四川省雅安市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

这是一份四川省雅安市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合或，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．利用独立性检验来考查两个分类变量和是否有关系时,通过查阅下表来确定“和有关系”的可信度.如果,那么就有把握认为“和有关系”的百分比为
A．B．
C．D．
4．日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．B． C． D．
6．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
7．在等比数列 中，和是方程的两根，则（ ）
A．3B．5C．D．
8．的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
9．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．在的展开式中的系数为__________.
14．若向量满足， 则______
15．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有7个不同实数根，则___________
16．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为，底面半径为的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为______.
三、解答题
17．成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区某景区为了提升服务品质，对过去天每天的游客数进行了统计分析，发现这天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：
为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了天，统计出这天的游客数千人分别为、、、、，已知这天的最高气温依次为、、、、．
(1)根据以上数据，求游客数关于当天最高气温的线性回归方程系数保留一位小数；
(2)根据（1）中的回归方程，估计该景区这天中最高气温在内的天数保留整数
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中：，．
本题参考数据：，．
18．已知数列的前项和为，且， .请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，．
(1)已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：平面DCE；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．
20．已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，求此时的弦长.
(3)设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.
21．已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若与交于相异两点A，B，且，求m的值.
23．已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】利用对数函数性质化简集合，再结合交集的运算求解即可.
【详解】由题知，，
又或，
则，即.
故选：B
2．A
【分析】利用复数的几何意义可得出复数，利用复数的四则运算化简复数，结合共轭复数的定义可得结果.
【详解】由复数的几何意义可得，则.
因此，的共轭复数为.
故选：A.
3．D
【分析】由观测值表中对应于的值可得正确的选项.
【详解】因为，而在观测值表中对应于的是，，所以有的把握认为“和有关系” ．
故选D．
【点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题，根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于的是，从而得到结果．
4．A
【分析】根据题意，列出方程，得到，两边取对数后，求出的值.
【详解】由题意得：，即，
两边取对数得：，
故.
故选：A
5．A
【分析】由三视图得正三棱柱的底面正三角形的棱长为，高为，再求外接球半径，进而求解面积即可.
【详解】解：如图，正三棱柱的直观图为，
由三视图可知，该正三棱柱的底面正三角形的棱长为，高为
设正三棱柱的外接球的球心为，分别为上下底面正三角形的外接圆圆心，
所以，根据对称性，为的中点，
因为，
所以正三棱柱的外接球的半径满足
所以这个正三棱柱的外接球的表面积为
故选：A
6．D
【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率.
【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，，
所以，又，
所以.
故选：D
7．C
【分析】设等比数列的公比为，由韦达定理可得，再根据等比数列的性质即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为和是方程的两根，
所以，
所以，
由等比数列的性质得，，
所以，则.
故选：C.
8．D
【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得.
【详解】，，即，
，
，则
故选：D
9．C
【分析】根据伸缩及平移变换得到函数，结合奇偶性得到，从而得到结果.
【详解】由题意，，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．
故选：C
10．B
【分析】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式计算即可求解.
【详解】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，
则有共10种结果.
某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果
有，共4种，
则“创新发展能力”版块被选中的概率为，
故选：B.
11．B
【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解
【详解】当DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥为正三棱锥，设正方体的棱长为3，
则，
所以，则题图1中，
则，所以.
故选：B
12．D
【分析】构造函数讨论单调性和最值可比较得，再构造函数可比较得.
【详解】设，
令解得，令解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，即，当且仅当时取等，
所以，所以，即.
设，
所以，
即当时，，
所以，
综上所述，，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数与最值之间的关系证明不等式和当时，，根据不等式赋值即可比较大小.
13．
【分析】根据二项式的展开公式求解即可.
【详解】展开式的通项公式为，
所以的展开式中含的项等于，
故答案为: .
14．##-1.5
【分析】将两边平方，然后将条件代入即可得到答案.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以，即
所以，
所以
故答案为: .
15．
【分析】根据题意，作出函数的图像，令，将原问题转化为图像交点问题，即可求解.
【详解】根据题意，作出函数的图像，如下，
.
由关于x的方程有且仅有7个不同实数根，
结合图像，令，则关于的方程有两个根，且，，
故，即.
故答案为：.
