12分）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3，|AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．(用坐标法)
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查空间直角坐标系关于坐标轴、坐标平面对称的点的坐标，考查空间中两点间距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
先求出Aˈ，Bˈ的坐标，再求出M的坐标，再求出|MA|得解.

解：∵点A(2,3,2)关于xOz平面的对称点为Aˈ，
∴A'(2,-3,2)，
∵点B(-2,1,4)关于y轴对称点为Bˈ，
∴B'(2,1,-4)，
∵点M为线段AˈBˈ的中点，∴M(2,-1,-1)，
∴|MA|=(2-2)2+(-1-3)2+(-1-2)2=5.
故选：C.
2.【答案】B;
【解析】解：∵在空间直角坐标系中，点（-2，0，4）关于y轴对称，把x变为-x，z变为-z，y不变，
∴其对称点为：（2，0，-4）．
故选：B．
3.【答案】B;
【解析】解：点A（-3，1，-4），则点A关于z轴对称的点为（3，-1，-4）．
故选：B．
4.【答案】B;
【解析】解：由空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标、纵坐标、竖坐标都互为相反数，可得点P（1，3，-5）关于坐标原点的对称点的坐标为（-1，-3，5），
故答案为 （-1，-3，5）．
5.【答案】C;
【解析】设点P坐标为(0，0，z)，由|PA|=|PB|得：
(1-0)2+(-2-0)2+(1-z)2=(2-0)2+(2-0)2+(2-z)2，解得：z=3.故选C。
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查空间两点间的距离公式，属基础题．
根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．
解：设z轴上一点N(0,0,z)
由点N到点A(1,0,3)与点B(-1,1,-2)的距离相等，得：
12+02+(z-3)2=(-1-0)2+(1-0)2+(-2-z)2
解得z=25，故N(0,0,25)
故选：D.
7.【答案】B;
【解析】在空间直角坐标系中某一点关于x轴的对称点x坐标不变，所以点(-2，1，9)关于x轴的对称点(-2，-1，-9)。
8.【答案】B;
【解析】解：设所求的点为Q（x，y，z），
∵点Q（x，y，z）与点P（3，-2，1）关于平面xz的对称，
∴P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，
即x=3，y=2，z=1，
得Q坐标为（3，2，1）
故选：B．
9.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了空间两点间的距离公式，属于基础题.
利用中点坐标公式求得线段BC的中点为D的坐标，进而由空间两点间的距离公式即可求解.解：设线段BC的中点为D，由B(0,3,2)，C(0,1,0)，可得D(0,2,1)，
又A(2,1,1)，
则BC边上的中线|AD|=(0-2)2+(2-1)2+(1-1)2=5.
故选C.
10.【答案】A;
【解析】有题意可知，动点P的轨迹方程为y=2的平面。故本题正确答案为A。
11.【答案】B;
【解析】解：∵AP=（2x-1，1-x，1），
AB=（-1，1，0），
AC=（-1，0，1）．
由题意，设AP=λAB+μAC
（2x-1，1-x，0）=λ（-1，1，0）+μ（-1，0，1），
∴
，
解得x=0．
故选：B．
12.【答案】A;
【解析】
此题主要考查空间直角坐标系的对称性与两点之间的距离公式，属于基础题.
根据空间直角坐标系的对称性得到N(-5,-3,-1)，再根据两点之间的距离公式即可得到答案.解：因为点M(-5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为N，
所以N(-5,-3,-1)，
则|AN|=(-5-1)2+(-3-2)2+(-1-2)2=70.
故答案为A.
13.【答案】D;
【解析】解：设空间直角坐标系O-xyz中坐标平面xOy上的点P（x，y，0），
则点P到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离为|PA|、|PB|，
根据题意，得|PA|=|PB|；
即（x-3）2+（y-2）2+（0-5）2=（x-3）2+（y-5）2+（0-1）2，
化简，得y=-
；
∴满足条件的点有无数个．
故选：D．
14.【答案】（2，1，1）;
【解析】解：由坐标系可得：B1（2，0，2），C（2，2，0）．
设E（x，y，z）．由中点坐标公式可得：
y=
z=
，
解得x=2，y=1，z=1．
∴E（2，1，1）．
故答案为：（2，1，1）．
15.【答案】（0，0，2）;
【解析】解：设P（0，0，z），
因为点A（1，-2，1），B（2，1，3），|PA|=|PB|，
所以（1-0）2+（-2-0）2+（1-z）2=（2-0）2+（1-0）2+（3-z）2，
解得：z=2．
故答案为：（0，0，2）．
16.【答案】（-4，3，7）;
【解析】解：设所求对称点为P'（x，y，z）
∵关于坐标平面yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，
∴x=-4，y=3，z=7
即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'（-4，3，7）
故答案为：（-4，3，7）
17.【答案】（-4，-2，3）;
【解析】解：A（-4，2，3）关于xz平面的对称点为（-4，-2，3）．
故答案为：（-4，-2，3）．
18.【答案】9;
【解析】解：由球面上的点满足方程（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=9，可得球心C（1，-2，3），半径r=3．
∴|CA|=(-3-1)2+(2+2)2+(5-3)2=6．
则球面上的点与点A距离的最大值=|CA|+r=6+3=9．
故答案为：9．
19.【答案】解：(1)因为CC1⊥平面ABC，∠BCA=90∘，易得CA、CB、CC1两两垂直，
以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，










