江苏省宿迁市沭阳塘沟高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷及答案

这是一份江苏省宿迁市沭阳塘沟高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷及答案，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 在中，角A、B、C的对边分别为，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 等腰或直角三角形 D. 直角三角形
3. 已知点M，N在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且的面积为4，，若SM与底面所成角为，则圆锥SO的表面积为（ ）
A.B. C. D.
4. 已知，，，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是( )
A. B.
C. D.
6. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奧大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处 C点的高度，小王在场馆内的两点测得C的仰角分别为单位：，且，则大跳台最高高度( )

A. B. C. D.
7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若则B. 若则
C. 若，则D. 若则
8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D. 3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 下面是关于复数为虚数单位的命题，其中真命题为( )
A. B.
C. z的共轭复数为D. z的虚部为1
10. 下列各式中，值为的是
A. B.
C. D.
11. 在中各角所对得边分别为，下列结论正确的有( )
A. 则为等边三角形；
B. 已知，则；
C. 已知，，，则最小内角的度数为；
D. 在，，，解三角形有两解．
12. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点包含端点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点P，使面
B. 二面角的平面角大小为
C. 的最小值是
D. P到平面的距离最大值是
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设为两个不共线的向量，，，，若三点共线，则的值为_________。
14. 若，且，则的最小值为 ．
15.求值________.
16. 如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且，则
________．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
17. (本小题10.0分)
已知|a|=1，|b|=2，的夹角是60°，
(1)计算，；
(2)求的夹角的余弦值．
18. (本小题12.0分)
若定义一种运算：. 已知为复数，且．
(1)求复数
(2)设t为实数，若 ，且为纯虚数，求的值．
19. (本小题12.0分)
已知函数，，，.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，，求的值.
20. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.求证：
(1)平面； (2).
21. (本小题12.0分)
2023年江苏省油菜花节，我县某村通过层层遴选，最终在全省29个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图如图
已知：A，B，D，E四点共圆，，，，，其中AD，不计宽度是观赏路线，与是油菜花区域.
求观赏路线的长度;
因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值.
22. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD为矩形，且平面ABCD，，E为BC的中点.
求三棱锥的体积；
探究在PA上是否存在点G，使得平面PCD，并说明理由.
求直线PA与平面PDE所成角的正弦值
月考试卷参考答案
1. 2. 3. B 4. 5. 6. 7. D 8. A
9. 10. 11. 12. AC
13. 3 14. 4 15. 16.
17.解：(1)|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是60°，
a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs60∘=1×2×12=1，
∵|a+b|2=a2+b2+2a⋅b=1+4+2×1=7，
∴|a+b|= 7. ……………………………………5分
(2)|a|=1，|b|=2，
由(1)可知，a⋅b=1，|a+b|= 7，
∵(a+b)⋅a=a2+a·b=2，
∴cs<(a+b),a>=(a+b)⋅a|a+b||a|=2 7×1=2 77．
故a+b和a的夹角的余弦值为2 77．……………………………分
18.解：(1)设复数z=a+bi(a,b∈R,a>0,i是虚数单位)，则z−=a−bi，
因为(1,z)z−2=z−+2z=(a−bi)+2(a+bi)=3a+bi=9−4i，
所以解得a=3，b=−4，
可得z=3−4i．…………………………………………………………………….6分
(2)因为t为实数，若z0=t+2i，由(1)可得z=3−4i，
所以z0z=t+2i3−4i=(t+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=(3t−8)+(4t+6)i25，
由于z0z=(3t−8)+(4t+6)i25为纯虚数，可得3t−8=04t+6≠0，解得t=83． ……………………12分
19.（1）
，……………………………………………………….3分
所以周期，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）………………………….6分
（2），
，即……………………………………….9分
…………………………………………………12分
20.（1）连接，设与的交点为，连接．
直三棱柱，，
四边形为正方形，
为中点，
是的中点，
．
平面，平面，
平面．…………………………………………………….6分
（2）在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面……………………………………………9分
又，所以平面，
又平面，所以，
又四边形为正方形，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以…………………………………………分
21.解：，B，D，E四点共圆，，，
又，………………………2分
在中，由正弦定理得，
，，…………4分
在中，由余弦定理可知，，
即，解得，
故…………………………………6分
在中，，
，
在中，由余弦定理有，
当且仅当时取“=”………………………..9分
………………分
22.解：由题意知为腰长为1的等腰直角三角形，
，而PA是三棱锥的高，
………………….2分
在PA上存在中点G，使得平面理由如下：…………..3分
取PA，PD的中点G，H，连结EG，GH，
，H是PA，PD的中点，，且，
又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以，且，
所以，且，所以四边形EGHC是平行四边形，所以，
又平面PCD，平面PCD，所以平面……………………….6分
平面ABCD，AE、平面ABCD，
，
四边形ABCD为矩形，为BC的中点
，
，
，
、平面PAE，，
，
平面PDE，…………………………………9分
，
，
为直线PA与平面PDE所成角，
，，，，
直线PA与平面PDE所成角的正弦值为 …………………………分