2023年湖南省株洲市天元区建宁实验中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省株洲市天元区建宁实验中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  四个数，，，中，无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  有四张完全相同的卡片，上面分别写着、、、，从中一次抽取两张卡片，这两张卡片上的数字的和为正数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中，已知，，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的弦，，交于点，连接，，，若，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  我国古代数学著作孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”，设绳子长尺，木条长尺，根据题意所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量单位：与旋钮的旋转角度单位：度近似满足函数关系如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  一组数据，，，，的平均数与中位数相同，则 ______ ．

14.  如图，已知在中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，且，则的长度是          ．
 

15.  如图，五边形是正五边形．若，则______．

16.  若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______ ．

17.  如图，在矩形中，，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是______．

18.  若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点若点为锐角的费马点，且，，，则的值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中为满足的整数．

21.  本小题分
正方形对角线、交于点，为线段上一点，延长到点，使，交边于点，连接．
求证：为直角三角形．
若点为中点，正方形的边长为，求的长．

22.  本小题分
如图，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图是图中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，托悬臂安装在窗扇上，交点处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点，，始终在一直线上，延长交于点已知，，．

窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数；
窗扇部分打开，张角，求此时点，之间的距离精确到．
参考数据：，
 

23.  本小题分
年某省为加快建设综合交通体系，对铁路、公路、机场三个重大项目加大了建设资金的投入．

机场建设项目中所有个机场投入的建设资金金额统计如右图，已知机场投入的资金金额是机场投入资金金额的二倍，机场、投入的资金金额之和与机场、投入的资金金额之和相同，请求出机场、投入的建设资金金额分别是多少亿元，并补全条形统计图．
将铁路、公路、机场三项建设所投入的资金金额绘制成扇形统计图以及统计表，请根据扇形统计图及统计表中的信息，求出此次投入建设资金的总金额．

24.  本小题分
已知，直线与双曲线交于点．
求与的值；
如图，点是线段上一点，轴于点，交双曲线于点．
设，则 ______ ； ______ ；
若，求直线的解析式．

25.  本小题分
如图，为的直径，、为圆上两点，，于点．
求证：是的切线；
若，，求线段的长；
在的条件下，求的值．

26.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．

求二次函数的表达式；
连接，点是轴上一点，，求点的坐标；
当时，二次函数的最小值为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，
是无理数，
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂乘除法，积的乘方和幂的乘方等计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和幂的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
利用关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标特征，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的边的垂直平分线，
，
，，
的周长是：．
故选：．
直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两个数字的和为正数的结果数有种，
这两张卡片上的数字的和为正数的概率是，
故选：．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，，，
，即，
，
，
，
四个选项中，只有选项符合题意，
故选：．
先根据三角形三边的关系得到，再根据实数比较大小的方法得到，由此即可得到答案．
本题主要考查了三角形三边的关系，二次根式的加减计算，实数比较大小，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查圆周角定理，垂径定理，关键是根据圆周角定理得出．
根据圆周角定理得出，进而利用垂径定理得出即可．
【解答】
解：，
，
是的弦，，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

解：设绳子长尺，木条长尺，
依题意有．
故选：．
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此列方程组即可求解．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与之间的关系根据题意，利用面积法求出，设出点坐标，表示点的坐标应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为构造方程求．
【解答】
解：连接，，与、轴分别交于点、，

由已知，、横坐标分别为，，
，
四边形为菱形，、为对角线，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
点、同在的图象上，
，
，
点坐标为，
，
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，

抛物线对称轴在和之间，约为，
旋钮的旋转角度在和之间，约为时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：．
根据已知三点和近似满足函数关系可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在和之间即可选择答案．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先算括号里面的，再算乘法即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先把原式化为，再利用提公因式法分解因式即可．
本题考查的是提公因式法分解因式，正确的确定公因式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一组数据为，，，，，
无论为何值，中位数都为；
数据，，，，的平均数与中位数相同，
，
解得：．
故答案为：．
首先根据中位数的定义，可知数据，，，，的中位数是，然后由平均数的定义，列出关于的一元一次方程，解此方程，即可求出的值．
本题主要考查了平均数与中位数的定义，掌握平均数与中位数的定义是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，、分别是、的中点，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．