则B(0,1,0)，N(1,0,1)，
所以，BN→=(1,-1,1)，则|BN→|=1+(-1)2+12=3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)、B(0,1,0)，
所以，A1B→=(-1,1,-2)，B1C→=(0,-1,-2)，
∴A1B→·B1C→=0-1+4=3，
又|A1B→|=1+1+4=6，|B1C→|=0+1+4=5，
所以，cs=A1B→⋅B1C→|A1B→|⋅|B1C→|=3010.
(3)依题意得
A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M(12,12,2).
则C1M→=(12,12,0)，C1N→=(1,0,-1)，BN→=(1,-1,1)，
所以，C1M→·BN→=12×1+12×(-1)+0×1=0，
C1N→·BN→=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0，
则C1M→⊥BN→，C1N→⊥BN→，即BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又因为C1M∩C1N=C1，C1M、C1N⊂平面C1MN，
所以，BN⊥平面C1MN；
故BN与平面C1MN所成角90°.;
【解析】此题主要考查空间向量的模，求空间向量的夹角，利用空间向量证明线面垂直关系，属于中档题.
由题意，建立空间直角坐标系
(1)求出B，N点坐标，进而得到BN→的坐标，再求出BN→的模即可；
(2)先求出A1B→与B1C→的坐标，进而利用空间向量夹角公式求出cs的值即可；
(3)先求出C1M→，C1N→，BN→的坐标，再由向量的数量积证明C1M→⊥BN→，C1N→⊥BN→，从而得到BN⊥平面C1MN即可得解.
20.【答案】证明：(Ⅰ)∵在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD//BC，AD=3，
PA=BC=2AB=2，PB=3.
∴PA2=PB2+AB2，
∴PB⊥AB，
∵平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PB⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PB.
解：(Ⅱ)以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，
A(0,1,0)，C(2,0,0)，D(3,1,0)，P(0,0,3)，
CD→=(1,1,0)，CP→=(-2,0,3)，CA→=(-2,1,0)，
设平面PCD的法向量n→=(x,y,z)，
则{n→·CD→=x+y=0n→·CP→=-2x+3z=0，取x=3，得n→=(3,-3,2)，
平面CDA的法向量m→=(0,0,1)，
设二面角P-CD-A的平面角为，
则csθ=|m→·n→||m→|·|n→|=210=105.二面角为锐角.
二面角P-CD-A的余弦值为105.
(Ⅲ)平面PCD的法向量n→=(3,-3,2)，
点E在棱PA上，
∴PE→=λPA→=λ(0,1,-3)=(0,λ,-3λ)，
∴BE→=BP→+PE→=(0,λ,3-3λ)，
∵BE//平面PCD，
∴BE→·n→=0-3λ+23-23λ=0，
∴λ=23，
∴E(0,23,33)，
∴|BE→|=(23)2+(33)2=73，
线段BE的长为73.;
【解析】
此题主要考查线与线、线与面的位置关系，考查向量法求二面角，属于中档题．
(Ⅰ)推导出PB⊥AB，从而PB⊥平面ABCD，由此能证明BC⊥PB.
(Ⅱ)以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CD-A的余弦值．
(Ⅲ)求出平面PCD的法向量n→=(3,-3,2)，由点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求出E(0,23,33)，由此能求出线段BE的长．

21.【答案】解：长方体ABCD-A1B1C1D1中，部分顶点的坐标如下：A（-1，-1，-1），B（-1，3，-1），C（4，3，-1），可得D（4，-1，-1）．∵A1（-1，-1，3），∴D1（4，-1，3），
C1（4，3，3）．;
【解析】直接利用向量的平行坐标运算法则求解即可．
22.【答案】解：由题意得AB→=(1,-3,2)，AC→=(2,0,-8)， ∴|AB→|=1+9+4=14，|AC→|=4+0+64=217， AB→·AC→=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14，∴cs=AB→·AC→|AB→||AC→|=-1414×217=-14217， ∴sin=1-1468=2734.∴S△ABC=12|AB→|·AC→|·sin=12×14×217×2734=321.
设AB边上的高为CD，则|CD→|=2S△ABC|AB→|=36，即△ABC中AB边上的高为36.;
【解析】此题主要考查空间向量夹角的坐标表示和两点间距离公式，是中档题
23.【答案】解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，∴N(32,3,1)．
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得：
M、N两点间的距离：|MN|=(1-32)2+(1-3)2+(2-1)2=212．;
【解析】该题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M、N两点间的距离．

2x-1=-λ-μ
1-x=λ
μ=0
1
2
x=2+22
2+2
2
0+2
2
2+0
2