16．##
【分析】作出圆柱的轴截面，根据已知给出的条件以及直角三角形的性质求出的值，而椭圆的短轴长即为圆柱的底面的直径，进而可以求出的值，从而可以求解.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，如图所示：
作出圆柱的轴截面，切点为、，延长与圆柱面相交于、，
过点在平面内作，
在直角三角形中，，，所以，
因为，所以，，
所以，，所以，
由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即，则，
则，所以，椭圆的离心率为，
故答案为：.
17．(1)
(2)天
【分析】（1）先求样本中心，再根据公式和已知数据计算即可得答案；
（2）计算最高气温在内时的值，求出游客人数；再由频率分布直方图求出这个范围内的条形图面积，计算对应天数．
【详解】（1）解：由题意知，计算，
，
又，，
所以，
，
所以关于的线性回归方程是；
（2）解：当最高气温在内时，
根据，得游客数在内；
频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为，
所以天数为，
所以这天中最高气温在内的天数约为天．
18．(1)详见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）选取一个条件利用等差等比数列的相关知识通过公式法即可求得通项公式.
（2）利用放缩和裂项相消即可证明不等式.
【详解】（1）由已知，所以
所以数列是等差数列，公差，
若选①
又因为，所以，
解得，所以.
若选②
又因为成等比数列，所以
所以，解得
所以.
若选③
又因为，所以
解得，所以
（2）因为，由（1）知，，所以
所以，所以
所以
又因为，所以
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接AE,交BG于点,取DE的中点,连接HO,HC,GE，由中位线性质可得，结合题意可得四边形BCHO为平行四边形,可得，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用面面垂直的性质定理可得平面ABEF,建立空间直角坐标系，设，求出和平面DCE的法向量，利用线面角空间向量的求法可得到，再求出平面BDF的法向量，利用面面角的空间向量的求法即可求解
【详解】（1）连接AE,交BG于点,取DE的中点,连接HO,HC,GE，
四边形ABEG为平行四边形,
为AE的中点,,
又,
四边形BCHO为平行四边形,,
平面平面DCE,
平面DCE,即平面DCE.
（2）平面平面ABEF,平面平面,平面ABCD,
平面ABEF,
以为原点,以AF,AB,AD所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设且,则,,
设平面DCE的法向量为,则,即,
令,则,
直线BF与平面DCE所成角的正弦值为,
化简得,解得或(舍),
设平面BDF的法向量为,则,即,
令,则,
，
故平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为.
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由题意列出方程组解出即可；
（2）根据的坐标，计算直线的方程，联立椭圆方程，解出,利用两点间的距离公式计算即可.
（3）根据题意直线的斜率存在且不为0，设直线方程，联立解出点，根据对称性得出点，在联立直线与椭圆方程，解出点，然后求出直线方程，令，得，从而得到，由图可知：与的面积之差为，利用三角形面积公式写出，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，所以，①
又， ②
设过左焦点且垂直于轴的直线为：，
代入中，结合②化简得：
，
所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：
， ③
联立①②③解得：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知
所以直线的方程为：
，即
，代入中消去得：
，解得：或，
当时，为点，
当时，，
所以 ,
所以.
（3）由（1）知，如图所示：
连接，
因为直线过点，且与轴垂直，
所以直线方程为：，
由题意得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：，
联立得：
点，又为直线上关于轴对称的两点，
所以，
联立，消去整理得：
，解得：
或，由点异于点，
所以将代入中得：
，即
所以直线的方程为：
，
令，，
所以，
由图可知：与的面积之差为：
，
因为
，
当且仅当时取等号，
所以当与的面积之差取得最大值时，
直线的方程为：，
即：或.
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
【详解】（1）由题意得．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，
所以，
整理可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．(1)，
(2)或
【分析】（1）平方消参得到的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程；
（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解
（1）
在的参数方程中消去参数，得的普通方程为；
由得，
又，所以的直角坐标方程为.
（2）
由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，曲线为直线，
则圆心到曲线的距离，
因为，所以，
解得：，或.
23．(1)
(2)．
【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分，，三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.
（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出的最小值，结合（1）分情况讨论，解不等式即可.
【详解】（1）法一：由题得，
其中，当时，，从而易得函数的值域为．
法二：由绝对值不等式的性质可得，，
所以，当且仅当，即或时取得等号，
故函数的值域为．
（2）由基本不等式，得，
当且仅当时取得等号，故的最小值为2．
由题得，，即，
等价于或或，
由此可解得，故原不等式的解集为．