利用三角形中位线定理，即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作直线，

，
，
，，
正五边形的内角度数为：，
．
故答案为：．
过点作直线，利用平行线的性质推导出，，两个式子相加即可．
本题主要考查了多边形内角和公式及平行线的性质，解题的关键是过点拐点作平行线辅助线．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：，
故答案为：．
先解分式方程可得，再根据且，从而可得答案．
本题考查的是分式方程的解，熟练的利用分式方程的解求解参数的取值范围是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出，，即可得出阴影部分面积．
此题主要考查了矩形的性质，旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
∽，
，
即，
，，
．
根据三角形的内角和定理可得，再由，即可得，又因，即可判定∽，根据相似三角形的性质可得，即，再由，，即可求得．
本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，正确记忆相关知识是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、二次根式的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简各数，再合并即可．
 

20.【答案】解：



，
分式要有意义，
，
，
为满足的整数，
可以为，，，
当时，原式；当时，原式；当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式意义的条件结合为满足的整数选择满足题意的值代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件，掌握相应的计算法则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，对角线、交于点，
，点是的中点，
，即点是的中点，
是的中位线，
，
，即，
为直角三角形；
解：由得是的中位线，
，
点为中点，
，
，
∽，
，即，
正方形的边长为，
． 

【解析】由正方形的性质得到，点是的中点，证明是的中位线，得到，则，即，从而证明为直角三角形；
由三角形中位线定理得到，先证明，再证明∽，得到，则．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
作于点，

，，，
，，
，，
，
，
，
即、之间的距离为． 

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；
先根据度角所对的直角边等于斜边的一半可得的长，再根据勾股定理和题意可以求得和的长，从而可以解答本题．
 

23.【答案】解：设机场投入资金金额为亿元，则机场投入的资金金额为亿元，则，
解得：，
机场投入资金金额为亿元，则机场投入的资金金额为亿元；
补全图形如下：

与条形图可得：个机场投入的建设资金总额为：亿元，
由统计表可得铁路投入资金占比：，
个机场投入的建设资金总额占比：，
此次投入建设资金的总金额为：亿元． 

【解析】设机场投入资金金额为亿元，则机场投入的资金金额为亿元，再建立一元一次方程求解，再根据结果补全统计图即可；
由条形图先求解机场总的投资总额，再求解其所占的百分比，从而可得答案．
本题考查的是一元一次方程的应用，从统计表，条形统计图与扇形图中获取信息，理解题意，列出正确的方程与运算式是解本题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：直线与双曲线交于点．
，即，
，
反比例函数为：．
，，点是线段上一点，
，
；
，
；
故答案为：；
如图，过作于，而，

，
，
，
，而，
，
解得：，不合题意的根舍去；
，
设的解析式为：，
，解得，
的解析式为：．
把代入可得，即，再把坐标代入即可得到答案；
先求解，利用勾股定理可得；再利用，结合正切的定义可得答案；如图，过作于，而，证明，结合，，而，再利用勾股定理建立方程求解，从而可得函数解析式．
本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，则，

，
，
，
，
，
是的切线；
，
，
为直径，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，设，则，
，
，
，
解得：，不合题意舍去
；
，，，，
，
而，
，则，
，，，
． 

【解析】连接，则，证明，可得，结合，可得，从而可得结论；
先证明，结合，证明∽，可得，设，则，则，结合，从而可得答案；
求解，可得，则，可得，从而可得答案．
本题考查的是勾股定理的应用，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的判定，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建需要的三角形是解本题的关键．
 

26.【答案】解：二次函数的对称轴是直线，
，
，
将代入中，
解得．
二次函数的表达式为；

在中，令，则，令，解得或，
，，
，
；
如图所示，当点在点上方时，
，
，
，
点的坐标为；
当点在点下方时，则，
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；


若，即时，
则当时，函数值最小，
，
解得：或舍去；
若，即时，
则当时函数值最小，
，
解得：不合题意；
若，
则当时函数值最小，
，
解得：或舍去，
综上所述，或． 

【解析】二次函数的对称轴是直线，求出，将的坐标代入中，即可求解；
先求出、的坐标，进而推出，再分点在点上方时，，当点在点下方时，，两种情况求出点的坐标即可；
分，，三种情况利用二次函数的性质讨论求解即可．
本题考查了抛物线与轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．