2023高考数学二轮复习专项训练《导数的综合问题》

这是一份2023高考数学二轮复习专项训练《导数的综合问题》，共21页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）设函数f(x)是定义在0,+∞上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有2f(x)+xf'(x)>x2，则不等式x-20192fx-2019-f(1)>0的解集为( )

A. (0,2019)B. (2019,+∞)
C. (0,2020)D. (2020,+∞)
2.（5分）设函数f(x)=xex-ax+a，其中a>1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0的解集为( )
A. (-∞,-2)∪(2,+∞)B. (-2,0)∪(0,2)
C. (-∞,-2)∪(0,2)D. (-2,0)∪(2,+∞)
9.（5分）已知f(x)=lnx-x4+34x，g(x)=-x2-2ax+4，若对∀x1∈(0,2]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)⩾g(x2)成立，则a的取值范围是( )
A. [-18,+∞)B. [25-8ln216,+∞)
C. [-18,54]D. (-∞,54]
10.（5分）已知函数f(x)=a(2a-1)e2x-(3a-1)(x+2)ex+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )
A. (12,e)B. (12,e+12)
C. (12,1)∪(1,e)D. (12,1)∪(1,e+12)
11.（5分）若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,1e)B. (0,1e)C. (-∞,0)D. (0,+∞)
12.（5分）设定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f'(x)-f(x)x=1，f(1)=0，则关于x的方程[f(x)]2-m=0的实数根的个数不可能为( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
13.（5分）已知不等式x-3lnx+1⩾mlnx+n(m,n∈R,且m≠-3)对任意实数x恒成立，则n-3m+3的最大值为( )
A. -2ln2B. -ln2C. 1-ln2D. 2-ln2
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，现有下列结论：
①f(x)至多有三个零点；
②∃a∈[2,+∞),使得∀x∈(0,+∞)，f(x)>0；
③当a∈[0,e2]时，f(x)在R 上单调递增．
其中正确的结论序号是__________.
15.（5分）设函数f(x)=13x3+mx2-3m2x+2m-1(m>0)，若存在f(x)的极大值点x0，满足x02+[f(0)]20时，f(x)>0恒成立．求a的取值范围；
(2)比较20192017与20182018的大小．
20.（12分）已知函数f(x)=lnx+ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)ex1+ex2+2-2a．
23.（12分）已知函数fx=ex-ax-aa∈R.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1+x2>0.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查函数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论，属于中档题.
构造函数g(x)=x2f(x)(x>0)，则g(1)=f(1)，由2f(x)+xf'(x)>x2，可得g(x)在x∈(0,+∞)单调性，不等式(x-2019)2f(x-2019)-f(1)>0⇔g(x-2019)>g(1)，利用单调性即可解出．

解：由题意，令g(x)=x2f(x)(x>0)，则g(1)=f(1)，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)
又∵2f(x)+xf'(x)>x2，且x>0，
∴2xf(x)+x2f'(x)>x3>0，即g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)>0，
∴函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
∴(x-2019)2f(x-2019)-f(1)>0，即(x-2019)2f(x-2019)>g(1)，
∴等价于g(x-2019)>g(1)，
∴x-2019>1，解得x>2020，
故选D.

2.【答案】D;
【解析】
此题主要考查利用导数研究存在性问题，属于较难题.
令g(x)=xex，h(x)=ax-a，a>1，则问题等价于“存在唯一的整数x0使得点(x0,g(x0))在直线h(x)=ax-a下方”，对x进行分类讨论，利用导数即可求解.
解：令g(x)=xex，h(x)=ax-a，a>1，显然直线h(x)=ax-a恒过点A(1,0)，
则“存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则切线方程为：y-tet=(t+1)et(x-t)，
而切线过点A(1,0)，即有-tet=(t+1)et(1-t)，整理得：t2-t-1=0，而t>0，解得t=1+52∈(1,2)，
因g(1)=e>0=h(1)，又存在唯一整数x0使得点(x0,g(x0))在直线h(x)=ax-a下方，则此整数必为2，
即存在唯一整数2使得点(2,g(2))在直线h(x)=ax-a下方，
因此有{g(2)0可得g'(x)=f'(x)⋅x-3f(x)x40的解集.

解：根据题意，设函数g(x)=f(x)x3，
当x>0时，g'(x)=f'(x)⋅x-3f(x)x40时x3>0，由f(x)>0可得g(x)>0，即00时，f(x)=xlnx，f'(x)=1+lnx，
由f'(x)0，函数f(x)单调递增，
当x→0时，f(x)→-∞，不可能恒有f(x)⩾0；
∴m+3>0，由f'(x)=0，得x=m+3，
当x∈(0,m+3)时，f'(x)0)，
则由f'(x)>0得，x>m或x0，函数y=x+2lnx+3x为增函数．
∴x=1时，ymin=1+0+3=4．
∴a⩽4．
∴实数a的取值范围是(-∞,4]．
故答案为：(-∞,4]．
由已知可得a⩽x+2lnx+3x，x>0，令y=x+2lnx+3x，利用导数求出x=1时，y取最小值4，由此可得实数a的取值范围．
该题考查恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题．
19.【答案】解：（1）f（x）的定义域为x＞-1，
∴f′（x）=1x+1-a(x+1)2=x+1-a(x+1)2，
令f′（x）=0，得x=a-1，
当a≤1时，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
即f（x）在（0，+∞）单调递增，则f（x）＞f（0）=0，则a≤1满足条件，
当a＞1时，x∈（0，a-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（a-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（a-1）＜f（0）=0，
即存在x=a-1时使得f（x）＞0不成立，故a＞1不满足题意，
综上所述a的取值范围为（-∞，1]，
（2）设g（x）=ln(x+1)x，x＞0，
∴g′（x）=xx+1-ln(x+1)x2，
由（Ⅰ）得a=1时，x＞0时，有f（x）=ln（x+1）-xx+1＞0，
即xx+1-ln（x+1）＜0，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵2018＞2017，
∴ln20192018＜ln20182017，
∴2017ln2019＜2018ln2018
即ln20192017＜ln20182018，
∴20192017＜20182018．;
【解析】
(1)先求导，再分了讨论，根据导数和函数单调的关系以及最值的关系，即可求出a的取值范围，
(2)设g(x)=ln(x+1)x，x>0，利用(1)的结论判断函数的单调性，根据函数的单调性和对数的运算性质即可判断．
该题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，分类讨论的思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f'(x)=1x-ax2=x-ax2,x>0，
①当a⩽0时，f'(x)>0恒成立，
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
②当a>0时，由f'(x)>0，得x>a；由f'(x)0在(1,+∞)上恒成立，
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增.
又g(1)=12，
∴g(x)>12在(1,+∞)上恒成立，要使a0，f(x0)0，即可证明函数f(x)有且仅有两个零点；
(2)由题可知，ex1=lnx1+a，ex2=lnx2+a，于是要证ex1x2>ex1+ex2+2-2a，需证ex1x2>lnx1x2+2a+2-2a=lnx1x2+2，令x1x2=t∈(0,+∞)，需证et>lnt+2，令g(t)=et-lnt-2，结合(1)中的结论，可得g(t)min>0，因此原问题得证．
该题考查利用导数证明函数的零点问题和不等式恒成立问题，其中采用了隐零点的思维、零点存在定理和放缩法，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由题意得f'x=ex-ax∈R，
当a⩽0时，f'x>0，所以f(x)在R上单调递增；
当a>0时，由f'x=0，得x=lna，
当x0，f(x)在lna,+∞上单调递增；
综上所述，当a⩽0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在-∞,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增.
(2)∵f(x)有两个零点x1，x2，不妨设x11时，y'>e-2>0，
∴y=ex-x-lnx-1，在1,+∞上单调递增，
∴当x>1时，y=ex-x-lnx-1>e-2>0;
∴fa+lna=ea+lna-aa+lna+1=aea-a-lna-1>0，
∴存在x2∈lna,a+lna，使得fx2=0.
综上，当a>1时，f(x)有两个零点x1，x2，
∵ex1=ax1+1,ex2=ax2+1，且-1